王　琰

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢　430070)

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混凝土框架結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化

王琰

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢430070)

從設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件三方面，提出了考慮造價(jià)和延性的框架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，指出該數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)格基于力學(xué)與混凝土理論，約束條件依規(guī)范設(shè)定，具有精確可靠性。

框架結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)模型，截面尺寸，目標(biāo)函數(shù)

0　引言

當(dāng)今人們對(duì)建筑結(jié)構(gòu)已經(jīng)開始提出更多的要求，出于經(jīng)濟(jì)性和能源的考慮，希望造價(jià)最小；而出于安全考慮，希望結(jié)構(gòu)抗震能力最大。目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，為了確保計(jì)算的正確性、提高計(jì)算效率，我們往往借助分析軟件來實(shí)現(xiàn)，這就需要把實(shí)際的工程問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型。因此本文基于以上兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，分為設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件三個(gè)部分[3]。

1　設(shè)計(jì)變量

理論上每根構(gòu)件的截面尺寸都是設(shè)計(jì)變量，考慮到若每個(gè)構(gòu)件的截面尺寸都不一致會(huì)造成施工的極大不便，因此可根據(jù)情況將有些變量規(guī)整成一個(gè)變量。

實(shí)際工程中梁柱的截面尺寸往往有一定模數(shù)要求，所以從理論上來說這樣的設(shè)計(jì)變量是離散的。但離散變量的處理過于復(fù)雜，因此將待優(yōu)化變量先看成連續(xù)型進(jìn)行優(yōu)化，求出最優(yōu)解后再人工規(guī)整，得出最終結(jié)果。

2　目標(biāo)函數(shù)

2.1分目標(biāo)函數(shù)之造價(jià)

結(jié)構(gòu)總造價(jià)：

C(x)=CS+CC

(1)

混凝土造價(jià)：

(2)

鋼筋造價(jià)：

(3)

1)計(jì)算梁內(nèi)鋼筋時(shí)，做出以下假定：

As=ξbh0α1fc/fy

(4)

(5)

(6)

其中，ξ為相對(duì)受壓區(qū)高度；αs為受彎構(gòu)件截面抵抗矩系數(shù)。

2)計(jì)算柱內(nèi)鋼筋時(shí)，分大偏心受壓(ξ≤ξb)和小偏心受壓(ξ>ξb)兩種情況(見表1)：

ei=e0+ea

(7)

其中，e0為截面的初始偏心距，e0=M/N；ea為附加偏心距。

表1　柱內(nèi)鋼筋計(jì)算

柱長(zhǎng)細(xì)比較大時(shí)，應(yīng)考慮由構(gòu)件的側(cè)向撓度而引起的二階彎矩的影響，利用考慮側(cè)向撓度后的偏心距與初始偏心距的比值η把該問題考慮到計(jì)算中。

(8)

其中，ξ1=(0.5fcA)/N；ξ2=1.15-0.01l0/h；l0為構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度。

2.2分目標(biāo)函數(shù)之位移延性系數(shù)

用位移延性系數(shù)μ來反映結(jié)構(gòu)的抗震性能：

μ=Δu/Δy

(9)

其中，Δy為結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)的屈服位移；Δu為結(jié)構(gòu)能維持承載能力時(shí)的最大側(cè)向撓度，且Δu=Δy+Δp，Δp為塑性階段的水平位移 。

框架結(jié)構(gòu)中，梁的各截面先進(jìn)入屈服狀態(tài)，之后梁中塑性鉸處的變形會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生水平位移，直至柱腳處也產(chǎn)生塑性鉸。到結(jié)構(gòu)喪失承載能力的時(shí)候，柱子的其余部分依舊保持彈性狀態(tài)，結(jié)構(gòu)整體的延性可以用柱子的最大側(cè)翼撓度來體現(xiàn)。且柱子破壞前梁已全部失效，因此可以把柱子當(dāng)成一懸臂結(jié)構(gòu)去分析它的延性，簡(jiǎn)化計(jì)算。取一根長(zhǎng)為l的構(gòu)件，圖1中φ(x)表示坐標(biāo)為x處結(jié)構(gòu)的曲率。

由圖1b)中的曲率圖，結(jié)構(gòu)屈服時(shí)實(shí)際屈服曲率的分布可近似看成一條斜直線，沿高度用圖乘法對(duì)曲率積分，得到屈服位移Δy：

Δy=∫φ(x)xdx=φyl2/3

(10)

塑性位移由塑性鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)能力來決定，而塑性鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)能力又與塑性鉸區(qū)等效長(zhǎng)度lp直接相關(guān)。圖1c)中l(wèi)y是構(gòu)件中截面彎矩超過極限彎矩的非彈性區(qū)部分，x=ly處即是臨界截面。而屈服曲率近似的斜直線與塑性階段曲率曲線所圍成的部分的面積就是塑性鉸區(qū)產(chǎn)生的塑性轉(zhuǎn)角θp，用等效矩形計(jì)算，φu-φy是矩形的寬度，lp是其高度，也是塑性鉸的等效長(zhǎng)度。關(guān)于等效長(zhǎng)度目前有多種經(jīng)驗(yàn)公式，其中Paulay提出的式(11)是我國(guó)《公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)則》和美國(guó)Caltrans規(guī)范中計(jì)算lp的公式的基礎(chǔ)[4]，其中，ds為鋼筋直徑。

lp=0.08l+0.22dsfy

(11)

θp=φplp=(φu-φy)lp

(12)

Δp=θp(l-0.5lp)=(φu-φy)lp(l-0.5lp)

(13)

引入截面曲率延性系數(shù)：

μφ=φu/φy

(14)

