姚龍洋，張清華,+，胡帥鵬，張　強(qiáng)

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基于近似集與粒子群的粗糙熵圖像分割方法*

姚龍洋1，張清華1,2+，胡帥鵬1，張強(qiáng)2

1.重慶郵電大學(xué)計(jì)算智能重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065 2.重慶郵電大學(xué)理學(xué)院，重慶400065

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2016/10(05)-0699-10

http://www.ceaj.org Tel: +86-10-89056056

* The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos. 61472056, 61309014, 61300059 (國家自然科學(xué)基金); the Natural Science Foundation of Chongqing under Grant Nos. cstc2012jjA40032, cstc2013jcyjA40063 (重慶市自然科學(xué)基金).

Received 2015-06,Accepted 2015-08.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版: 2015-08-13, http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150813.1108.002.htm l

YAO Longyang, ZHANG Qinghua, HU Shuaipeng, et al. Rough entropy for image segmentation based on approximation sets and particle swarm optim ization. Journal of Frontiers of Com puter Science and Technology, 2016, 10(5): 699-708.

摘要：基于經(jīng)典粗糙集理論的圖像分割方法缺少對(duì)目標(biāo)圖像不確定性邊界域的精確劃分，其根據(jù)先驗(yàn)粒度構(gòu)建的圖像粗糙集信息系統(tǒng)，并沒有客觀準(zhǔn)確地反映出不同粒度之間的粗糙性信息。基于粗糙集近似集理論模型，首先采用自適應(yīng)粒化方法得到圖像的最優(yōu)粒度，接著基于該粒度劃分構(gòu)建圖像的目標(biāo)和背景的上下近似集，再根據(jù)近似集思想對(duì)目標(biāo)集合的邊界域進(jìn)行精確刻畫，同時(shí)結(jié)合粒子群算法提高求解粗糙集近似集最大粗糙熵的效率，最終得到圖像分割的最優(yōu)分割閾值，并通過仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法具有可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：圖像分割；粗糙集；近似集；粒計(jì)算；粒子群

1 引言

圖像分割是指根據(jù)灰度、色彩、形狀、紋理等特征將一幅圖像劃分為互不相交的區(qū)域，從而獲得圖像中感興趣的目標(biāo)區(qū)域[1]。作為圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域中的關(guān)鍵步驟，圖像分割效果的好壞對(duì)圖像分析和圖像理解等基礎(chǔ)環(huán)節(jié)有著直接的影響。近些年，隨著越來越多的圖像分割方法和技術(shù)被提出，這些方法在實(shí)際中也已得到了廣泛應(yīng)用，如工業(yè)制造、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)器人視覺和地理測繪等領(lǐng)域[1-2]。

現(xiàn)有的圖像分割方法主要包括閾值分割法、邊緣檢測法、區(qū)域分割法、聚類分割法和基于特定理論的分割方法等，其中閾值分割法因其實(shí)現(xiàn)簡單、高效穩(wěn)定等特點(diǎn)受到了廣泛關(guān)注和研究[1-2]?；陂撝档膱D像分割方法的基本思想是通過計(jì)算圖像的特征描述信息建立直方圖，選取一個(gè)或多個(gè)灰度閾值對(duì)圖像進(jìn)行分割，最終得到目標(biāo)區(qū)域和背景區(qū)域。閾值分割法的關(guān)鍵就是如何選取分割閾值，文獻(xiàn)[3]提出了最大類間方差法，它是一種無參數(shù)并且無監(jiān)督的基于直方圖的經(jīng)典分割方法，但當(dāng)直方圖信噪比較低時(shí)去噪效果較差。文獻(xiàn)[4]提出的最大熵閾值法在計(jì)算過程中無需先驗(yàn)知識(shí)且適用于非理想雙峰直方圖的圖像分割，但存在多閾值計(jì)算量偏大和分割結(jié)果不穩(wěn)定等問題。文獻(xiàn)[5]提出的最小誤差法通過目標(biāo)與背景的灰度分布建立混合高斯模型，將二值化問題轉(zhuǎn)化為最小誤差化的高斯分布擬合問題。文獻(xiàn)[6]根據(jù)計(jì)算閾值所依據(jù)的圖像信息分類情況，總結(jié)并分析了近40種經(jīng)典的閾值分割方法。文獻(xiàn)[7]針對(duì)目標(biāo)與背景之間不易區(qū)分的過渡區(qū)域，通過引入粗糙集理論將不確定區(qū)域轉(zhuǎn)化為粗糙集的上下近似描述，提出了基于粗糙集模型的粗糙熵圖像分割方法。文獻(xiàn)[8]利用變精度粗糙集模型與遺傳算法，在提高粗糙熵的求解效率的同時(shí)通過精度調(diào)節(jié)得到分割閾值。

