李方義, 榮見華, 胡　林, 李鳳玲， 易繼軍

(1. 長沙理工大學(xué) 橋梁工程安全控制省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙　410114； 2. 汽車運(yùn)輸安全保障技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安　710064；3. 長沙理工大學(xué) 工程車輛安全性設(shè)計(jì)與可靠性技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙　410114)

?

基于概率-凸集混合模型的汽車正面碰撞結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

李方義1,2, 榮見華3, 胡林3, 李鳳玲3， 易繼軍3

(1. 長沙理工大學(xué) 橋梁工程安全控制省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙410114； 2. 汽車運(yùn)輸安全保障技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710064；3. 長沙理工大學(xué) 工程車輛安全性設(shè)計(jì)與可靠性技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙410114)

摘要：基于概率和凸集模型研究汽車正面碰撞可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。根據(jù)汽車吸能結(jié)構(gòu)厚度、材料參數(shù)等不確定參數(shù)類型，分別采用概率和多橢球凸模型進(jìn)行描述，以汽車安全性可靠性指標(biāo)為約束，考慮汽車吸能結(jié)構(gòu)質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，建立混合模型可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。采用拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的Kriging近似模型，利用功能度量法評(píng)定概率約束，通過基于移動(dòng)因子序列優(yōu)化與可靠性評(píng)定將嵌套優(yōu)化解耦為單層次優(yōu)化。實(shí)際算例表明算法具有較高的計(jì)算效率及精度，對(duì)實(shí)際設(shè)計(jì)工作有一定參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：概率；凸模型；混合模型；序列優(yōu)化與可靠性評(píng)定；優(yōu)化

目前，安全性設(shè)計(jì)已成為現(xiàn)代汽車工業(yè)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，因此，考慮結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提高汽車碰撞安全性已經(jīng)進(jìn)行了廣泛研究[1-2]。然而在產(chǎn)品設(shè)計(jì)、制造過程中，存在大量的不確定性，如幾何尺寸、材料屬性、載荷和邊界條件等。這些不確定因素將影響汽車碰撞安全性，使得設(shè)計(jì)響應(yīng)超出設(shè)計(jì)約束，導(dǎo)致設(shè)計(jì)可靠性大大降低[3]。故對(duì)汽車碰撞安全進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)很有必要。

傳統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)以概率模型建模不確定性，需要知道不確定參數(shù)的精確概率分布。但對(duì)于復(fù)雜工程問題往往很難獲得構(gòu)建不確定參數(shù)精確概率分布所需的大量樣本信息。在許多情況下，相對(duì)于精確概率分布信息，參數(shù)不確定性的幅度和界限更容易獲得，我們稱為未知但有界參數(shù)，這種不確定性適合用非概率凸模型來描述。目前基于凸模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析和設(shè)計(jì)得到學(xué)者的廣泛關(guān)注[4-6]。

許多實(shí)際工程應(yīng)用中，常常碰到這樣的情況:一部分不確定參數(shù)信息量足夠，適合采用概率模型描述；另一部不確定量由于缺乏足夠的樣本信息而僅知其擾動(dòng)界限，適合采用非概率凸模型參數(shù)描述。因此，研究概率模型-凸模型混合可靠性分析與設(shè)計(jì)具有重要的實(shí)際工程意義[7-8]。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者研究隨機(jī)參數(shù)與區(qū)間并存的結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)估問題。如區(qū)間分析方法[9]、兩級(jí)功能函數(shù)[10]等。目前，混合模型可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)仍處于起步階段，部分學(xué)者研究此類優(yōu)化問題。程遠(yuǎn)勝等[11]提出了在概率不確定性和非概率不確定性同時(shí)存在時(shí)的約束函數(shù)魯棒性和目標(biāo)函數(shù)魯棒性的實(shí)現(xiàn)策略及結(jié)構(gòu)魯棒設(shè)計(jì)方法。Du等[12]提出了一種處理區(qū)間和概率混合情況的最不利可靠性優(yōu)化方法。上述文獻(xiàn)主要研究隨機(jī)變量和區(qū)間變量共存的問題，但區(qū)間只是凸模型的特例之一。隨后，亢戰(zhàn)和羅陽軍等[13]提出一種處理概率模型與多橢球模型混合情況下的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，采用線性近似方法減少計(jì)算量，其研究是基于單循環(huán)策略來求解混合模型可靠性優(yōu)化問題。Du 和Chen[14]提出另外一種解耦方法—序列優(yōu)化與可靠性評(píng)定方法(Sequential Optimization and Reliability Assesment,SORA)，將優(yōu)化與可靠性分析進(jìn)行解耦分離，極大減少了計(jì)算量。因此，將該方法引入到概率模型與多橢球模型的混合可靠性優(yōu)化問題中，開發(fā)一種適合于此類問題的高效解耦算法顯得尤為必要。

