折延宏，李美麗西安石油大學(xué) 理學(xué)院，西安 710065

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多粒度空間與知識(shí)推理*

折延宏+，李美麗
西安石油大學(xué) 理學(xué)院，西安 710065

SHE Yanhong,LI Meili.Multigranulation space and knowledge reasoning.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2016,10(6):884-890

摘要：旨在建立起多粒度空間中粗糙近似算子與知識(shí)推理中認(rèn)知算子之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而給出多粒度空間中粗糙近似算子更為合理的語義解釋。對(duì)于任意邏輯公式，通過分析其語義集與加了認(rèn)知算子后的語義集之間的關(guān)系，證明了全知算子EG對(duì)應(yīng)于多粒度空間中模型AIU中的下近似算子，公共知識(shí)認(rèn)知算子CG對(duì)應(yīng)于模型RU中的下近似算子，分配知識(shí)認(rèn)知算子DG對(duì)應(yīng)于模型RI中的下近似算子，所得結(jié)論是模態(tài)邏輯與

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61103133,61472471(國家自然科學(xué)基金);the Natural Science Foundation of Shaanxi Province under Grant No.2014JQ1032(陜西省自然科學(xué)基金);the Scientific Research Program of Education Department of Shaanxi Province under Grant No.15JK1573(陜西省教育廳科技計(jì)劃項(xiàng)目).

Received 2015-06,Accepted 2015-12.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2015-12-29,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20151229.0940.002.html

Pawlak粗糙集之間對(duì)應(yīng)關(guān)系在多當(dāng)事人環(huán)境下的推廣。關(guān)鍵詞：多粒度空間；粗糙近似；知識(shí)推理

ISSN 1673-9418CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology

1673-9418/2016/10(06)-0884-07

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Tel:+86-10-89056056

1　引言

粒計(jì)算[1-3]是一種?；乃季S方式及方法論，其核心概念之一是多層次和多視角粒結(jié)構(gòu)。在多層次粒結(jié)構(gòu)中，基本成分是粒與層，不同層次的粒通過粒度組織起來可以構(gòu)成一個(gè)有序的多層次結(jié)構(gòu)。這樣一個(gè)多層次結(jié)構(gòu)是對(duì)問題的一種描述或觀點(diǎn)，稱為視角（view）。用多個(gè)多層次結(jié)構(gòu)描述同一個(gè)問題，將形成多視角（multiview）。多視角代表對(duì)問題的不同角度的描述和理解。

作為粒計(jì)算的一種具體模型，粗糙集[4-5]自從1982年提出以來受到越來越多學(xué)者的研究與關(guān)注。特別是近年來，與粒計(jì)算所提倡的多層次與多視角思想相適應(yīng)，一種處理多源信息的多粒度粗糙集模型[6-7]被提出。作為多粒度粗糙集模型的一種等價(jià)定義，可以證明在樂觀多粒度粗糙集模型中，其上、下近似集是通過對(duì)目標(biāo)對(duì)象集在每個(gè)Pawlak近似空間下的下近似集取并，對(duì)上近似集取交得到的；而在悲觀多粒度粗糙集模型中，則是通過對(duì)目標(biāo)對(duì)象集在每個(gè)Pawlak近似空間下的下近似集取交，對(duì)上近似集取并得到的。換言之，已有的多粒度粗糙集模型通過對(duì)每個(gè)Pawlak近似空間中的粗糙近似結(jié)果利用交、并運(yùn)算進(jìn)行合成得到，這自然可看作是多粒度空間中一種特殊的信息融合方式。通過進(jìn)一步考慮基于等價(jià)關(guān)系的信息融合方式，可給出另外兩種不同的粗糙近似方式，最終可給出多粒度空間下一種統(tǒng)一的粗糙近似框架。