上述方法雖然針對(duì)圖像閾值分割在不同維度、計(jì)算復(fù)雜度及分割效果上進(jìn)行了改進(jìn)和創(chuàng)新，但在利用粗糙集的圖像閾值分割方法過程中，圖像粒度的劃分仍需要人為設(shè)定，以致不能根據(jù)實(shí)際圖像信息在自適應(yīng)的條件下達(dá)到最優(yōu)粒度?；诮?jīng)典粗糙集圖像分割方法在構(gòu)造上下近似集描述的同時(shí)仍缺少對(duì)邊界域的刻畫，無法找到目標(biāo)區(qū)域的最優(yōu)近似[9-10]。本文提出了一種基于粗糙集近似集模型的圖像分割方法，通過局部灰度方差得到自適應(yīng)最優(yōu)粒度，在求解圖像的近似集粗糙熵過程中結(jié)合粒子群算法，最終得到給予粗糙熵的圖像分割閾值。

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第2章主要介紹了粗糙集理論和粗糙集的近似集擴(kuò)展模型的相關(guān)概念，以及圖像的粗糙集表示；第3章給出了基于粗糙集近似集的圖像粒度劃分適應(yīng)方法和圖像的近似集粗糙熵度量，并提出了基于粗糙集近似集與粒子群算法的圖像分割方法；第4章進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明了本文算法的可行性和有效性；第5章是結(jié)束語。

2 相關(guān)概念

2.1粗糙集理論

粗糙集（rough set）理論是波蘭數(shù)學(xué)家Paw lak于1982年提出的一種處理模糊和不確定知識(shí)的數(shù)學(xué)工具[9-10]。該理論最大的特點(diǎn)是不需要任何先驗(yàn)知識(shí)，直接從數(shù)據(jù)中提取規(guī)則，因此它在模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)和專家系統(tǒng)等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[11-12]。為了更清楚地描述，首先給出粗糙集的相關(guān)基本概念。

定義1（信息系統(tǒng)）[9-10]一個(gè)信息系統(tǒng)S可以表示為。其中，U是對(duì)象全集，也稱為論域；A=C?D是屬性全集，子集C和D分別稱為條件屬性集和結(jié)果屬性集；是屬性值的集合，Vr表示屬性r∈A的屬性值范圍，即屬性r的值域；f: U×A→V是一個(gè)信息函數(shù)，它指定U中每一個(gè)對(duì)象x的屬性值。

定義2（不可分辨關(guān)系）[9-10]對(duì)于任一屬性集合R?A，定義一個(gè)不可分辨二元關(guān)系

定義3（上近似集（upper approximation set）與下近似集（lower approximation set））[9-10]給定信息系統(tǒng)，對(duì)于任一對(duì)象集合X?U和屬性集合R?A，X關(guān)于R的上近似集(X)和下近似集(X)分別定義為：

定義4（粗糙度）[9- 10]在給定的信息系統(tǒng)中，IND(B)是U上的一個(gè)不可分辨關(guān)系，[x]B表示對(duì)象x的等價(jià)類，對(duì)象子集X?U，X的粗糙度ρB(X) 定義如下：

由以上定義可知，粗糙集以不可分辨關(guān)系為基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上定義上下近似集來近似刻畫目標(biāo)集合。

