●王鵬飛

(西安市航天中學(xué)　陜西西安　710100)

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“顯而易見”型問題的學(xué)習(xí)策略*

●王鵬飛

(西安市航天中學(xué)陜西西安710100)

文章對(duì)教材中用“顯然”“容易得到”“不難看出”等詞語描述的“顯而易見”型問題作了簡(jiǎn)明分類，并站在學(xué)習(xí)者立場(chǎng)上提出了相應(yīng)的學(xué)習(xí)策略.

顯而易見；問題類型；學(xué)習(xí)策略

在教材中，我們常常會(huì)碰到某些用“顯然”“容易得到”“不難看出”等詞語來描述的問題，這些對(duì)編者看似“昭然可見”的問題，有些對(duì)學(xué)生卻“顯而難見”，要真正使之“彰明較著”實(shí)屬不易.“顯而易見”，并非不值一提，它給學(xué)習(xí)者留下了難得的思考空間，提供了豐富的探究素材.學(xué)習(xí)者要具體問題具體分析，采取不同的學(xué)習(xí)策略提高學(xué)習(xí)成效.

1　“顯而易見”型問題的常見類型

編者對(duì)“顯而易見”型問題的編排處理方式，通常有以下幾種：

1.1名副其實(shí)型

這類問題通常比較簡(jiǎn)單，學(xué)生容易理解，不必占用較大篇幅細(xì)說，果真有“顯而易見”之實(shí).

1.2篇幅受限型

這類問題可能因教材篇幅所限導(dǎo)致，編者采取“顯而易見”型詞語略過，讓人難覓其蹤，難解其意.

1.3知識(shí)銜接型

這類問題可能是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)照顧學(xué)生知識(shí)范圍制約而不宜深究使然，要形成對(duì)此類“顯而易見”型問題的完整認(rèn)識(shí)還需要后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí).

2　“顯而易見”型問題的學(xué)習(xí)策略

作為教材使用者，要講究“顯而易見”型問題的“補(bǔ)白”策略，要樹立敢于質(zhì)疑、勇于探究的意識(shí)，對(duì)“顯而易見”型問題應(yīng)該有不為易勇、不為難怯的精神，做到知其然，更知其所以然.

2.1顯而易見，昭然若揭——變形引申

對(duì)于教材中真正昭然若揭的問題，可以采取變形、引申、推廣、應(yīng)用的方法，加深這類“顯而易見”問題的研究，使其易而博、博而深，切記因易不究.

案例1[1](公理1)過不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)，有且只有1個(gè)平面(即可以確定1個(gè)平面).

這個(gè)公理刻畫了平面的性質(zhì).由這個(gè)公理，再結(jié)合初中學(xué)的“兩點(diǎn)確定一條直線”容易得到以下3個(gè)推論：

推論1一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面.

推論22條相交直線確定一個(gè)平面.

推論32條平行直線確定一個(gè)平面.

公理1及其推論給出了確定平面的依據(jù).

對(duì)于這3個(gè)推論的確容易由公理1得到，學(xué)習(xí)者應(yīng)該依據(jù)公理1經(jīng)歷證明推論的過程，從“容易得到”中切實(shí)體會(huì)，自我評(píng)價(jià)是否真的很容易.

學(xué)習(xí)者應(yīng)該在證明的基礎(chǔ)上多想一想，有其他變形嗎？能引申嗎？能推廣嗎？能應(yīng)用結(jié)論解決相關(guān)問題嗎？

變形logab·logba=1(其中a,b>0,a,b≠1).

引申logab·logbN=logaN.

推廣logab·logbc·logca=1(其中a,b,c>0,a,b,c≠1).

應(yīng)用1)求值：log225·log34·log59；

2)求值：(log43+log83)(log32+log92)；

3)證明：logab·logbc·logca=1(其中a>0,b>0,c>0,a≠1,b≠1,c≠1).

2.2語焉不詳，難覓其蹤——彌補(bǔ)缺失

對(duì)于教材中語焉不詳、難覓其蹤的“顯而易見”問題，有必要究其根源，經(jīng)歷知識(shí)形成、發(fā)展的過程.

案例3[1]我們知道，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫作棱臺(tái)，所以棱臺(tái)的體積可用2個(gè)棱錐的體積差來計(jì)算.計(jì)算公式如下：

其中S上，S下分別為棱臺(tái)的上、下底面積，h為高.

教材雖然說明了算法，看似顯而易見，但并沒有完整的證明.教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)于公式的證明學(xué)生并非力所能及，對(duì)2個(gè)棱錐體積差式變形受阻，無法與公式達(dá)成統(tǒng)一.此時(shí)，教師要幫助學(xué)生掃除證明中的障礙.

于是

案例4[3]復(fù)數(shù)z=a+bi(其中a,b∈R)可以用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)Z來表示，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b.顯然，表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在x軸上，表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在y軸上.

