周　丹，葛洪偉+，蘇樹智，袁運浩

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基于緊湊度和調(diào)度處理的粒子群優(yōu)化算法*

周丹1,2，葛洪偉1,2+，蘇樹智1，袁運浩1

1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇無錫214122
2.江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點實驗室，江蘇無錫214122

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2016/10(05)-0742-09

http://www.ceaj.org Tel: +86-10-89056056

* The National Natural Science Foundation of China under Grant No. 61402203 (國家自然科學(xué)基金); the Research Innovation Program for College Graduates of Jiangsu Province under Grant No. KYLX15_1169 (江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目).

Received 2015-06,Accepted 2015-08.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版: 2015-08-28, http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150828.1622.012.htm l

ZHOU Dan, GE Hongwei, SU Shuzhi, et al. Particle compaction and scheduling based particle swarm optim ization. Journal of Frontiersof Computer Scienceand Technology, 2016, 10(5)：742-750.

摘要：針對標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法存在收斂速度慢和難以跳出局部最優(yōu)等問題，提出了一種基于緊湊度和調(diào)

度處理的粒子群優(yōu)化算法。給出了粒子緊湊度和調(diào)度處理的概念和方法，通過動態(tài)評價粒子群中各粒子間的緊湊程度，從而確定調(diào)度的粒子，進(jìn)而對其進(jìn)行調(diào)度處理，避免粒子陷入局部最優(yōu)。對11個常見的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測試，并與標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和其他改進(jìn)算法進(jìn)行對比，實驗結(jié)果表明，基于緊湊度和調(diào)度處理的粒子群優(yōu)化算法具有較高的尋優(yōu)精度和較快的收斂速度。

關(guān)鍵詞：粒子群優(yōu)化算法；局部最優(yōu)；緊湊度；調(diào)度處理；尋優(yōu)精度；收斂速度

1 引言

粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optim ization，PSO）是Kennedy等人受到飛鳥集群活動的規(guī)律性啟發(fā)而提出的一種智能優(yōu)化算法。與其他進(jìn)化算法相比，它容易實現(xiàn)，參數(shù)較少，具有較低的時間和空間復(fù)雜度，已在科學(xué)和工程領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用。但是，PSO算法在尋優(yōu)過程中依然存在著收斂速度慢，易陷入局部最優(yōu)的缺陷。近年來，相關(guān)學(xué)者對此提出了很多改進(jìn)方法，如在基本PSO中引入慣性權(quán)值[1-3]、壓縮因子[4]以及健康度[5-6]的概念等，這類改進(jìn)算法雖然能在一定程度上改善PSO的搜索性能，提高算法的收斂速度，但是在處理一些多峰函數(shù)時，仍存在易陷入局部最優(yōu)的問題。為了增強粒子的全局探索能力，在有限規(guī)模內(nèi)保持粒子群的多樣性，避免種群陷入局部最優(yōu)，學(xué)者們在基本PSO中引入了交叉機制[7]、自適應(yīng)變異機制[8-12]等方法，但卻降低了種群的收斂速度。鑒于單一的智能算法在實際應(yīng)用中面臨各自的問題，相互之間的促進(jìn)與補充便成為可行的改進(jìn)途徑，因此學(xué)者們提出混合各種啟發(fā)式算法的改進(jìn)思路，如在PSO中引入蟻群算法的信息素機制[13]、極值優(yōu)化[14]、爬山策略[15]、人工魚群思想[16]等，但就總體而言，這些算法仍然存在收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)等缺陷。

通過分析可以看出，粒子群算法存在的主要問題是：（1）對當(dāng)前全局最優(yōu)值的追逐力度不夠，導(dǎo)致收斂速度不夠快；（2）算法迭代中后期，粒子的多樣性不夠，導(dǎo)致搜索范圍不夠大，算法全局探索能力較弱，且沒有有效的機制使粒子跳出局部最優(yōu)，最終導(dǎo)致算法收斂精度不夠高。為了解決此問題，本文引入了緊湊度和調(diào)度處理的概念，提出了基于緊湊度和調(diào)度處理的粒子群優(yōu)化算法（particle compaction and scheduling based particle swarm optimization，PCSPSO）。本文算法通過動態(tài)計算粒子間的緊湊度來確定調(diào)度粒子，進(jìn)而對調(diào)度粒子進(jìn)行調(diào)度處理，擴大粒子的搜索范圍，增強算法的全局探索能力；同時在調(diào)度過程中，全局最優(yōu)值Pg的引導(dǎo)增強了算法的收斂速度。