本文基于移動(dòng)向量的序列優(yōu)化與可靠性評(píng)定方法研究汽車正面碰撞混合不確定可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。利用概率-凸模型混合模型描述汽車正面碰撞中不確定參數(shù)；以概率模型描述汽車碰撞主要吸能結(jié)構(gòu)厚度；材料屬于參數(shù)由于缺乏足夠樣本數(shù)據(jù)，采用多橢球凸模型對(duì)其進(jìn)行描述。以混合模型可靠度指標(biāo)為約束，建立混合模型的汽車正面碰撞安全可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。采用序列與可靠性評(píng)定方法求解該模型，將多重可靠性優(yōu)化轉(zhuǎn)化為序列優(yōu)化環(huán)，每一環(huán)中包含一次優(yōu)化問題和一次可靠性分析，將嵌套優(yōu)化問題簡化為一系列確定性優(yōu)化問題求解，從而提高了汽車碰撞安全可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。

1混合模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.1混合模型描述

采用概率模型描述隨機(jī)變量y={y1,y2,…,ym}T，采用如下形式描述其概率特征分布，

y～{pj(yj),j=1,2,…,m}

(1)

式中：pj(yj)為隨機(jī)變量yj的概率密度函數(shù)。

分析計(jì)算時(shí)，需將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，即

Fyj(yj)=Φ(uj)

(2)

式中，F(xiàn)yj(yj)為隨機(jī)變量yj的累積分布函數(shù)，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。

隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化也可表示為

u=T(y)或y=T-1(u)

(3)

對(duì)于有界變量x={x1,x2,…,xe}T，采用多橢球凸模型來描述[5]，即

i=1,2,…,e}

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，將多維橢球進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，首先對(duì)Wi進(jìn)行特征值分解

QTiWiQi=Λi

(5)

式中QTiQi=I，Λ為特征值組成的對(duì)角矩陣。

引入向量

(6)

代入式(4)中，原多橢球轉(zhuǎn)換為單位多橢球

(7)

1.2基于混合模型的概率功能度量求解

結(jié)構(gòu)所處的狀態(tài)由極限函數(shù)(功能函數(shù))G(y,x)來表示。G(y,x)>0表示結(jié)構(gòu)滿足功能要求。通過上述對(duì)不確定參數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換后，原極限函數(shù)G(y,x)映射為其標(biāo)準(zhǔn)化形式g(u,q)。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，采用功能度量法，建立如下優(yōu)化問題求解最小功能目標(biāo)點(diǎn)。

s.t.　