2.2粗糙集近似集模型

粗糙集雖然通過定義上下近似集來描述目標(biāo)集合的上下邊界，但是如何在當(dāng)前的劃分空間中利用現(xiàn)有粒度構(gòu)造目標(biāo)集合較好的近似集是值得人們關(guān)注的問題，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[13]首先提出了變精度粗糙集模型，極大地促進(jìn)了粗糙集在應(yīng)用上的發(fā)展。文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]分別基于依賴關(guān)系和粗糙隸屬度函數(shù)與粗糙包含函數(shù)研究了概率粗糙集模型，均取得了較好的結(jié)論。文獻(xiàn)[15]提出了粗糙集近似集模型，很好地解決了目標(biāo)集合的近似集構(gòu)建問題。粗糙集近似集利用集合的相似度首先將粗糙集轉(zhuǎn)換為模糊集，然后根據(jù)粗糙集邊界域中元素的隸屬度不同，利用截集的思想來構(gòu)造近似集，進(jìn)而基于該近似集來獲取在當(dāng)前粒度下的近似規(guī)則。同時(shí)，該模型已經(jīng)證明當(dāng)集合隸屬度取0.5時(shí)的優(yōu)越性[15]，由此給出目標(biāo)概念的近似集。

定義5（隸屬度函數(shù)）[9-10]設(shè)U是非空對(duì)象集，知識(shí)空間為U/IND(R)，對(duì)象子集X?U，則對(duì)于任意的，x屬于集合X的隸屬函數(shù)為：

定義6（X的λ近似集）[15]設(shè)X是論域的一個(gè)集合（目標(biāo)概念），令：

稱Rλ(X)為X的λ近似集。

顯然，R1(X)=-R(X)，R0(X)=(X)，即上近似集和下近似集是Rλ(X)的特例，粗糙集近似集模型是粗糙集模型的推廣。文中，λ一般取0.5，如無特殊說明，粗糙集的近似集均指R0.5(X)。R0.5(X)對(duì)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算有如下性質(zhì)。

性質(zhì)1[15]設(shè)X、Y是兩個(gè)集合（概念），則

定義7（集合的近似度（或相似度））[15]設(shè)A、B是有限論域U上的兩個(gè)子集，即A?U，B?U，定義映射S: U×U→[0,1]，即(A,B)→S(A,B)，如下：

其中，||·表示有限子集的元素個(gè)數(shù)；S(A,B)是集合A、B的近似度。

定理1[15]設(shè)論域U是一個(gè)有限論域，X?U，R 是U上的等價(jià)關(guān)系，則S(X,R0.5(X))≥S(X,-R(X))。

定理2[15]設(shè)論域U是一個(gè)有限論域，X?U，R 是U上的等價(jià)關(guān)系，若

則S(X,R0.5(X))≥S(X,(X))。

定理1和定理2表明粗糙集近似集對(duì)于目標(biāo)集合的近似度均高于上近似集和下近似集，這也是本文基于該模型研究圖像閾值分割方法的意義所在。

2.3圖像的粗糙集表示

圖像信息本身所具有的相關(guān)性和不確定性等特點(diǎn)，造成了在圖像處理過程中各個(gè)層次可能出現(xiàn)不完整和不精確的問題，因此通過將粗糙集理論應(yīng)用到圖像處理中，利用粗糙集中的不可分辨關(guān)系、近似集合概念和知識(shí)約簡等思想，具有比傳統(tǒng)模型方法和算法更完備的處理結(jié)果[16-19]。圖像的粗糙集表示的基本思路是，將圖像所表達(dá)的信息轉(zhuǎn)化為由二維圖像灰度值對(duì)象所組成的一個(gè)信息表達(dá)系統(tǒng)，再根據(jù)粗糙集的不可分辨關(guān)系構(gòu)建該信息系統(tǒng)的目標(biāo)與背景近似集合[7,20]。

令集合R表示整個(gè)圖像區(qū)域，那么可以將圖像分割看成是將R劃分成n個(gè)子區(qū)域R1,R2,…,Rn的過程，如下定義，對(duì)于?i,j且i≠j：

（2）Ri是一個(gè)連通的區(qū)域；

（3）Ri?Rj=?，即任意兩個(gè)子區(qū)域不存在公共元素；

（4）區(qū)域Ri滿足一定的均勻性條件。

文獻(xiàn)[7]定義了圖像的粗糙集表示方法，在圖像分割過程中，一幅圖像的所有像素點(diǎn)構(gòu)成論域U，將該圖像劃分成k個(gè)大小為m×n且互不相交的子域，其中每個(gè)子域被看作是圖像粒化后的粒，記作Gi(1,2,…,k)。設(shè)有大小為M×N的圖像U，灰度級(jí)為L，U上的映射g:U→{ 0,1,…,L-1}為任意像素點(diǎn)P處的灰度值，記作g(P) ，其中灰度值在{0,1,…,T}范圍的像素組成圖像的背景區(qū)域BT，而灰度值在{T+1,T+2,…,L-1}范圍的像素組成圖像的目標(biāo)區(qū)域OT。根據(jù)粗糙集理論可得到目標(biāo)和背景區(qū)域的上下近似集T、T和T、T。其中：