2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)描述為：在D維的搜索空間中，每一個粒子都被看成空間中的一個點，不妨設(shè)空間中共有m個粒子，則第i個粒子的空間位置為Xi=[xi1,xi2,…,xiD]，其速度為Vi=[vi1,vi2,…,viD]，其所經(jīng)歷的最優(yōu)位置即個體歷史最優(yōu)位置Pi=[pi1,pi2,…,piD]，其中i=1,2,…,m。所有粒子經(jīng)歷過的最優(yōu)位置即全局最優(yōu)位置Pg=[pg1,pg2,…,pgD]。粒子的位置和速度更新公式分別為：

其中，w為慣性權(quán)值；c1和c2是加速系數(shù)；r1和r2均為[0,1]之間的隨機數(shù)。

3 相關(guān)問題描述

定義1(σ2)[11]設(shè)粒子群的粒子數(shù)目為m，f(Xi)為第i個粒子的適應(yīng)值，favg(X)為粒子群目前的平均適應(yīng)度，σ2為粒子群當(dāng)前的適應(yīng)度方差：

定義2(I(X(t)))[17]設(shè)粒子群中粒子數(shù)目為m，粒子維數(shù)為D，粒子群的位置多樣性I(X(t))定義如下：

4 基于緊湊度和調(diào)度處理的粒子群算法

4.1緊湊度

定理1如果粒子群算法陷入早熟收斂或者達(dá)到全局收斂，則群體適應(yīng)度方差σ2等于0。

證明令φ1=c1r1，φ2=c2r2，綜合式（1）、（2）得：

其中，Pi為個體最優(yōu)值位置；Pg為全局最優(yōu)值的位置。

如果粒子群算法出現(xiàn)早熟收斂或者達(dá)到全局收斂，則個體最優(yōu)值、全局最優(yōu)值不再發(fā)生變化；此時需考慮當(dāng)算法出現(xiàn)早熟收斂或者全局收斂時，隨機量φ1、φ2對粒子的影響，由于φ1=c1r1，φ2=c2r2，r1、r2服從均勻分布，為了簡化處理，利用其期望值進(jìn)行觀察，即：

由定理1可知，當(dāng)粒子群出現(xiàn)早熟或全局收斂時，群體的適應(yīng)度方差等于0，此時種群的全局探索能力較弱，為了避免種群陷入局部最優(yōu)，本文提出了緊湊度的概念，即當(dāng)兩粒子間的適應(yīng)度差值在一個門限值范圍內(nèi)時，就認(rèn)定此時兩粒子處于緊湊狀態(tài)。雖然處于緊湊狀態(tài)的粒子能夠加強局部搜索能力，但卻降低了粒子群的全局探索能力，使種群更容易出現(xiàn)早熟收斂。因此，本文根據(jù)經(jīng)驗值設(shè)定具體的緊湊度閾值，當(dāng)相鄰兩粒子間的適應(yīng)度差值小于此閾值時，就可認(rèn)定兩粒子已達(dá)到了緊湊狀態(tài)，否則，兩粒子未達(dá)到緊湊狀態(tài)。

4.2粒子調(diào)度處理的方法

對粒子進(jìn)行調(diào)度處理的主要目標(biāo)是為了在提高算法尋優(yōu)精度的同時，加快算法的收斂速度。為了提高算法的尋優(yōu)精度，本文利用式（9）、（10）對粒子的歷史最優(yōu)位置Pi、當(dāng)前位置Xi進(jìn)行處理，從而改變粒子的運動軌跡，擴大粒子群的搜索范圍；由于有全局最優(yōu)位置Pg的參與和調(diào)度系數(shù)c3的控制，調(diào)度粒子能夠在Pg周圍進(jìn)行搜索，提高算法的尋優(yōu)精度，同時使得粒子搜索到優(yōu)于已有Pg的概率大大提高，加快算法的收斂速度。

其中，r3,r4∈[0,1]，k,h∈{1,2,…,m}，d∈{1,2,…,D}，且k、h均為隨機值，這些參數(shù)的隨機性保證了算法具有很強的探索能力；c3為調(diào)度系數(shù)，用于控制調(diào)度粒子對Pg的跟隨程度，在提高算法尋優(yōu)精度的同時盡量避免陷入局部最優(yōu)。