當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)時(shí)，我們稱直角坐標(biāo)平面為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸稱為虛軸.

在教學(xué)中，學(xué)生因教材中的“顯然”總認(rèn)為“復(fù)平面虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)”.對(duì)此，教師有必要條分縷析地彌補(bǔ)教材的缺失，消除學(xué)生的誤解：

1)實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；

2)除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；

3)在實(shí)平面內(nèi)原點(diǎn)是x軸與y軸的交點(diǎn)，在復(fù)平面內(nèi)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).

2.3深不可測(cè)，易中有難——揭紗刨底

對(duì)于在學(xué)習(xí)者知識(shí)范圍內(nèi)有深度的“顯而易見”問題，刨根問底是揭開其神秘面紗的解決之道，不可知難而退，放棄有挑戰(zhàn)性的探究歷程.

案例5[1]不難得到S圓錐側(cè)=πrl，S圓臺(tái)側(cè)=π(r1+r2)l.

2)上、下底面半徑為r1,r2(其中r1

即

又l=l2-l1，于是

π(r1+r2)l.

聯(lián)想1曲邊梯形的面積

聯(lián)想2由相似形可得

于是

(r2-r1)l1=r1l,

從而

S圓臺(tái)側(cè)=πr2l2-πr1l1=

π[(r2-r1)l1+r2l]=

π(r1+r2)l.

圖1

以上結(jié)論對(duì)任意角α都成立，即對(duì)任意角α，有

1)當(dāng)任意角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，

若a=1,b=0,則x0=0,y0=1；

若a=0,b=1,則x0=-1,y0=0；

若a=-1,b=0,則x0=0,y0=-1；

若a=0,b=-1,則x0=1,y0=0.

2)當(dāng)任意角α的終邊在某個(gè)象限時(shí)，由平面幾何知識(shí)可知，Rt△OPM≌Rt△P′OM′，從而

|OM′|=|PM|,|P′M′|=|OM|,

即

|x0|=|b|，|y0|=|a|.

又由點(diǎn)P′與直線OP:bx-ay=0的位置關(guān)系可知bx0-ay0<0，從而

2.4知識(shí)所限，極為不易——適度拓展

對(duì)超越知識(shí)范圍的、后續(xù)也會(huì)遇到的“顯而易見”問題，可采取特例驗(yàn)證、合情推理，或適度拓展、化難為易，或暫時(shí)擱置、待機(jī)再研的策略.

案例7[5]若A1,A2,A3中任意2個(gè)都是互斥事件，容易看出，

P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).

要真正弄清楚“容易看出”中的道理，可參考以下方法：

1)特例驗(yàn)證法.

依據(jù)教材例1在一個(gè)健身房里，用拉力器進(jìn)行鍛煉時(shí)，需要選取2個(gè)質(zhì)量盤裝在拉力器上.有2個(gè)裝質(zhì)量盤的箱子，每個(gè)箱子中都裝有4個(gè)不同的質(zhì)量盤：2.5 kg,5 kg,10 kg和20 kg，每次都隨機(jī)地從2個(gè)箱子中各取1個(gè)質(zhì)量盤裝在拉力器上后，再拉動(dòng)這個(gè)拉力器.

P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).

2)適度拓展法.

適度補(bǔ)充事件運(yùn)算、事件關(guān)系等相關(guān)知識(shí)，明確“和事件”“2個(gè)事件互斥”“多個(gè)事件彼此互斥”的涵義，對(duì)2個(gè)互斥事件至少有1個(gè)發(fā)生的概率公式進(jìn)行推廣.

3)暫時(shí)擱置法.

給學(xué)生留下思考空間和期待，事件運(yùn)算、事件關(guān)系、和事件概率公式等待大學(xué)課程進(jìn)一步研究.

“顯而易見”問題在教材中并不鮮見，認(rèn)為其淺顯易懂、無需耗費(fèi)精力,刨根問底不是一種科學(xué)的態(tài)度.學(xué)習(xí)者不妨認(rèn)真地問問自己：我真的知道嗎？越是顯而易見的問題，越值得學(xué)習(xí)者玩味.房龍?jiān)f：“世間萬物，唯有真理離我們最遠(yuǎn)”.要縮短與真理的距離，唯有養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的學(xué)風(fēng)，從司空見慣的小問題探尋大道理，讓“顯而易見”名副其實(shí).

[1]嚴(yán)仕健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2(必修)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2014.

[2]嚴(yán)仕健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1(必修)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2014.

[3]嚴(yán)仕健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-2)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

[4]嚴(yán)仕健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4(必修)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2015.

[5]嚴(yán)仕健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)3(必修)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2015.

*收文日期：2016-05-04；2016-06-10

王鵬飛(1964-)，男，陜西商州人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)08-09-04