將邏輯學(xué)方法引入到不確定性信息的處理之中可更好實(shí)現(xiàn)基于不同數(shù)據(jù)庫的知識(shí)推理，在粗糙集理論中，亦是如此。粗糙集創(chuàng)始人Pawlak提出了粗糙邏輯，并于文獻(xiàn)[8]中指出“粗糙邏輯一種基于粗糙集思想的不精確推理邏輯，似乎是一種最為重要的研究課題”。文獻(xiàn)[9-11]進(jìn)一步建立了粗糙集與模態(tài)邏輯之間的關(guān)系，并給出了若干基于粗糙語義的邏輯推理模型。這種融合粗糙集與邏輯推理為一體的思想理應(yīng)在多粒度認(rèn)知環(huán)境下得到進(jìn)一步的延伸，這對(duì)基于多粒度信息的不確定性推理有較大的理論意義。

本文正是基于如上考慮，從邏輯學(xué)角度給出多粒度粗糙集的描述與刻畫。具體為：建立了多粒度近似算子與知識(shí)推理中的認(rèn)知算子之間的密切關(guān)系，建立了多粒度空間中不同類型的粗糙近似算子與知識(shí)推理中的認(rèn)知算子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第2章給出多粒度空間下粗糙近似的一般框架；第3章介紹知識(shí)推理的相關(guān)內(nèi)容；第4章建立多粒度空間下不同粗糙近似模型與知識(shí)推理算子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第5章總結(jié)全文。

2　多粒度粗糙集的一般框架

本章通過考慮不同的信息合成方式，給出了多粒度空間下粗糙近似模型的統(tǒng)一框架。在此框架下，定義了兩種不同的粗糙集模型，針對(duì)每種粗糙集模型，又分別利用集合的交、并運(yùn)算，給出不同的子模型。

2.1若干基本知識(shí)

本節(jié)簡(jiǎn)要給出后續(xù)討論中需要用到的基本知識(shí)。

設(shè)U為一非空有限集合，稱為論域，不失一般性，設(shè)U中含有m個(gè)元素，在以下討論中不單獨(dú)說明。稱U×U的任意子集R?U×U為U上的一二元關(guān)系：

（1）稱R為自反的，若對(duì)于任意x∈U,有(x,x)∈R；

（2）稱R為對(duì)稱的，若對(duì)于任意x,y∈U，如果(x,y)∈R，則(y,x)∈R；

（3）稱R為傳遞的，若對(duì)于任意 x,y,z∈U，由(x,y)∈R以及(y,z)∈R，可推得(x,z)∈R；

（4）稱R為一等價(jià)關(guān)系，若R滿足自反性、對(duì)稱性以及傳遞性。

定義1[12]設(shè)R為論域U上的一二元關(guān)系，如果有U上的另外一個(gè)二元關(guān)系R*滿足：（1）R*是傳遞的；（2）R?R*；（3）對(duì)于U上的任一滿足傳遞性的二元關(guān)系R**，若R?R**，且R*?R**。則稱R*為R的傳遞閉包，記t(R)=R*。

由定義1可以看出，一個(gè)關(guān)系的傳遞閉包是包含這個(gè)關(guān)系的最小的傳遞關(guān)系。

對(duì)于一個(gè)二元關(guān)系R，R的冪次方按照如下方式定義：

由以上歸納定義，特別是式（1），不難驗(yàn)證：

Rk={(x,y)|存在x0,x1,?,xk-1,xk,使得x0=x,y=xk,

對(duì)于任意j滿足0≤j≤k-1,使得(xj,xj+1)∈R}

2.2已有的多粒度粗糙集模型

本節(jié)簡(jiǎn)要研究已有的多粒度粗糙集模型，指出這些模型在信息合成方面的特點(diǎn)，這為下一步引入多粒度空間下粗糙近似模型的一般框架做好鋪墊。

定義2[6]設(shè)U為一非空集合，稱為論域，E={R1, R2,?,Rn}為論域U上的n個(gè)等價(jià)關(guān)系集，則稱二元組(U,E)為一多粒度近似空間。