(8)

式中：βt為預(yù)先給定的可靠性指標(biāo)目標(biāo)值。本文采用序列二次規(guī)劃算法[15]進(jìn)行求解。

1.3混合模型可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

在滿足可靠性指標(biāo)的前提下，建立如下混合模型的可靠性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

findd,μy

s.t.β[Gj(d,y,x)]≥βt,j(j=1,2,…,N)

(9)

s.t.αj(d)≥0(j=1,2,…,N)

(10)

式中：αj(d)為目標(biāo)功能值, 其計(jì)算如下

(11)

式(10)和(11)表示混合可靠性優(yōu)化為一嵌套優(yōu)化問題。針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，兩層嵌套求解難度大，計(jì)算效率低。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，假設(shè)經(jīng)過第k次優(yōu)化迭代，在最優(yōu)解處，運(yùn)用Karush-Kuhn-Tucker條件，可以得到第k+1次不確定變量的最優(yōu)解迭代更新公式，如下

(u(k+1)T,q(k+1)T)=

(12)

式中，Gu和Gq為功能函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

1.4序列優(yōu)化與可靠性評(píng)定方法及求解流程

本文基于文獻(xiàn)[14]將序列優(yōu)化與可靠性評(píng)定方法(SORA)引入到混合可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中?；舅枷胧峭ㄟ^將近似概率約束轉(zhuǎn)化為近似等價(jià)的確定性約束，將優(yōu)化與可靠性分析兩個(gè)過程進(jìn)行解耦，先執(zhí)行確定性優(yōu)化，再執(zhí)行可靠性分析。公式如下：

findd,μy

where

(13)

在初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，要求學(xué)生能夠通過對(duì)數(shù)學(xué)這門課程的深入學(xué)習(xí)，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用在生活中。這就需要教師在教學(xué)中注重生活化。這樣不僅能夠進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的積極性和主動(dòng)性，還極大的提高其對(duì)問題的分析能力和解決能力。

基于序列優(yōu)化與可靠評(píng)定方法的流程圖如圖1所示。每一循環(huán)包含兩部分，首先是進(jìn)行確定性的優(yōu)化設(shè)計(jì)，然后進(jìn)行可靠性的評(píng)定。在每一步循環(huán)中，首先將上一循環(huán)中獲得的近似最小功能目標(biāo)點(diǎn)yMPTP和最不利點(diǎn)x*替代確定性優(yōu)化中的相關(guān)變量，進(jìn)行確定優(yōu)化，得到新的設(shè)計(jì)點(diǎn)。然后進(jìn)行可靠性評(píng)定，用當(dāng)前的近似最小功能目標(biāo)點(diǎn)yMPTP和最不利點(diǎn)x*重新規(guī)劃約束，并根據(jù)移動(dòng)向量移動(dòng)約束函數(shù)邊界，以確保在可行域內(nèi)進(jìn)行接下來的確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)。重復(fù)循環(huán)步驟直到目標(biāo)函數(shù)收斂且滿足可靠度要求。

圖1　流程圖Fig.1 Flow chart

2測試函數(shù)

參考文獻(xiàn)[16]，考慮如下混合可靠性優(yōu)化問題：

find[μ1,μ2]T

minf=(μ1+3)2+(μ2+3)2

s.t.β(G1(y,x))≥3.0

β(G2(y,x))≥3.0

1 ≤μ1≤10, 0.01≤μ2≤10

where

G1(y,x)=y1(y2+x1)-x2

(14)

設(shè)計(jì)變量初值均取為μ1=μ2=(2,2)，計(jì)算結(jié)果如表1所示。由表可知，相對(duì)于兩層優(yōu)化，本文調(diào)用功能函數(shù)42次，雙層循環(huán)調(diào)用功能函數(shù)558次，計(jì)算結(jié)果表明本文方法計(jì)算效率較高。表2給出了迭代過程，由表可知僅需6個(gè)循環(huán)，本文方法能迅速收斂于最優(yōu)值。