3 粗糙集近似集的圖像分割方法

圖像粗糙集描述的目標(biāo)和背景邊界域是圖像分割的關(guān)鍵所在，與此同時(shí)，圖像的粒度劃分又影響著目標(biāo)集合對(duì)邊界域的近似刻畫，因此圖像粒度大小的設(shè)定以及當(dāng)前粒度劃分下對(duì)目標(biāo)集合近似刻畫將是基于粗糙集近似集理論的圖像分割方法研究的重點(diǎn)[18-21]。

3.1圖像的粒度劃分

粗糙集理論模型通過定義上近似集和下近似集來逼近所描述的目標(biāo)集合，即用精確的區(qū)域去近似不精確的區(qū)域，這對(duì)于不精確區(qū)域的刻畫是有局限性的。被刻畫的目標(biāo)區(qū)域的邊界域的寬窄和近似精度隨論域劃分的粒度的變化而變化，如果圖像劃分粒度較粗，則邊界域較寬，近似精度也相對(duì)較低，反之亦然[15-16]。如圖1所示，黑色區(qū)域?yàn)槟繕?biāo)圖像，淺灰色為粗糙集下近似區(qū)域，深灰色與陰影為邊界域，在粗糙集近似集模型中，通過對(duì)邊界域進(jìn)行刻畫構(gòu)造近似目標(biāo)區(qū)域，同時(shí)，粗糙集近似集構(gòu)造出的目標(biāo)區(qū)域又隨粒度變化，不斷近似逼近目標(biāo)圖像。

Fig.1　Evolution under different granularity of R0.5(X)圖1　R0.5(X)隨粒度細(xì)化的變化圖

由圖1分析可得，隨著圖像粒度的細(xì)化，得到的目標(biāo)區(qū)域圖像越精確。同時(shí)為了保證圖像?；蠹系拇植谛院完P(guān)聯(lián)性，粒度的劃分不能過小，因此如何找到圖像的最優(yōu)粒度劃分就成為圖像粗糙集近似集表示的關(guān)鍵。

3.2圖像的粗糙熵度量

由粗糙集近似集理論，當(dāng)R0.5(X)作為目標(biāo)集合的近似集要優(yōu)于上下近似集，給定一幅圖像記作F，其中X={P∈Gi|F(P)>T}，則目標(biāo)和背景區(qū)域的近似集合區(qū)域表示如下：

由近似區(qū)域定義可看出，目標(biāo)區(qū)域的近似集是圖像F灰度值大于T的像素集合且不小于0.5隸屬度的粒度集合，背景區(qū)域表示F中滿足灰度值不大于T的像素集合且不小于0.5隸屬度的粒度集合。當(dāng)μ=1時(shí)，目標(biāo)和背景集合區(qū)域回歸至經(jīng)典粗糙集圖像表示。

由粗糙集粗糙度公式可得到目標(biāo)與背景的近似粗糙度：

給定圖像F，F(xiàn)的分割閾值為T，得到F的粗糙集近似集粗糙熵為:

文獻(xiàn)[7]指出，當(dāng)給定圖像的粗糙熵ET取最大值時(shí)，可以得到圖像分割的最佳閾值T*，同時(shí)圖像的粗糙熵ET隨著目標(biāo)和背景區(qū)域的粗糙度ρOT、ρBT減小而增大。

3.3結(jié)合近似集粗糙熵與粒子群算法的圖像分割

對(duì)于計(jì)算圖像粗糙熵的求解最優(yōu)解問題，文獻(xiàn)[7]等采用窮舉法求得，但該算法的求解效率明顯偏低。文獻(xiàn)[8]在求解過程中采用遺傳算法來提高求解效率，并獲得了明顯的效果。

本文在基于粗糙集近似集圖像分割過程中，通過引入粒子群算法來進(jìn)一步改善粗糙熵最優(yōu)解。相較于遺傳算法的迭代規(guī)則，粒子群算法憑借更為簡單的適應(yīng)度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，在尋找最優(yōu)解的實(shí)際問題中具有更快的收斂性和較好的求解精度[25-26]。