文獻(xiàn)[6]首次引入多粒度粗糙集的定義，為了統(tǒng)一起見，本文使用與原文獻(xiàn)[6]稍顯不同的記號(hào)系統(tǒng)。

定義3[6]設(shè)(U,E)為一多粒度近似空間，對(duì)于任意X?U，定義：

根據(jù)定義3可推得：

定義4設(shè)(U,E)為一多粒度近似空間，對(duì)于任意X?U，定義：

根據(jù)定義4可推得：

由以上定義可以看得出，在樂觀多粒度下近似中，一個(gè)對(duì)象x屬于目標(biāo)集X的下近似當(dāng)且僅當(dāng)存在論域上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系使得x在該等價(jià)關(guān)系下的等價(jià)類包含于X，而對(duì)于悲觀多粒度下近似而言，一個(gè)對(duì)象x屬于目標(biāo)集X的下近似，當(dāng)且僅當(dāng)x在每一個(gè)等價(jià)關(guān)系下的等價(jià)類完全包含于X。前者條件寬松，后者條件苛刻，這正是樂觀與悲觀兩詞的由來。

定義3、定義4給出了多粒度粗糙集模型具有如下等價(jià)形式。

命題2設(shè)(U,E)為一多粒度近似空間，則?X?U，

值得注意的是，文獻(xiàn)[13]稱(U,E)為一多源近似系統(tǒng)，并稱由命題2中等價(jià)定義的粗糙近似算子為強(qiáng)下近似算子、弱上近似算子、弱下近似算子、強(qiáng)上近似算子。這兩種從不同出發(fā)點(diǎn)給出的多粒度近似空間中的粗糙近似算子在數(shù)學(xué)意義下是等價(jià)的。

由命題2可知多粒度粗糙集的近似策略：將多粒度近似空間(U,E)看作為n個(gè)Pawlak近似空間（或者稱為單粒度近似空間）的組合，對(duì)于一目標(biāo)近似集X?U，在每個(gè)Pawlak近似空間下求得X的上、下近似，然后通過集合論中的并、交運(yùn)算得到最終的多粒度近似結(jié)果?；蛘哒f，文獻(xiàn)[6,13]給出的多粒度模型是基于對(duì)近似結(jié)果進(jìn)行合成的求解策略。

2.3多粒度近似空間中粗糙近似的一般框架

給定一多粒度近似空間(U,E)，以下分別基于對(duì)二元關(guān)系以及近似結(jié)果的合成策略，給出多粒度空間中粗糙近似的一般框架。由此得到的4種粗糙近似模型分別記作模型RI、模型RU、模型AIU以及模型AUI。

（1）模型RI中的粗糙近似

在該模型中，利用集合的交運(yùn)算將一族等價(jià)關(guān)系E合成為一個(gè)等價(jià)關(guān)系?E。由于等價(jià)關(guān)系的任意交還是一等價(jià)關(guān)系，由一個(gè)多粒度近似空間(U,E)出發(fā)得到了一Pawlak近似空間(U,?E)?；诖耍山o出模型RI中粗糙上、下近似的定義。

定義5[14]設(shè)X?U，定義：

（2）模型RU中的粗糙近似

在該模型中，利用等價(jià)關(guān)系的傳遞閉包將一族等價(jià)關(guān)系E合成為一個(gè)等價(jià)關(guān)系?*E。由于等價(jià)關(guān)系的傳遞閉包還是一等價(jià)關(guān)系，由一個(gè)多粒度近似空間(U,E)出發(fā)得到了一Pawlak近似空間(U,?*E)。基于此，可給出模型RU中粗糙上、下近似的定義。

定義6[14]設(shè)X?U，定義：

同模型RI與RU不同的是，以下給出的兩粗糙近似模型是通過對(duì)近似結(jié)果（而非等價(jià)關(guān)系）進(jìn)行合成得到的。

（3）模型AIU中的粗糙近似

定義7[14]設(shè)X?U，定義：

（4）模型AUI中的粗糙近似

與如上類似，通過對(duì)下近似集取并集，對(duì)上近似集取交集，可定義另外一種不同的多粒度近似空間的粗糙近似模型。

定義8[14]設(shè)X?U，定義：

值得注意的是，從不同的信息合成角度出發(fā)定義的多粒度空間中的粗糙近似模型AIU與AUI與文獻(xiàn)[6]中給出的樂觀多粒度與悲觀多粒度粗糙集模型是一致的，這由命題2以及定義7、定義8可立即推出。這樣本文給出的多粒度空間中粗糙近似的統(tǒng)一框架自然包括了已有的多粒度粗糙集模型。

