李先永

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思維訓(xùn)練營/思想方法
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

“概率”中蘊含的數(shù)學(xué)思想

李先永

數(shù)學(xué)的精髓不在于知識本身，而在于數(shù)學(xué)知識中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想也是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.學(xué)習(xí)概率知識，也要重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.現(xiàn)將初中概率中常見的數(shù)學(xué)思想舉例如下.

一、方程思想

方程思想就是對所求的概率問題通過列方程（或方程組）求解的一種思想方法.

（1）取出白球的概率是多少？

（2）如果袋中的白球有18個，那么袋中的紅球有多少個？

【分析】（1）因為取出的球不是白球就是紅球，所以P（取出白球）+P（取出紅球）=1；

（2）設(shè)袋中有紅球x個，

解得x=6，

所以袋中的紅球有6個.

【點評】利用概率公式建立方程可以求解已知概率而其他量未知的計算問題，這是解決概率問題的常用方法.

二、數(shù)形結(jié)合思想

“概率”的數(shù)形結(jié)合主要有：（1）有列表法或畫樹狀圖法試驗的等可能的結(jié)果數(shù)；（2）幾何圖形中概率的問題；（3）結(jié)合點所在的象限、函數(shù)圖像等求概率問題；（4）結(jié)合統(tǒng)計圖表解決與概率有關(guān)的實際問題.

例2如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長為4.現(xiàn)做如下實驗：將轉(zhuǎn)盤劃分成4個相同的小扇形，并分別標(biāo)上1，2，3，4.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)赶虻臄?shù)字作為平面直角坐標(biāo)系中點P的坐標(biāo)（第一次作為橫坐標(biāo)，第二次作為縱坐標(biāo)），指針如果指向分界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.

（1）請你用樹狀圖或列表的方法，求P點落在正方形ABCD面上（含內(nèi)部與邊界）的概率；

圖1

解：（1）列表如下：

1234 1　?。?，1）　?。?，2）　　（1，3）　?。?，4）2　?。?，1）　?。?，2）　?。?，3）　?。?，4）3　?。?，1）　?。?，2）　?。?，3）　　（3，4）4　　（4，1）　?。?，2）　?。?，3）　?。?，4）

（2）略.

【點評】本題主要考查了概率的計算方法和正方形與平移的有關(guān)性質(zhì).要會根據(jù)正方形的性質(zhì)得到所對應(yīng)的點的坐標(biāo)，利用列表法求符合條件的概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

三、轉(zhuǎn)化思想

在概率問題中，所有可能結(jié)果的概率之和等于1，因此求某個較復(fù)雜的隨機事件或多個隨機事件的概率之和時，可以先求出所有其他事件發(fā)生的概率，再用1減去這個概率，即可解決問題.

例3一只不透明袋子中裝有兩個紅球、3個黃球，4個綠球，這些球除顏色外都相同.小明攪勻后從中任意摸出一個球，這個球是紅球或綠球的概率是_______.

【分析】摸出的是黃球和摸出的是紅球或綠球的概率和為1，所以可以先求出摸出的是黃球的概率，再用1減去這個概率就是摸出的是紅球或綠球的概率.

【點評】本題也可以分別求出摸出紅球和摸出綠球的概率，再相加便是摸出的是紅球或綠球的概率.

四、分類討論思想

分類討論思想在概率中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在將所有可能的情況一一列舉出來.

例4某人的錢包內(nèi)有10元、20元和50元的紙幣各1張.從中隨機取出兩張紙幣.

（1）求取出紙幣的總額是30元的概率；

（2）求取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率.

【分析】（1）隨機取出兩張紙幣的情形共有3種，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出紙幣的總額是30的情況有1種. （2）取出紙幣的總額大于51的情況有兩種.

解：（1）隨機取出2張紙幣，共有3種情況，即（10，20），（10，50），（20，50），其中取出紙幣的總額是30的情況有1種，

【點評】當(dāng)符合要求的情形不止一種時，需要應(yīng)用分類的思想來解答.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學(xué)）