給定大小為M×N的圖像F，則基于粗糙集近似集和粒子群算法的圖像分割算法描述如下：

輸入：大小為M×N的圖像F。

輸出：圖像F的分割圖像和最優(yōu)分割閾值T。

步驟1根據(jù)圖像粒度適應(yīng)準(zhǔn)則，對(duì)圖像F進(jìn)行最優(yōu)粒度劃分，得到粒度窗口為m×n。

步驟2建立圖像論域U上的等價(jià)關(guān)系Rmn，得到圖像的劃分粒度Gi(1,2,…,k)。

步驟3設(shè)定粒子數(shù)量為N，活動(dòng)范圍為[0～255]，將粗糙集近似集的粗糙熵作為適應(yīng)度函數(shù)，隨機(jī)初始化粒子群。

步驟4由粒子位置T∈{0,1,…,L-1}，構(gòu)建圖像的目標(biāo)與背景上下近似集(T) 、(T)和(T) 、(T)，以及目標(biāo)集合的近似集O0.5(T)、B0.5(T)。

步驟5計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值，判斷迭代次數(shù)

1是否達(dá)到最大值，若達(dá)到，則將最大適應(yīng)度值的粒子作為分割閾值T，執(zhí)行步驟7。否則，轉(zhuǎn)為步驟6。

步驟6更新粒子的位置和速度，返回步驟4。

步驟7由最佳分割閾值T輸出圖像分割結(jié)果。

通過以上算法描述，得到基于粗糙集近似集的圖像分割閾值，在此閾值基礎(chǔ)上對(duì)圖像進(jìn)行閾值分割計(jì)算，得到目標(biāo)區(qū)域圖像。

4 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文算法的可行性和有效性，實(shí)驗(yàn)選用了Berkeley Segmentation Dataset中的測試數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)環(huán)境為I3-2350M CPU，2 GB RAM，W indows7操作系統(tǒng)，開發(fā)環(huán)境為Matlab 7.0。記圖2的4幅測試圖像依次為IMG1～I(xiàn)MG4。實(shí)驗(yàn)首先采用同樣是基于粗糙集粗糙熵的Pal算法與本文基于粗糙集近似集的粗糙熵粒子群圖像分割算法進(jìn)行對(duì)比，然后使用非粗糙集模型的經(jīng)典圖像閾值分割算法與本文算法比較分割效果。

Fig.2 Original images圖2 原始圖像

4.1近似集的粗糙熵粒子群算法與傳統(tǒng)粗糙集圖像分割算法實(shí)驗(yàn)對(duì)比

Pal算法是基于傳統(tǒng)粗糙集粗糙熵圖像分割的經(jīng)典算法，主要思想是構(gòu)建圖像粗糙集信息系統(tǒng)，通過遍歷最大粗糙熵求解最佳閾值[7-8]。本文算法分別與Pal算法在分割結(jié)果、求解效率和分割閾值上進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)設(shè)置本文算法在粒子群求解過程中的初始化隨機(jī)粒子數(shù)量為10。

由圖3（a）與圖3（b）的效果對(duì)比可以看出，本文算法與Pal方法總體上效果近似，其中IMG2和IMG3的目標(biāo)圖像呈現(xiàn)出較好的效果。因此基于粗糙集近似集模型的分割方法，對(duì)目標(biāo)圖像的近似性和連貫性要優(yōu)于Pal算法。由表1和表2可明顯得出，相較于Pal算法的窮盡方法，本文算法通過引入粒子群算法，在求解最佳粗糙熵時(shí)間開銷上要優(yōu)于Pal算法。圖4為粒子群算法求解IMG1粗糙熵的迭代過程。4.2近似集的粗糙熵粒子群算法與其他算法對(duì)比

Fig.3 Image segmentation result between Pal and thispaper algorithms圖3 Pal算法與本文算法圖像分割效果對(duì)比

Table 1 Comparison of computing time of best rough entropy between Pal and this paper algorithms表1 Pal算法與本文算法求解最佳粗糙熵時(shí)間對(duì)比

Table 2 Comparison of solving threshold between Paland this paper algorithms表2 Pal算法與本文算法求解圖像分割閾值對(duì)比