3　知識(shí)推理

文獻(xiàn)[15]是一本介紹知識(shí)推理的經(jīng)典著作，這里的知識(shí)推理包括對(duì)客觀知識(shí)的推理，也包括對(duì)其他當(dāng)事人知識(shí)的推理。同其他邏輯系統(tǒng)一樣，知識(shí)推理理論包括語構(gòu)與語義兩大部分。

在語構(gòu)方面，知識(shí)推理的語言由公式集組成。用Φ表示原子公式集，?表示邏輯非，∧表示邏輯合取，K1,K2,?,Kn表示與n個(gè)當(dāng)事人所對(duì)應(yīng)的模態(tài)算子。記全體邏輯公式為F(S)，它按照如下方式生成：

（1）Φ?F(S)；

（2）若φ,ψ∈F(S)，則{?φ,φ∧ψ,Kiφ}?F(S)；

（3）F(S)中任何一邏輯公式均通過（1）、（2）在有限步內(nèi)生成。

基于?和∧，可引入如下形式的邏輯連接詞：

利用如上邏輯語言，可表達(dá)一些更為復(fù)雜的邏輯公式。如K1K2p∧?K2K1K2p，它表示第一個(gè)當(dāng)事人知道第二個(gè)當(dāng)事人知道p，而且第二個(gè)當(dāng)事人不知道第一個(gè)當(dāng)事人知道第二個(gè)當(dāng)事人知道p。

除了如上介紹的語構(gòu)理論之外，知識(shí)推理還包括語義理論，即用以判斷給定邏輯公式是否為真的形式化模型。知識(shí)推理的語義模型是通過可能世界語義定義的，所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被稱為Kripke結(jié)構(gòu)。適用于當(dāng)事人的Kripke結(jié)構(gòu)如下：一n+2元組M= (S,π,κ1,κ2,?,κn)，這里S表示一可能世界集（或稱狀態(tài)集），對(duì)于S中任一狀態(tài)s，π(s)為原子公式集上的一賦值映射，即π(s)：Φ→{0,1}。κi是S上的一個(gè)二元關(guān)系。π(s)(p)告訴人們?cè)跔顟B(tài)s下p是否為真。例如p表示“舊金山正在下雨”，則π(s)(p)=1表示在結(jié)構(gòu)M的狀態(tài)s下，命題“舊金山正在下雨”為真。κi描述的是當(dāng)事人i的可能關(guān)系，(s,t)∈κi表示在當(dāng)事人i看來，在狀態(tài)s下，t是可能出現(xiàn)的。在以下討論中，設(shè)κi均為等價(jià)關(guān)系，用記號(hào)(M,s)|=φ表示φ在Kripke結(jié)構(gòu)M的狀態(tài)s下為真，詳細(xì)定義如下：

對(duì)于滿足(s,t)∈κi的所有t成立。

在以上邏輯語言中，無法表達(dá)類似于公共知識(shí)、分配知識(shí)等概念。為此，在如上邏輯語言的基礎(chǔ)上，添加如下形式的模態(tài)詞。如EG（表示G中每個(gè)當(dāng)事人都知道）、CG（表示某個(gè)命題是G中所有成員的公共知識(shí)）、DG（表示某個(gè)命題是G中成員的分配知識(shí)），這里G為{1,2,?,n}的一個(gè)非空子集。自然地，若φ是一邏輯公式，則EGφ、CGφ、DGφ也是邏輯公式。在擴(kuò)充后的邏輯語言中，可以表達(dá)諸如K3?C1,2p（即第三個(gè)當(dāng)事人知道p不是第一個(gè)當(dāng)事人與第二個(gè)當(dāng)事人的公共知識(shí)）的邏輯公式。