其中，φy為鋼筋屈服時(shí)的截面曲率；φu為構(gòu)件破壞時(shí)的截面曲率。

Δu=Δy+Δp=φyl2/3+(φu+φy)/lp(1-0.5lp)

(15)

(16)

對(duì)鋼筋混凝土適筋受彎截面進(jìn)行全過程受力分析時(shí)是基于平面假定的原則和以力的平衡方程作為計(jì)算原理的。

圖2為適筋截面受拉鋼筋開始屈服和截面達(dá)到最大承載力時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變圖。

由圖2中的應(yīng)變圖：

φy=εy/(1-k)h0

(17)

φu=εcu/xn

(18)

則截面曲率延性系數(shù)：

(19)

其中，εcu為混凝土的極限壓應(yīng)變；εy為受拉鋼筋的屈服應(yīng)變；xn為Mu下受壓區(qū)高度。

受壓區(qū)混凝土的應(yīng)力圖可用等效矩形來替代，等效矩形的高度是x=β1xn，寬度是α1fc，由力的平衡方程：

xn=x/β1=(ρ-ρ′)fyh0/β1α1fc

(20)

受拉鋼筋開始屈服時(shí)受壓區(qū)高度系數(shù)k可按圖2a)中的三角應(yīng)力圖，根據(jù)平衡條件計(jì)算。對(duì)于雙筋截面：

(21)

2.3總的目標(biāo)函數(shù)

因?yàn)镃(x)越小而μ(x)越大越好，于是將多目標(biāo)問題用乘除法變成單目標(biāo)問題，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)F(x)，優(yōu)化目標(biāo)是它盡可能小：

F(x)=C(x)/μ(x)

(22)

3　約束條件[1,2]

3.1框架梁的約束條件

1)有關(guān)抗震構(gòu)造的約束條件。

a.最小截面尺寸：只要構(gòu)件截面尺寸不太小就可有效防止斜壓破壞的發(fā)生，當(dāng)hw/b≤4時(shí)：

Vb≤(0.20βcfcbh0)/γRE

(23)

b.截面尺寸：b≥200 mm，為避免梁側(cè)撓度過大而失穩(wěn)：h/b≤4。

c.配筋率：梁縱向鋼筋配筋率ρmin≤ρ≤ρmax=5.0%。

2)有關(guān)強(qiáng)度的約束條件。

a.梁正截面抗彎承載力：為了充分考慮材料的作用，按雙筋梁來驗(yàn)算梁正截面強(qiáng)度：

Mb≤α1fcbx(h0-x/2)+fy′As′(h0-as′)

(24)

b.梁斜截面抗剪承載力:對(duì)于一般梁:

Vb≤(0.6×0.7ftbh0+fyvAsvh0/x)/γRE

(25)

3.2框架柱的約束條件

1)有關(guān)抗震構(gòu)造的約束條件。

a.軸壓比：

μc=N/fcbh≤[μc]

(26)

b.最小截面尺寸驗(yàn)算：

Vc≤(0.20βcfcbh0)/γRE

(27)

c.截面約束：b≥300 mm；Hn/h≥4。

d.配筋率約束：柱縱向配筋率ρmin≤ρ≤5%，且每側(cè)縱向配筋率不小于0.2%。

2)有關(guān)強(qiáng)度的約束條件。

對(duì)柱斜截面抗剪承載力進(jìn)行驗(yàn)算：

a.柱軸力N為壓力時(shí)：

(28)

其中，N為考慮地震作用組合的框架柱軸向壓力設(shè)計(jì)值，且N≤0.3fcA。

b.柱軸力N為拉力時(shí)：

(29)

其中，N為考慮地震作用的柱軸向拉力設(shè)計(jì)值。式(29)右邊括號(hào)內(nèi)的計(jì)算值要不小于fyvAsvh0/s，且fyvAsvh0/s≥0.36ftbh0。

3.3整體結(jié)構(gòu)約束條件

1)層間位移角約束：對(duì)框架結(jié)構(gòu)，層間最大位移Δu與層高h(yuǎn)之比不大于1/550。 2)受壓區(qū)高度約束：在考慮延性設(shè)計(jì)時(shí)，一級(jí)抗震下：x≤0.25h0；二、三級(jí)抗震下：x≤0.35h0。

4　結(jié)語

以上已用截面尺寸表示出目標(biāo)函數(shù)以及待約束的各種物理量，根據(jù)這樣的數(shù)學(xué)模型我們便能利用諸如ANSYS這樣的有限元分析軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模、定義設(shè)計(jì)變量，將目標(biāo)函數(shù)和約束條件的數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)語言，最終進(jìn)行計(jì)算得到結(jié)果。此數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)是嚴(yán)格基于力學(xué)與混凝土理論，約束條件參照規(guī)范來設(shè)定，因此該數(shù)學(xué)模型精確可靠，在實(shí)際工程的運(yùn)用中也能發(fā)揮作用。

[1]GB 50010—2010，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[2]GB 50011—2010，建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[3]汪樹玉，楊德銓，劉華國(guó)，等.優(yōu)化原理方法與工程應(yīng)用[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，1991.

[4]孫治國(guó)，王東升，郭迅，等.鋼筋混凝土墩柱等效塑性鉸長(zhǎng)度研究[J].中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2011(10)：107-108.

On section optimization of concrete framework structure

Wang Yan

(CivilEngineeringandArchitectureCollege,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430070,China)

From the design variation, objective function, and constraint conditions, the paper points out the multiple optimal mathematic models with the consideration of cost and ductility, and points out the objective function of the mathematic model can be designed for the dynamics and concrete theoretic constraint conditions, so it has accurate reliability.

framework structure, mathematic model, section size, objective function

1009-6825(2016)08-0040-03

2016-01-08

王琰(1992- )，女，在讀碩士

TU375.4

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