Fig.4 Iterative process of computing the maximum rough entropy of IMG1 based on PSO圖4 求解IMG 1粗糙熵過程粒子群迭代過程

分別采用了最大類間方差Otsu算法、直方圖最大熵Kapur算法與本文算法對(duì)選取的2幅圖像進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。Ostu算法基于最小二乘法原理，通過構(gòu)建圖像雙峰的直方圖對(duì)目標(biāo)圖像進(jìn)行分割。Kapur算法基于經(jīng)典Shannon熵，通過計(jì)算一維直方圖最大熵求解圖像分割閾值。

由圖5的分割效果可得，本文算法與Otsu算法相比較對(duì)目標(biāo)圖像的刻畫更為明顯，要優(yōu)于Otsu的分割效果。本文算法與Kapur算法的結(jié)果相比較，分割效果基本近似。

基于粗糙集近似集的圖像分割方法從原理上保證分割圖像輪廓較好，需要先將圖像轉(zhuǎn)化為粗糙集信息系統(tǒng)，才能求解粗糙熵，因此與非粗糙集模型圖像分割算法相比，基于粗糙集模型的圖像分割算法在時(shí)間復(fù)雜度上可能高于Otsu算法和Kapur算法，但它提供了新的研究嘗試，在后繼工作中可以引入并行計(jì)算模式來提高計(jì)算效率，保證圖像分割的質(zhì)量和效率。

Fig.5 Comparison of image segmentation effectiveness based on Otsu, Kapur and this paper algorithms圖5 Otsu算法、Kapur算法與本文算法圖像分割效果對(duì)比

4.3圖像分割結(jié)果的定量評(píng)價(jià)對(duì)一幅圖像分割結(jié)果的好壞，通常情況下是以人的主觀視覺判斷作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。然而由于人類個(gè)體間視覺差異的存在，圖像分割結(jié)果的評(píng)價(jià)很難從客觀上得到統(tǒng)一。因此，為了正確評(píng)測分割算法的效果，改善分割算法的質(zhì)量，圖像分割需要從實(shí)際目標(biāo)出發(fā)，引入客觀、統(tǒng)一的圖像分割評(píng)價(jià)方法和標(biāo)準(zhǔn)。

本文針對(duì)以上對(duì)比實(shí)驗(yàn)得到的不同分割結(jié)果，在算法時(shí)間復(fù)雜度和主觀表現(xiàn)效果的基礎(chǔ)上，參考文獻(xiàn)[27]的圖像分割評(píng)價(jià)方法，基于圖像分割的模糊度量，進(jìn)一步引入圖像的模糊熵作為分割結(jié)果的定量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。模糊集的一維模糊熵為：

由一維模糊熵推廣到二維圖像模糊熵：

Sn[X(xij)]=-X(xij)ln X(xij)-[1-X(xij)]ln[1-X(xij)]

根據(jù)不確定性問題的模糊熵性質(zhì)可知，對(duì)于圖像的目標(biāo)和背景進(jìn)行分割結(jié)果模糊度量，當(dāng)分割效果較好時(shí)，分割結(jié)果應(yīng)測得較小的模糊熵。以IMG1～I(xiàn)MG4的圖像分割結(jié)果為測試樣本，分別計(jì)算本文算法與傳統(tǒng)粗糙集圖像分割算法的模糊熵，并進(jìn)行對(duì)比。

由表3圖像分割評(píng)價(jià)結(jié)果可得出，基于近似集與粒子群圖像分割方法，圖IMG1和IMG4的模糊熵基本接近，而圖IMG2、IMG3的模糊熵明顯低于傳統(tǒng)粗糙集的圖像分割方法，這客觀反映了本文分割方法的有效性，也顯出了基于模糊熵的定量評(píng)價(jià)與主觀結(jié)果判斷基本一致。綜合可得，基于近似集與粒子群算法的粗糙熵圖像分割方法，在圖像分割效果和執(zhí)行效率方面均優(yōu)于傳統(tǒng)粗糙集圖像分割方法。

Table 3 Comparison of image segmentation effectivenessbased on fuzzy entropy evaluation between Pal andthis paper algorithms表3 Pal算法與本文算法圖像分割模糊熵定量評(píng)價(jià)對(duì)比