以下給出如EGφ、CGφ、DGφ等邏輯公式在Kripke結(jié)構(gòu)下的賦值語言。

全知知識(shí)意思是說G中每個(gè)當(dāng)事人都知道的知識(shí)，故在Kripke結(jié)構(gòu)中的語義解釋為：

(M,s)|=EGφ當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意i∈G，(M,s)|=Kiφ。

對(duì)于公共知識(shí)而言，CGφ指的是G中每個(gè)成員都知道φ，G中每個(gè)成員都知道G中每個(gè)成員都知道φ等。與此相適應(yīng)，公共知識(shí)在Kripke結(jié)構(gòu)中的語義解釋為：

φ是G中成員的分配知識(shí)指的是將G中當(dāng)事人的知識(shí)結(jié)合起來便可推得φ成立。例如在某Kripke結(jié)構(gòu)中，在狀態(tài)s下，第一個(gè)當(dāng)事人認(rèn)為s、t是可能發(fā)生的，而第二個(gè)當(dāng)事人認(rèn)為s、u是可能的。結(jié)合這兩個(gè)當(dāng)事人的知識(shí)便知在狀態(tài)s下，只有s是可能的。一般來講，通過消除G中當(dāng)事人認(rèn)為不可能的狀態(tài)便可達(dá)到結(jié)合G中當(dāng)事人知識(shí)的目的。在數(shù)學(xué)上，這個(gè)通過對(duì)在同一狀態(tài)下不同當(dāng)事人認(rèn)為可能的狀態(tài)集進(jìn)行取交得到，即：

(M,s)|=DGφ當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意(M,t)|=φ對(duì)于滿足(s,t)∈∩i∈Gκi的任意t都成立。

4　知識(shí)推理與多粒度近似空間

本章基于知識(shí)推理中的語義理論，建立起知識(shí)推理中的模態(tài)算子與多粒度近似空間下近似算子之間的密切聯(lián)系，這種聯(lián)系自然是文獻(xiàn)[9]中有關(guān)粗糙集與模態(tài)邏輯在多當(dāng)事人環(huán)境下的推廣。

定義9設(shè)M=(S,Φ,κ1,κ2,?,κn)為一Kripke結(jié)構(gòu)，則對(duì)于任意φ∈F(S)，定義：

稱v(φ)為φ的真狀態(tài)集。

命題3設(shè)M=(S,Φ,κ1,κ2,?,κn)為一Kripke結(jié)構(gòu)，則對(duì)于任意φ∈F(S)，有：

證明 類似證明在文獻(xiàn)[9]中給出，略。

命題說明知識(shí)推理中的模態(tài)詞κi對(duì)應(yīng)于Pawlak粗糙下近似算子。

命題4設(shè)M=(S,Φ,κ1,κ2,?,κn)為一Kripke結(jié)構(gòu)，則對(duì)于任意φ∈F(S)，有：

這里EG={κi|i∈G}。

證明 根據(jù)定義，有：

即可得證。

命題4說明知識(shí)推理中的全知模態(tài)詞對(duì)應(yīng)于多粒度近似空間中AIU模型中的粗糙下近似算子。

命題5設(shè)M=(S,Φ,κ1,κ2,?,κn)為一Kripke結(jié)構(gòu)，則對(duì)于任意φ∈F(S)，有：

這里EG={κi|i∈G}。

為證明命題5，需要如下引理。

引理1設(shè)EG={κi|i∈G}，則對(duì)于任意(s,t)∈?*EG，存在自然數(shù) k≥1以及狀態(tài)序列 s0,s1,?,sk使得s0=s,t=sk，且對(duì)于滿足0≤j≤k-1的任意 j，存在i∈G使得(sj,sj+1)∈κi。

引理2設(shè)M=(S,Φ,κ1,κ2,?,κn)為一Kripke結(jié)構(gòu)，s∈S,φ∈F(S)，則s對(duì)于任意滿足如下條件（*）的任意t∈S，有M,t|=φ。

