李　倩,周星德,周子言

(1. 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇 南京　210098;2. 河海大學(xué)文天學(xué)院,安徽 馬鞍山　243031)

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模袋砂堤防沉降量預(yù)測的分數(shù)階灰色模型

李倩1,周星德1,周子言2

(1. 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇 南京210098;2. 河海大學(xué)文天學(xué)院,安徽 馬鞍山243031)

為獲得更優(yōu)的模袋砂堤防沉降預(yù)測結(jié)果,基于灰色模型,提出一種分數(shù)階灰色模型。運用MATLAB語言編寫了相關(guān)程序,實現(xiàn)微分階次到分數(shù)階的改變,并運用該模型對模袋砂灘涂圍墾測試的沉降結(jié)果進行實例分析。分數(shù)階灰色模型與灰色Verhulst模型、殘差GM模型、GM(1，1)模型對比分析表明:(a)分數(shù)階灰色模型預(yù)測結(jié)果更精確,其不僅具有GM(1,1)模型前期預(yù)測效果好的優(yōu)點,而且具有灰色Verhulst模型后期預(yù)測效果好的優(yōu)點;(b)分數(shù)階灰色模型的中長期預(yù)測結(jié)果穩(wěn)定性比殘差GM模型好。

模袋砂堤防;沉降量預(yù)測;分數(shù)階;灰色模型;灰色Verhulst模型;殘差GM模型

海堤工程是海涂圍墾中至關(guān)重要的一環(huán),海堤工程的成敗直接關(guān)系到人民生命財產(chǎn)的安全,影響圍墾事業(yè)的發(fā)展。模袋砂多用于臨時圍堰,隨著技術(shù)的發(fā)展,目前已經(jīng)出現(xiàn)了采用模袋砂構(gòu)筑的堤防。海堤多建于軟土地基上,為確保地基能在穩(wěn)定狀態(tài)下工作,在施工過程中及完工后必須對其進行有效監(jiān)測和信息反饋。有關(guān)地基沉降預(yù)測的方法有很多,沉降曲線多符合指數(shù)函數(shù)[1],而實際測量結(jié)果總會產(chǎn)生奇異,對這種現(xiàn)象,分形理論具有較好的處理[2-3];多數(shù)預(yù)測方法具有分段預(yù)測的特點,即間或前期預(yù)測好,間或后期預(yù)測好,為此出現(xiàn)了組合預(yù)測方法[4];目前公認較好的預(yù)測方法當屬灰色模型[5-7],主要包括GM(1,1)模型[8]、灰色Verhulst模型和殘差GM模型[9-10],其中GM(1,1)模型對后期預(yù)測效果不好,灰色Verhulst模型對前期預(yù)測效果差[11-12]，殘差GM模型適用于中長期預(yù)測。

從本質(zhì)上講,灰色模型采用整數(shù)階導(dǎo)數(shù)反映地基的沉降,如:一階、二階導(dǎo)數(shù),這是間斷的,中間缺少分數(shù),如3/2等,而實際情況千變?nèi)f化,符合整數(shù)階導(dǎo)數(shù)規(guī)律的只是其中一小部分情況,因此分數(shù)階模型與實際情況更吻合[13]。基于灰色模型,筆者提出一種分數(shù)階灰色模型,具體過程如下:首先,根據(jù)灰色模型算法確定系數(shù)項和常數(shù)項,變整數(shù)階導(dǎo)數(shù)為分數(shù)階導(dǎo)數(shù);其次,通過Laplace變換改為頻域表示,假設(shè)外激勵為由灰色模型所確定的常數(shù)項,構(gòu)造傳遞函數(shù);再次,采用Oustaloup算法[14]對分數(shù)階進行逼近,通過仿真曲線的走勢來確定分數(shù)階的階次,進而提出采用一個調(diào)節(jié)因子以達到與測試數(shù)據(jù)的最佳吻合。最后,基于文獻[15]提供的數(shù)據(jù),通過GM(1,1)模型、灰色Verhulst模型、殘差GM模型及本文方法間的對比分析,驗證本文方法的有效性。