控制種群位置多樣性是提高算法全局探索能力的重要手段之一，因此PCS-PSO算法在處理調(diào)度粒子時，通過以一定的小概率p1隨機改變粒子的當(dāng)前位置而不受Pg的限制，提高算法的全局探索能力。此時雖然會在一定程度上減慢整個種群的收斂速度，但通過小概率p1的控制，可以有效地協(xié)調(diào)收斂速度與全局探索力度，使種群在快速搜索全局最優(yōu)值的同時，能夠擴大搜索范圍，增強算法的全局探索能力。具體做法如式（11）所示：

4.3算法描述

針對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法在迭代初期收斂速度慢，而在迭代后期又存在不易跳出局部最優(yōu)的缺陷，本文提出了基于緊湊度和調(diào)度處理的粒子群算法（PCS-PSO）。在PCS-PSO算法中，首先需根據(jù)具體問題確定一個合適的緊湊度閾值Hth，然后在種群每一次迭代結(jié)束后，根據(jù)緊湊度正確選擇調(diào)度粒子，并對其進(jìn)行調(diào)度。具體做法為：在粒子群每一次更新結(jié)束后，按粒子的適應(yīng)度值對粒子進(jìn)行排序，若相鄰兩粒子處于緊湊狀態(tài)，則對前一粒子進(jìn)行調(diào)度，直到算法結(jié)束。

4.4算法步驟

步驟1隨機初始化粒子群中各粒子的速度和位置：

步驟2更新粒子群中所有粒子的速度和位置：

步驟3將粒子按當(dāng)前適應(yīng)度值的大小排序。

步驟4若相鄰兩粒子處于緊湊狀態(tài)，則對前一粒子進(jìn)行如下調(diào)度處理：

若產(chǎn)生的隨機數(shù)rand

步驟5若粒子的當(dāng)前適應(yīng)度值優(yōu)于目前的全局最優(yōu)值，則更新粒子群Pg。

步驟6判斷是否滿足結(jié)束條件，若不滿足，跳轉(zhuǎn)至步驟2；否則，算法結(jié)束。

5 仿真實驗

5.1測試函數(shù)

本文在實驗中選取了Sphere、Rosenbrock、Penalized、Levy、Griewank、Rastrigin、NC- Rastrigin、Ackley、Cigar、Ellipse、Quadric這11個變量維數(shù)可變的常用測試函數(shù)（見表1）。在進(jìn)行參數(shù)選擇實驗時，僅用了F1～F4；在與其他算法（PSO、HPSO[5]、APSO[12]）進(jìn)行對比時，所有函數(shù)均會被測試。此外，為了保證實驗數(shù)據(jù)的公平有效，本文具體做法如下：（1）在每次運行各種算法之前，生成一組初始值并初始化粒子，從而消除因初始值不同而導(dǎo)致的差異；（2）每次實驗均將各算法反復(fù)運行20次，最后對其進(jìn)行統(tǒng)計，從而消除因算法隨機性導(dǎo)致的差異。

Table 1 Test functions表1 測試函數(shù)

5.2參數(shù)的選擇實驗

在實驗中適應(yīng)度閾值根據(jù)經(jīng)驗值取Hth=100，下面對PCS-PSO算法中的參數(shù)c3、p1進(jìn)行實驗和分析。為了確定調(diào)度處理時調(diào)度系數(shù)c3的最佳值，設(shè)定粒子維度D=30，小概率p1=0.05，粒子數(shù)目m=30，最大迭代次數(shù)itmax=3 000，對c3取值分別為0.1、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.9、1.1時進(jìn)行了測試，實驗結(jié)果如表2所示。其中Mean表示20次實驗中最優(yōu)解的平均值，反應(yīng)了解的質(zhì)量；Std表示解的方差，反應(yīng)了算法的穩(wěn)定性和魯棒性。

從表2中可以看出，當(dāng)調(diào)度系數(shù)c3的取值為0.5時，算法的尋優(yōu)精度最高，性能最優(yōu)。調(diào)度系數(shù)c3體現(xiàn)了調(diào)度粒子對全局最優(yōu)值Pg的依賴程度。從表中數(shù)據(jù)分析可知，當(dāng)c3較大時，會導(dǎo)致調(diào)度粒子過度依賴Pg而出現(xiàn)尋優(yōu)精度不高的現(xiàn)象；當(dāng)c3較小時，會出現(xiàn)粒子對最優(yōu)位置Pg的利用力度不夠，在3 000次迭代內(nèi)尋優(yōu)精度不夠高，這在F2、F3、F4中體現(xiàn)得較為明顯，即當(dāng)c3≤0.5時，算法在給定迭代次數(shù)內(nèi)的尋優(yōu)精度隨著c3的增加而提高。

