王思澄

[摘要]解的存在唯一性定理是常微分方程理論中最基本的定理。為證明一階微分方程的解的存在唯一性定理，常見的做法是采用Picard逐步逼近法。本文對Picard逐步逼近法證明中常用的引理采用了其他證法。

關(guān)鍵詞：一階微分方程；解的存在唯一性定理；Picard逐步逼近法

引 言

常微分方程的解的存在唯一性定理明確肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性，是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義。另一方面，由于能求得精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法（包括數(shù)值解法）具有十分重要的實(shí)際意義，而解的存在和唯一又是進(jìn)行近似計(jì)算的前提。

定理（解的存在唯一性定理） 如果f（x，y）在矩形域R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨條件，則dy[]dx=f（x，y），這里f（x，y）是在矩形域 上的連續(xù)函數(shù)。該方程存在唯一的解y=φ（x），定義于區(qū)間|x-x0|

φ0（x）=y0

φn（x）=y0+∫xx0f（ξ，φn-1（ξ））dξ，

x0≤x≤x0+h（n=1，2，…）

下面主要探究了該逐步逼近函數(shù)序列的一個(gè)引理的其他證法。

引理

函數(shù)序列{φn（x）}在x0≤x≤x0+h上是一致收斂的。

證明 易知|φn（x）-φn-1（x）|≤L∫xx0|φn-1（x）-φn-2（x）|dt。

而|φ1（x）-φ0（x）|≤b（其中b為任意正常數(shù)）

|φ2（x）-φ1（x）|≤L∫xx0|φ1（t）-φ0（t）|dt≤Lb（x-x0）。

|φ3（x）-φ2（x）|≤L∫xx0|φ2（t）-φ1（x）|dt≤b（L（x-x0））2。

由數(shù)學(xué)歸納法可得：|φn（x）-φn-1（x）|≤b（L（x-x0））n-1。

故當(dāng)x∈x0，x0+1[]L時(shí)，{φn（x）}一致收斂。

下面證明φn（x）在x0+1[]2L，x0+5[]4L

上一致收斂。

首先φn（x）=y0+∫xx0f（t，φn-1（t））dt，

φnx+1[]2L=y0+∫x0+1[]2Lx0f（t，φn-1（t））dtφn（x）-φnx0+1[]2L=∫x0x0+1[]2Lf（t，φn-2（t））dt。

φn-1（x）-φn-1x0+1[]2L=∫x0x0+1[]2Lf（t，φn-2（t）dt。

φn（x）-φnx0+1[]2L-φn-1（x）+φn-1x0+1[]2L=∫xx0+1[]2Lf（t，φn-1（t））-f（t，φn-2（t）））dt≤∫xx0+1[]2L|f（t，φn-1）（t））-f（t，φn-2（t））|dt≤L∫xx0+1[]2L|φn-1（t）-φn-2（t）|dt。

|φn（x）-φn-1（x）|≤L∫x0x0+1[]2L|φn-1（t）-φn-2（t）|dt+φn-1x0+1[]2L-φn-2x0+1[]2L

≤L·2b·3[]4L+bLx0+1[]2L-x0n-1=2b·3[]4+b·1[]2n-1≤2b·3[]4+b3[]4n-1。

記B=2b，于是

|φN（x）-φN-1（x）|≤B·3[]4+b·3[]4N-1。

|φN+1（x）-φN（x）|≤L∫xx0+1[]2L|φN（t）-φN-1（t）|dt+φNx0+1[]2L-φN-1x0+1[]2L

≤L·3[]4L·B·3[]4+2b·3[]4N=B3[]42+2b·3[]4N。

同理

|φN+2（x）-φN+1（x）|≤L∫xx0+1[]2L|φN+1（x）-φN（x）|dx

≤L·3[]4L·B·3[]42+2b·3[]4N+3[]4N+1b=B3[]43+3b3[]4N+1。

故以此類推而得：

|φN+2（x）-φN+1（x）|≤B3[]4k+1+3b3[]4N+k-1。

故由Weierstrass判別法，這兩項(xiàng)無窮級數(shù)均收斂。

綜上證明，{φn（x）}在x0+1[]2L，x0+5[]4L

上一致收斂，因此{(lán)φn（x）}在x0，x0+5[]4L上一致收斂。

結(jié) 語

本文主要針對一階微分方程解得存在唯一性定理常用證法Picard逐步逼近法中一些引理的證明給出了其他證法。