1　灰 色 模 型

灰色模型[5-7](GM(1，1)模型)的特點是對沉降前期預(yù)測較好,設(shè)n個等距時間序列數(shù)據(jù)為

(1)

式(1)進行一次累加,可得

(2)

其中

x1(k)微分方程模型為

(3)

式中:a——系數(shù)項;b——常數(shù)項。

式(3)的時間響應(yīng)序列解為

(4)

改進的灰色模型中,較普遍的2種為灰色Verhulst模型和殘差GM模型。灰色Verhulst模型的特點是對沉降后期預(yù)測較好,其模型的微分方程為

(5)

(6)

式(5)的時間響應(yīng)序列解為

(7)

2　分數(shù)階灰色模型

通常使用的導(dǎo)數(shù),如一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù),稱為整數(shù)階導(dǎo)數(shù),是間斷的,中間缺少分數(shù),如3/2階導(dǎo)數(shù)。有關(guān)分數(shù)階的研究近年來開始受到重視,這是由于它是連續(xù)的,能夠更好地反映實際情況[13]。目前有關(guān)分數(shù)階的定義有4種,本文采用Riemann-Liouville微積分定義,對于初值為零的β階導(dǎo)數(shù)可表示為

(8)

式中:β——分數(shù),m-1<β≤m;m——臨近β的整數(shù);Γ(*)——Gamma函數(shù)。

式(5)所表示的模型為整數(shù)階模型,為了擴展其應(yīng)用范圍,可改寫為如下分數(shù)階模型:

(9)

假設(shè)外激勵為常數(shù)項b,對式(9)進行Laplace變換,則頻域表示為

(10)

采用Oustaloup算法對分數(shù)階進行逼近,擬合頻率段為(ωl, ωh),則可構(gòu)造如下濾波器的傳遞函數(shù):

(11)

其中

式中:N——整數(shù);2N+1——濾波器的階次。

用G(s)代替式(10)中的sβ,可得

(12)

其中

ni=2N+1

把式(12)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程:

(13)

式中:A、B、C——變換矩陣;X——狀態(tài)變量;D——系數(shù)。

(14)

其中

式中:c——補充的常數(shù), 也稱為調(diào)節(jié)因子

3　實 例 分 析

GM(1,1)模型預(yù)測序列為

(15)

灰色Verhulst模型預(yù)測序列為

(16)

殘差GM模型對殘差序列進行灰色建模，結(jié)果見表1。

采用本文方法,濾波器在頻域內(nèi)近似時,N=4,擬合頻率段為[0,1 000](單位:rad/s),通過式(14)可確定調(diào)節(jié)因子為8,然后通過不斷變動分數(shù)階β確定最佳擬合效果,最終確定階次為0.314 2,即

(17)

由式(11)確定sβ,代入式(12),即可獲得的H(s),進而可轉(zhuǎn)換為式(13)表示的狀態(tài)方程,限于篇幅,這里僅給出狀態(tài)方程結(jié)果:

C=[00.007 30.248 81.646 02.231 10.633 50.037 90.000 50]×106

其中A12=-0.010 7A21為八階單位矩陣

A11=-[0.000 50.037 60.629 42.224 91.652 20.252 90.007 60]×106

沉降預(yù)測結(jié)果見表1,從表1可以看出本文預(yù)測方法比GM(1，1)模型、灰色Verhulst模型以及殘差GM模型要好。

表1　沉降預(yù)測結(jié)果Table 1　Predicted settlement obtained from different models

2008 年12 月江蘇省政府通過了《江蘇沿海灘涂圍墾開發(fā)規(guī)劃》,2009年6月國務(wù)院批準了《江蘇沿海開發(fā)戰(zhàn)略規(guī)劃》,到2020年形成新圍墾面積1 804.77 km2,新筑圍海圍堤675.28 km,促淤導(dǎo)堤總長177. 05 km。模袋砂圍堤類似于模袋圍堰,具有用土量少、抗沖刷能力強、施工工藝簡單、造價低廉等特點。其基本原理是采用水力吹填的方法將砂水混合物灌入模袋中,砂料在模袋中泌水固結(jié)后形成較為密實的填筑體,與模袋組合構(gòu)筑成定型的圍堤。