下面繼續(xù)研究小概率p1對算法的影響。對p1分別取0、0.01、0.03、0.05、0.07、0.10、0.20進(jìn)行測試，此時調(diào)度系數(shù)取最佳值，即c3=0.5，其他參數(shù)的設(shè)置同上，實驗結(jié)果見表3。

Table 2 Influence of different c3on PCS-PSO表2 不同c3對PCS-PSO算法的影響

Table 3 Influence of different p1on PCS-PSO表3 不同小概率對PCS-PSO算法的影響

從表3中可以看出，當(dāng)小概率p1=0.05時，算法的尋優(yōu)精度最高，性能最優(yōu)。這一點充分體現(xiàn)了粒子群在尋優(yōu)過程中，小概率擾動對提高算法收斂精度有一定的貢獻(xiàn)，而以較大概率進(jìn)行擾動又會導(dǎo)致對當(dāng)前全局最優(yōu)值的追逐力度不夠，降低算法的收斂速度。這一點在函數(shù)F2、F3、F4中表現(xiàn)得較為明顯，即當(dāng)p1≤0.05，尋優(yōu)精度隨著p1的增加而提高；而當(dāng)p1>0.50時，尋優(yōu)精度卻隨著p1的增加而降低。

5.3性能測試實驗與分析

為了驗證本文算法（PCS-PSO）的性能，將PCSPSO算法與標(biāo)準(zhǔn)PSO、收斂速度快且尋優(yōu)能力相對較好的HPSO[5]、尋優(yōu)能力強且不易陷入局部的APSO[12]進(jìn)行了對比。各算法的詳細(xì)參數(shù)（HPSO、APSO的參數(shù)設(shè)置方案分別源自文獻(xiàn)[5，12]）如表4所示，其中粒子維數(shù)D=30，粒子個數(shù)m=30。實驗結(jié)果統(tǒng)計表如表5所示，其中Best、Worst、Mean、Std、S.R.分別表示各算法在20次獨立實驗過程中的最好值、最壞值、平均值、適應(yīng)度方差和達(dá)到指定精度（1.00E-04）的百分比。

Table 4 Setting parameters for algorithms表4 各算法參數(shù)設(shè)置

從表5可以看出，PCS-PSO算法較其他對比算法表現(xiàn)出了良好的收斂速度和收斂精度，在F2、F3和F4中表現(xiàn)得尤為突出。F2（Rosenbrock）是非凸的病態(tài)函數(shù)，常用于考察算法的執(zhí)行效率；F3（Penalized）、F4（Levy）均為多峰函數(shù)，用于考察算法跳出局部最優(yōu)的能力。APSO算法在多峰函數(shù)F4、F5、F6、F7、F8中尋優(yōu)精度不夠高；HPSO算法在多峰函數(shù)F3、F4中尋優(yōu)能力較弱；PCS-PSO算法在上述所有多峰函數(shù)上的尋優(yōu)精度較高，從而表明了本文算法PCS-PSO減輕了局部極值現(xiàn)象。為了進(jìn)一步展現(xiàn)PCS-PSO算法在尋優(yōu)速度上的優(yōu)勢，表6給出了各算法達(dá)到指定精度（1.00E-04）所花費的時間。運行環(huán)境為：CPU Intel i5-3470，主頻3.2 GHz，內(nèi)存4.0 GB，64位Win7系統(tǒng)；實驗在Matlab 2010 b軟件上運行。統(tǒng)計結(jié)果為20次重復(fù)實驗的平均值，若200 000次迭代后還未達(dá)到該精度，則用“—”表示。此外，圖1、圖2分別給出了粒子的收斂曲線和位置多樣性變化圖，由于篇幅有限，本文列舉了具有代表性的6個測試函數(shù)的收斂曲線圖和3個測試函數(shù)的位置多樣性變化圖，在其他測試函數(shù)上也有相似的性能。

