喬建元，水樹良

（浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004）

［數(shù)理科學(xué)與信息科學(xué)研究］

一類Kukles型多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)

喬建元，水樹良

（浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004）

考慮一類以圓為不變曲線的Kukles型多項(xiàng)式微分系統(tǒng)。運(yùn)用一階、二階和三階平均理論，得到了這類系統(tǒng)存在從線性中心分支出極限環(huán)最多個(gè)數(shù)的一個(gè)上界。

極限環(huán)；Kukles系統(tǒng)；平均理論

實(shí)平面微分方程定性理論的一個(gè)主要問題是判定極限環(huán)的存在性、唯一性、個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性。對于一般的多項(xiàng)式系統(tǒng)，這些都是非常困難的問題。本文考慮下面的所謂Kukles多項(xiàng)式微分系統(tǒng)：

其中qi，i∈R和A1＞0。當(dāng)n1∈｛2k，2k-1｝時(shí)，得到了從線性中心分支出至多k-2個(gè)極限環(huán)的結(jié)論。運(yùn)用平均理論，文獻(xiàn)［10-11］討論了較一般的Kukles多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的個(gè)數(shù)問題。本文將討論一類一般的Kukles多項(xiàng)式系統(tǒng)，運(yùn)用平均理論得到了共存于不變曲線極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)的一個(gè)上界。

1　預(yù)備知識

為了得到周期軌的存在性，本文用到了一階、二階和三階平均理論［12-13］。該法為非自治周期系統(tǒng)和自治平均系統(tǒng)建立起定量的聯(lián)系。考慮微分系統(tǒng)：

其中Fj:R×D→R和R:R×D×（-ε0，ε0）→R是連續(xù)函數(shù)，并且它們的第一個(gè)變量是T周期的，D∈R是一個(gè)開集。

假設(shè)如下的兩個(gè)假設(shè)1和2成立。

假設(shè)1Fj（θ，·）∈C3-j。

其中 j=1，2，3，θ∈R，F(xiàn)j，R，關(guān)于第二個(gè)變量滿足局部利普希茨條件，R關(guān)于ε是二階可微的。定義Fk，0:D→R，其中k=1，2，3。

假設(shè)2V?D是一個(gè)有界的開集，對于每一個(gè)ε∈（-ε0，ε0）