(18)

圖1　沉降預(yù)測結(jié)果Fig. 1　Predicted settlement values obtained from different models

不斷變動分數(shù)階階次β,使得式(18)結(jié)果最小,以確定最佳擬合效果,最終確定階次β為0.232 7,對30 d、60 d、90 d、120 d、150 d預(yù)測結(jié)果分別為25.624 8 cm、26.130 0 cm、26.556 6 cm、26.929 0 cm、27.262 3 cm,比較結(jié)果如圖1所示。

由圖1可以看出,本文方法的預(yù)測值更精確。并進一步預(yù)測10 a后的沉降為37.50 cm,20 a后的沉降為41.04 cm,這符合通常堤壩、路基實際情況。

4　結(jié)　　語

整數(shù)階微積分僅僅是分數(shù)階微積分的特例,即所有含整數(shù)階微積分的模型全部可以采用分數(shù)階微積分代替,分數(shù)階模型能夠更好地反映實際情況。本文以灰色模型為對象,把其推廣至分數(shù)階模型,提出了分數(shù)階階次確定方法及調(diào)節(jié)因子的概念,從仿真結(jié)果來看,不僅具有灰色模型前期預(yù)測效果好的特點,而且具有灰色Verhulst模型后期預(yù)測效果好的特點,并且預(yù)測精度得到提高。此外,還具有長期預(yù)測結(jié)果穩(wěn)定的特點。

但本文方法還存在一些缺陷:(a)計算過程復(fù)雜;(b)分數(shù)階階次和調(diào)節(jié)因子的確定需要不斷觀測仿真結(jié)果,比較麻煩。這2個缺陷也是筆者下一步需要解決的問題。

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Afractional-ordergreymodelforpredictionofsettlementofdykeswithfabricformsand

LIQian1,ZHOUXingde1,ZHOUZiyan2

(1. College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China;2. Wentian College, Hohai University, Maanshan 243031, China)

Inordertoacquirebetterforecastresultsforsettlementsofdykeswithfabricformsand,afractional-ordergreymodelispresentedbasedonthegreymodel.TheprogramwasestablishedusingMATLABtochangethedifferential-orderderivativeintoafractional-orderone.Thismodelwasusedtopredictthesettlementofdykeswithfabricformsand.ComparativeanalysisofthegreyVerhulstmodel,residualGMmodel,andproposedmodelwasperformed.Theresultsshowthatthepredictedresultsofthefractional-ordergreymodelaremoreaccurate,andthefractional-ordergreymodelnotonlyhasthereliablepreviousforecasteffectoftheGM(1, 1)model,butalsothereliablelaterforecasteffectoftheGreyVerhulstmodel.Moreover,thelong-termforecastresultsofthefractional-ordergreymodelshowahigherdegreeofstabilitythanthoseoftheGMmodel.

dykewithfabricformsand;settlementprediction;fractional-order;greymodel;greyVerhulstmodel;residualGMmodel

10.3876/j.issn.1000-1980.2016.05.010

2015-10-27

“十二五”國家科技支撐計劃項目(2012BAB03B00);安徽省建設(shè)行業(yè)科學(xué)技術(shù)計劃項目(2015YF-26)

李倩(1992—),女,江蘇連云港人,碩士研究生,主要從事堤防穩(wěn)定性及巖土工程數(shù)值分析研究。E-mail: 15195865755@163.com

周星德,教授。E-mail:xingdezhou@hhu.edu.cn

U213.1+57

A

1000-1980(2016)05-0438-05