陳峰

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，很多學(xué)生概念背得很熟悉，也知道知識之間的相互聯(lián)系，但就是不會解題。問題的根源在哪里？筆者結(jié)合“三角形、梯形中位線性質(zhì) ”教學(xué)的實(shí)踐加以說明。

關(guān)鍵詞：教學(xué)反思；思維培養(yǎng)；數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）33-0132-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.33.086

蘇科版幾何教學(xué)突出了通過探究、歸納、猜想，進(jìn)行合情推理，同時又強(qiáng)調(diào)平面幾何學(xué)的精髓——公理化思想。本節(jié)中位線定理在八年級上經(jīng)過探究，結(jié)論已知，并且在習(xí)題中也有應(yīng)用（主要是計(jì)算）。本節(jié)課內(nèi)容是在本書的圖形與證明章節(jié)中，充分體現(xiàn)公理化思想。即：公理、定義推出定理（重要的幾何命題），再由公理、定理證明幾何命題。本節(jié)內(nèi)容在學(xué)習(xí)了五個公理和平行四邊形性質(zhì)、判定定理的基礎(chǔ)上，利用公理定理進(jìn)行嚴(yán)格的證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，教會學(xué)生證明幾何命題的思維方法步驟。

一、教學(xué)實(shí)錄

（一）情境引入，揭示目標(biāo)

1.會證明三角形中位線定理。2.會證明梯形中位線定理，體會類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。3.學(xué)會證明幾何命題的思維方法。

（二）出示提綱，引導(dǎo)自學(xué)

出示自學(xué)嘗試提綱請學(xué)生自學(xué)課本，同時思考以下問題：

1.什么是中位線？2.中位線與中線有什么區(qū)別與聯(lián)系？3.證明兩線平行的方法有哪些？4.證明線段的倍份關(guān)系有什么方法？5.說出三角形中位線定理的內(nèi)容，并畫圖寫出已知求證。

自學(xué)要求：獨(dú)立思考后，小組交流。學(xué)生自學(xué)交流后，教師提問自學(xué)提綱中的問題。

設(shè)計(jì)意圖：掌握中位線與中線基本概念的聯(lián)系與區(qū)別。自學(xué)提綱以問題的形式出示，給學(xué)生一個自學(xué)的抓手。通過小組交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，讓學(xué)生有更多展現(xiàn)自我的機(jī)會。設(shè)計(jì)問題3與問題4的目的是揭示知識之間的相互聯(lián)系為證明中位線定理的兩個結(jié)果做鋪墊。

（三）以課本為例，探尋方法

以證明三角形中位線定理為例，探尋證明幾何命題的思考方法。

要求學(xué)生說出三角形中位線定理的內(nèi)容，并畫圖寫出已知求證，其目的是使學(xué)生能夠?qū)⑽淖终Z言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言。

已知： 如圖所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC。

求證： DE∥BC，DE=BC。

教師詢問：這個命題的已知條件是什么？求證的目標(biāo)是什么？此定理的結(jié)論有幾個？它們揭示的是兩線的什么關(guān)系？目的是使學(xué)生拿到幾何命題首先要明確已知的條件和求證的目標(biāo)。此定理有兩個結(jié)論，一個揭示的是兩線的位置關(guān)系平行，一個揭示的是兩線的數(shù)量倍份關(guān)系。

針對上述兩個目標(biāo)，請同學(xué)回答證明兩線平行，我們學(xué)習(xí)過哪些定理、定義、性質(zhì)？目的是使學(xué)生明確，從所要求證的結(jié)論出發(fā)，尋找證明此結(jié)論需要推理的規(guī)則。即哪些定理、定義、性質(zhì)、法則等與之相關(guān)聯(lián)，在頭腦中快速地檢索。再根據(jù)已知條件確定出解決此目標(biāo)需要的定理、定義、性質(zhì)、法則等，即通過已知條件確定解題的策略。在初中幾何里證明兩線平行主要有兩類：一類是利用角的關(guān)系即同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明兩直線平行。一類是利用平行四邊形的性質(zhì)，兩組對邊互相平行得到兩線的平行。通過小組交流補(bǔ)充完整證明兩線平行的判定方法。

