柴志遠(yuǎn)（福建省漳浦龍成中學(xué)）

二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系

柴志遠(yuǎn)
（福建省漳浦龍成中學(xué)）

一、引言

在討論研究多元函數(shù)的有關(guān)理論和概念時(shí)，重要是研究二元函數(shù)，因?yàn)槎瘮?shù)所討論的一切結(jié)論都能相應(yīng)的推廣到n（n＞2）元函數(shù)上去，二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域的重要屬性的一個(gè)基本概念，它刻畫了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題，本文就是主要討論二元函數(shù)極限問題，重要研究二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系.

二、預(yù)備知識(shí)

三、二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系

二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，往往由一種極限的存在不能推出另一種極限存在.

1.二重極限與弱二重極限的關(guān)系

定理1：若（強(qiáng)）二重極限存在，則弱二重極限存在；若弱二重極限存在，則（強(qiáng)）二重極限不一定存在.

2.兩個(gè)累次極限之間的關(guān)系

（1）一個(gè)存在不能斷定另一個(gè)存在，或者兩個(gè)都不存在.

（2）兩個(gè)累次極限都存在，但不相等.

3.二重極限與累次極限的關(guān)系

二重極限與累次極限之間的關(guān)系是一個(gè)比較復(fù)雜的問題.

結(jié)論1：由二重極限存在，不能保證累次極限的存在；由兩個(gè)累次極限的存在，即使相等，也不能保證二重極限的存在.

那么在重極限和累次極限之間是否毫無(wú)關(guān)系可尋呢？并非如此，有下面的定理：

由這個(gè)定理可得兩個(gè)推論：

結(jié)論2：由二重極限和兩個(gè)累次極限存在，可以得出三者相等；若兩個(gè)累次極限都存在，但不相等，則二重極限不存在.

4.二重極限與方向極限之間的關(guān)系

由二重極限與方向極限的定義可知，方向極限是二重極限的特殊情形，即二重極限存在方向極限必存在，但其逆并不成立.即使f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處沿任何方向（cosα，cosβ）都有等于A的極限，也不能保證二重極限存在.

結(jié)論3：二重極限存在是方向極限存在的充分條件，但并非必要條件.而方向極限存在又是二重極限存在的必要條件，那么方向極限不存在，或沿任何兩個(gè)不同方向的方向極限存在而不相等，則可得出二重極限不存在.

5.累次極限與方向極限的關(guān)系

一般的說(shuō)，二者沒有什么關(guān)系，特別注意，累次極限絕不是方向極限的特例，即是說(shuō)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處沿任何方向有等于A的極限，而累次極限也可能不存在.

結(jié)論4：兩個(gè)累次極限存在相等，也不能保證方向極限的存在，當(dāng)二重極限，累次極限都存在，方向極限必存在，而且三者相等.

二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的

重要屬性的一個(gè)基本概念，比起一元函數(shù)的極限無(wú)論從計(jì)算還是證明都具有更大的難度，尤其是二元函數(shù)各種極限之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，本文總結(jié)了兩個(gè)二重極限之間的關(guān)系、兩個(gè)累次極限之間的關(guān)系、二重極限與累次極限之間的關(guān)系、二重極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系、二重極限與方向極限之間的關(guān)系、以及累次極限與方向極限之間的關(guān)系，這對(duì)于我們更深入研究二元函數(shù)具有十分重要的意義．

［1］黃克武.論重極限與累次極限的等價(jià)性［J］.云南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1995（9）：20-21.

［2］許萬(wàn)銀，岳曉紅.二元函數(shù)各種極限之間關(guān)系的討論［J］.隴龍?jiān)簩W(xué)報(bào)，2007（17）：1-2.

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［4］劉玉漣，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析：下冊(cè)［M］.北京：高等教育出版社，1998：144-149.

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·編輯李琴芳