（*）存在狀態(tài)序列s0,s1,?,sk使得s0=s，t=sk，且對(duì)于滿足0≤j≤k-1的任意 j，存在i∈G使得(sj,sj+1)∈κi。

證明 根據(jù)M,s|=EGφ的定義，并通過對(duì)k進(jìn)行歸納可以證明。

以下證明命題5。

命題6設(shè)M=(S,Φ,κ1,κ2,?,κn)為一Kripke結(jié)構(gòu)，則對(duì)于任意φ∈F(S)，有：

這里EG={κi|i∈G}。

證明根據(jù)定義可立即推出。

本章結(jié)論可通過表1來表示。

Table 1 Relationship between knowledge reasoning and multigranulation space表1　知識(shí)推理與多粒度空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

5　結(jié)束語

粗糙集近似算子與模態(tài)邏輯算子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系在文獻(xiàn)[9]中已有論述，那里的討論僅局限于單粒度粗糙集與含有一個(gè)模態(tài)算子的模態(tài)邏輯。本文則是將在信息表達(dá)能力更強(qiáng)的多粒度近似空間與容納多個(gè)客體的知識(shí)推理中建立起類似的對(duì)應(yīng)關(guān)系。主要結(jié)論是知識(shí)推理中的全知算子對(duì)應(yīng)于文獻(xiàn)[6]中提出的悲觀下近似算子，即本文統(tǒng)一框架AIU模型中的下近似算子，公共知識(shí)算子對(duì)應(yīng)于基于傳遞閉包的下近似算子，分配知識(shí)算子對(duì)應(yīng)于基于等價(jià)關(guān)系交的下近似算子。這些結(jié)論為從邏輯角度研究多粒度粗糙集提供了新的思路與方法。

不難看出，若在知識(shí)推理中基于模態(tài)算子Ki定義其對(duì)偶算子以及全知算子的對(duì)偶算子，則所定義的算子自然對(duì)應(yīng)于多粒度粗糙集中的悲觀上近似算子。由于模態(tài)邏輯與三值邏輯有密切的關(guān)系，在后續(xù)工作中，進(jìn)一步從三值邏輯的角度研究多粒度粗糙集。

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附中文參考文獻(xiàn):

[12]王國俊.計(jì)算智能(第二冊(cè))：詞語計(jì)算與Fuzzy集[M].北京:高等教育出版社,2005.

SHE Yanhong was born in 1983.He received the Ph.D.degree in fundamental mathematics from Shaanxi Normal University in 2010.Now he is an associate professor at Xi’an Shiyou University.His research interests include uncertainty reasoning and granular computing,etc.

折延宏（1983—），男，陜西延安人，2010年于陜西師范大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為西安石油大學(xué)副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)椴淮_定性推理，粒計(jì)算等。

LI Meili was born in 1975.She received the Ph.D degree in navigation,guidance and control from Northwestern Polytechnical University in 2010.Now she is a lecturer at Xi’an Shiyou University.Her research interests include granular computing and image processing,etc.

李美麗（1975—），女，陜西渭南人，2010年于西北工業(yè)大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為西安石油大學(xué)講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)榱Ｓ?jì)算，圖像處理等。

+Corresponding author:E-mail:yanhongshe@gmail.com

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：TP18

doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1506014

Multigranulation Space and Knowledge Reasoning?

SHE Yanhong+,LI Meili
College of Science,Xi’an Shiyou University,Xi’an 710065,China

Abstract:This paper aims at establishing a one-to-one correspondence between rough approximation operators in multigranulation space and epistemic operators in knowledge reasoning,and thus providing a more reasonable semantic interpretation for rough approximation operators in multigranulation space.By deeply analyzing the close relationship between the semantic set of a logic formula and that of the formula obtained by adding different epistemic operators,this paper proves that EG,CG,DGare in one-to-one correspondence with rough lower approximation operator in model AIU,rough lower approximation operator in model RU and rough lower approximation operator in model RI,respectively.The obtained results are the generalization of the relationship between modal logic and Pawlak rough set in multi-agent environment.

Key words:multigranulation space;rough approximation;knowledge reasoning