（四）變式訓(xùn)練，感悟方法

最后通過變式訓(xùn)練證明梯形中位線定理感悟幾何命題證明思考的方法程序。

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，

求證：EF//BC， EF=■ （BC+AD）

類比三角形中位線的證法，轉(zhuǎn)化為三角形中位線，即：連結(jié)AF并延長與BC的延長線交于G點(diǎn)。只要證明△ADF與△GCF全等，AD=CG，AF=FG，再利用三角形中位線定理就可以證明。

轉(zhuǎn)化的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思想方法。用已經(jīng)掌握的知識方法來解決未知的問題。教師繼續(xù)提出問題：“還有其他證明方法嗎？類比三角形中位線定理的證明方法，要證明平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為構(gòu)造平行四邊形。類比學(xué)習(xí)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很重要的學(xué)習(xí)方法。同學(xué)們試試看如何構(gòu)造平行四邊形？想好后請畫在黑板上。”（如下圖）

請學(xué)生思考每個圖形的證明方法，并說出證明過程。

設(shè)計(jì)意圖：通過變式練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。使學(xué)生體會到事物之間都是相互聯(lián)系的。培養(yǎng)用類比、轉(zhuǎn)化的思想思考問題，感悟幾何命題證明思考的方法程序。

二、教后反思

本節(jié)課，我引導(dǎo)學(xué)生首先通過對基本概念中位線與中線類比的學(xué)習(xí)，使學(xué)生明確概念，其次通過對所學(xué)的證明平行的有關(guān)定理、定義、公理的篩選找到證明平行的策略，即構(gòu)造平行四邊形方法來證明三角形中位線定理，歸納概括出證明幾何命題思考的方法程序。通過轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想方法證明了梯形中位線定理，進(jìn)一步體會證明幾何命題思考的方法程序。

（一）關(guān)注“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)

根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的原理，要讓學(xué)生感受怎樣找到證明平行的策略，即構(gòu)造平行四邊形方法來證明三角形中位線定理，歸納概括出證明幾何命題思考的方法程序。從他們已有的經(jīng)驗(yàn)入手。并在此基礎(chǔ)上通過一系列精心設(shè)計(jì)的問題進(jìn)行追問：如何從角入手？如何找平行四邊形？沒有平行如何構(gòu)造平行四邊形？怎樣來歸納總結(jié)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？等，學(xué)生既有興趣也有能力去發(fā)現(xiàn)，尋找答案。而且這些問題并不是簡單地重復(fù)，它具有層次性和梯度 ，這樣既富有挑戰(zhàn)性，培養(yǎng)了學(xué)生的自信，又讓學(xué)生不斷深入去感受幾何證明的魅力。

（二）強(qiáng)調(diào) “規(guī)范性”，要求學(xué)生更嚴(yán)謹(jǐn)

要培養(yǎng)學(xué)生的幾何意識，必須踏實(shí)地從書寫的規(guī)范性要求入手。雖然這不是本節(jié)課的重點(diǎn)，但針對課堂中自然生成的問題——學(xué)生用幾何符號語言來證明時書寫不夠規(guī)范，筆者沒有回避或者草草帶過。而是采取“欲擒故縱”的方式，以期引起學(xué)生的重視。習(xí)慣的培養(yǎng)不是一朝一夕能夠完成的，作為數(shù)學(xué)教師我們有責(zé)任反復(fù)強(qiáng)調(diào)提醒學(xué)生更嚴(yán)謹(jǐn)。

總之，在教學(xué)實(shí)踐中，通過精心設(shè)計(jì)課堂提問，如運(yùn)用情境式、發(fā)散式、探究式等提問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新課堂，通過類比和聯(lián)想、實(shí)驗(yàn)、反推等方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力；課前課后引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和分析問題，運(yùn)用系統(tǒng)歸納、科學(xué)探究和提出問題等方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

[責(zé)任編輯 金 東]