Table 6 Running time of algorithms表6 各算法達(dá)到指定精度的運行時間

Fig.1 Convergence curve圖1 收斂曲線

Fig.2 Position variety圖2 位置多樣性

從圖1中可以看出，PCS-PSO算法具有較快的收斂速度，特別是在Sphere和Cigar函數(shù)中表現(xiàn)得尤為明顯，只需較少的迭代次數(shù)就能找到全局最優(yōu)解。從圖2中可以看出，在迭代初期，PCS-PSO算法中粒子多樣性相對較低，使得種群的搜索范圍相對較小，從而使算法具有相對較強的局部搜索能力，加快種群的收斂速度；在迭代后期，PCS-PSO算法中粒子多樣性相對較高，有利于粒子在較大范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，增強粒子群的全局探索能力，提高算法收斂精度。縱觀整個迭代過程，PCS-PSO算法中粒子群的位置多樣性I(X(t))較為穩(wěn)定，有利于平衡種群的局部搜索和全局探索能力。通過對表5和圖1的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析易知，PCS-PSO算法在收斂速度和尋優(yōu)精度上明顯優(yōu)于其他對比算法。

6 結(jié)束語

由于標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法在尋優(yōu)時存在收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)等問題，本文給出了緊湊度的概念和相應(yīng)的調(diào)度處理方法，提出了基于緊湊度和調(diào)度處理的粒子群算法，在種群每一次迭代更新結(jié)束后，通過統(tǒng)計粒子間的緊湊程度，選擇合適的粒子對其進(jìn)行調(diào)度，保證了種群的搜索范圍，避免種群多樣性的缺失，具體的調(diào)度策略使算法在整個尋優(yōu)過程中能夠有效地平衡種群的局部搜索能力和全局探索能力。仿真實驗結(jié)果表明，本文提出的基于緊湊度和調(diào)度處理的粒子群算法在收斂速度和尋優(yōu)精度上具有良好的性能。

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ZHOU Dan was born in 1989. She is an M.S. candidate at Jiangnan University, and the member of CCF. Her research interests include artificial intelligence and pattern recognition.

周丹（1989—），女，湖北荊州人，江南大學(xué)碩士研究生，CCF會員，主要研究領(lǐng)域為人工智能，模式識別。

GE Hongwei was born in 1967. He received the M.S. degree in computer science from Nanjing University of Aeronautics and Astronautics in 1992 and the Ph.D. degree in control engineering from Jiangnan University in 2008. Now he is a professor and Ph.D. supervisor at School of Internet of Things Engineering, Jiangnan University. His research interests include artificial intelligence and pattern recognition, machine learning, image processing and analysis, etc.

葛洪偉（1967—），男，江蘇無錫人，1992年于南京航空航天大學(xué)計算機系獲得碩士學(xué)位，2008年于江南大學(xué)信息學(xué)院獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域為人工智能與模式識別，機器學(xué)習(xí)，圖像處理與分析等。在國際權(quán)威期刊、會議和國內(nèi)核心期刊上發(fā)表論文70多篇，主持和承擔(dān)了國家自然科學(xué)基金等國家級項目和省部級項目近20項，獲省部級科技進(jìn)步獎多項。

SU Shuzhi was born in 1987. He is a Ph.D. candidate at Jiangnan University. His research interests include pattern recognition and machine learning.

蘇樹智（1987—），男，山東泰安人，江南大學(xué)博士研究生，主要研究領(lǐng)域為模式識別，機器學(xué)習(xí)。

YUAN Yunhao was born in 1983. He received the Ph.D. degree from Nanjing University of Science and Technology in 2013. Now he is an associate professor at Jiangnan University. His research interests include pattern recognition and machine learning.

袁運浩（1983—），男，江蘇徐州人，2013年于南京理工大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院副教授，主要研究領(lǐng)域為模式識別，機器學(xué)習(xí)。

Particle Com paction and Scheduling Based Particle Swarm Optim ization?

ZHOU Dan1,2, GE Hongwei1,2+, SU Shuzhi1, YUAN Yunhao1
1. School of Internet of Things Engineering, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China
2. Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry, M inistry of Education, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China
+ Corresponding author: E-mail: ghw8601@163.com

Key words:particle swarm optim ization; local optim ization; compaction; scheduling; accuracy of convergence; speed of convergence

Abstract:To the problems of slow convergence and easy to fall into local optim ization appeared in standard particle swarm optimization, this paper proposes a particle compaction and scheduling based particle swarm optimization (PCS-PSO). Firstly, this paper presents the regulations of particles’compaction and scheduling. In order to avoid particles to stay in local optim ization, PCS-PSO evaluates dynam ically particle’s compaction and schedules the particle when the value of the particle’s compaction is beyond the threshold. Compared w ith standard particle swarm optim ization and other optimization algorithms using 11 benchmark functions, the experimental results show that PCS-PSO has better behaviors in convergence accuracy and speed.

doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1507025 E-mail: fcst@vip.163.com

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號：TP18