5 結(jié)束語

作為圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中的重要基礎(chǔ)內(nèi)容之一，圖像分割方法一直以來都被廣泛地討論和研究，其中對(duì)于圖像邊界域的不確定性處理更是研究中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題。作為粒計(jì)算的重要模型，粗糙集理論可以通過確定性方法實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定性問題進(jìn)行描述和處理，并已經(jīng)成功地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，包括人工智能、金融決策以及工業(yè)控制等。與此同時(shí)，粗糙集理論也被引入圖像處理領(lǐng)域，尤其是在圖像分割方法的研究中，為處理圖像中的不確定性問題提供了可靠的理論基礎(chǔ)和有效的處理手段。

然而，在實(shí)際的理論分析中，經(jīng)典粗糙集理論缺少對(duì)目標(biāo)概念的精確或近似的刻畫，僅依靠傳統(tǒng)的上下近似集并不能最大限度地對(duì)目標(biāo)集合進(jìn)行有效描述。因此，憑借粗糙集近似集模型對(duì)邊界區(qū)域進(jìn)行近似刻畫具有較好的處理能力。本文基于粗糙集近似集的理論模型，提出了基于粗糙集近似集與粒子群算法的粗糙熵圖像分割方法。首先將圖像進(jìn)行自適應(yīng)最優(yōu)粒化，在該粒度劃分下，構(gòu)造圖像的目標(biāo)和背景的上下近似集及其近似集圖像信息系統(tǒng)，結(jié)合粒子群算法提高了粗糙熵計(jì)算效率，通過計(jì)算最大化粗糙熵得到圖像分割的最優(yōu)閾值，并通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法與經(jīng)典粗糙集圖像分割方法相比具有較好的效果和明顯的時(shí)間優(yōu)勢，與傳統(tǒng)經(jīng)典算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)顯示出了理想的效果。本文算法的提出進(jìn)一步促進(jìn)了粗糙集近似集模型的應(yīng)用，對(duì)基于圖像閾值的圖像分割方法進(jìn)行了擴(kuò)充和發(fā)展。在未來的工作中將繼續(xù)研究基于粗糙集模型的多閾值分割方法以及通過并行計(jì)算進(jìn)行圖像分割。

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YAO Longyang was born in 1989. He is an M.S. candidate at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

姚龍洋（1989-），男，河南洛陽人，重慶郵電大學(xué)碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)榇植诩Ｓ?jì)算等。

ZHANG Qinghua was born in 1974. He received the Ph.D. degree from Southwest Jiaotong University in 2010. Now he is a professor at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

張清華（1974—），男，重慶人，2010年于西南交通大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為重慶郵電大學(xué)理學(xué)院教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)榇植诩Ｓ?jì)算等。

HU Shuaipeng was born in 1989. He is an M.S. candidate at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

胡帥鵬（1989—），男，河南平頂山人，重慶郵電大學(xué)碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)榇植诩?，粒?jì)算等。

ZHANG Qiang was born in 1992. He is an M.S. candidate at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

張強(qiáng)（1992—），男，甘肅蘭州人，重慶郵電大學(xué)碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)榇植诩Ｓ?jì)算等。

Rough Entropy for Image Segmentation Based on Approximation Sets and Particle Swarm Optim ization?

YAO Longyang1, ZHANG Qinghua1,2+, HU Shuaipeng1, ZHANG Qiang2
1. Chongqing Key Laboratory of Computational Intelligence, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China
2. School of Science, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China
+ Corresponding author: E-mail: zhangqh@cqupt.deu.cn

Key words:image segmentation; rough set; approximation set; granular computing; particle swarm

Abstract:Image segmentation method based on the classical rough set theory is lacking of accurate classification on the uncertainty of target image edge boundaries, and classical rough set information system which is built for an image w ith a priori granularity does not reflect the roughness information between different particle size objectives accurately. Based on the theory of approximation set of rough set model, this paper adopts an adaptive optimal graining method on the rough set representation of the image, and then builds the upper and lower approximation sets of the target and background images. According to the approximate set ideas, this paper accurately describes the edge boundaries of the target set, and improves the efficiency of the rough set approximation set maximum rough entropy combined w ith particle swarm algorithm at the same time, finally obtains the optimal segmentation threshold. The experimental results show that this method is feasible and effective.

doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1506016 E-mail: fcst@vip.163.com

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：TP391