表1　優(yōu)化結(jié)果

表2　優(yōu)化迭代過程

3汽車正面耐撞性可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1問題描述

在整車結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)中主要考慮使變形吸能部件在碰撞過程中最大可能吸收能量, 使得車體加速度峰值盡可能小, 從而達(dá)到保護(hù)乘員安全的目的[17]。因此，選取汽車車體前部關(guān)鍵吸能部件板料厚度為設(shè)計(jì)變量，如前縱梁、防火墻等，如圖2所示。考慮整車輕量化，以吸能部件質(zhì)量W作為設(shè)計(jì)目標(biāo)?？紤]碰撞安全性，以B柱加速度峰值GA和關(guān)鍵部件吸收能量GE為約束。

圖2　設(shè)計(jì)變量 Fig.2 Design variables

由于板料制造精度以及沖壓過程的影響，板材厚度存在波動(dòng)性。工程實(shí)踐中常用正態(tài)分布來描述板料厚度的分布情況[18]，因此，厚度作為概率型的隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布。在材料的實(shí)際生產(chǎn)中，材料的化學(xué)組成、熱處理過程和制造過程等多方面的因素都會(huì)影響材料的特性，因此，材料特性是在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)[19]。選定圖3所示部件材料的屈服應(yīng)力作為未知但有界參數(shù)，假定其不確定性用一個(gè)超橢球描述，所有不確定量的性質(zhì)列于表3中。

圖3　材料不確定Fig.3 The material of considering uncertainty

故建立如下汽車安全的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題：

findμt1,μt2,μt3,μt4,μt5

minf(μt1,μt2,μt3,μt4,μt5)=W

s.t.β[GE(t1,t2,t3,t4,t5,σ1,σ2,σ3)≥42 kJ]≥βt,1

β[GA(t1,t2,t3,t4,t5,σ1,σ2,σ3)≤50 g]≥βt,2

0.5 mm≤μt1,μt2,μt3,μt4,μt5≤2.5 mm

(15)

表3　正面碰撞問題不確定變量描述

3.2有限元模型與Kriging模型

整車正面碰撞有限元模型如圖4所示，該車有限元模型由196103個(gè)單元和200362個(gè)節(jié)點(diǎn)組成。在整車正面碰撞有限元仿真過程中，車輛以50 km/h的速度撞擊固定剛性墻，整個(gè)系統(tǒng)的碰撞仿真過程在120 ms內(nèi)完成，在4核CPU 2.40 GHz.2G內(nèi)存的電子計(jì)算機(jī)上，采用商業(yè)軟件LS-DYNA實(shí)施運(yùn)算，單次碰撞仿真需耗時(shí)約2小時(shí)。圖5展示了其中一種典型變形情況。

圖4 正面碰撞的有限元模型Fig.4Finiteelementmodelofvehicle圖5 正面碰撞變形結(jié)果Fig.5Thedeformationofthefullfrontalimpact

可靠度評(píng)估直接調(diào)用該有限元模型計(jì)算較耗時(shí)，因此，采用拉丁方采樣構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和約束的Kriging

模型。Kriging 插值法在空間相關(guān)范圍分析的基礎(chǔ)上,用相關(guān)范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)來估計(jì)待插點(diǎn)屬性值。在Kriging模型中，假定待求函數(shù)Y(x)的表達(dá)式如下

Y(x)=f(x)+Z(x)

(16)

式中，f(x)是關(guān)于x的已知函數(shù)(通常取為固定的常數(shù))，Z(x)是一個(gè)高斯過程，f(x)提供模擬的全局近似，即Y(x)的數(shù)學(xué)期望。Z(x)用于估計(jì)f(x)的偏差以確保Kriging精確通過每個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)，有關(guān)Kriging模型的構(gòu)建方法見文獻(xiàn)[20]。

3.3結(jié)果分析

吸能部件板料厚度t和材料參數(shù)σ同時(shí)作為輸入變量，通過拉丁方采樣生成65個(gè)樣本點(diǎn)，利用LS-DYNA軟件進(jìn)行有限元分析得到樣本點(diǎn)的響應(yīng)值，部分樣本點(diǎn)和響應(yīng)值見表4。依據(jù)表4，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)與約束的Kriging模型，并通過多個(gè)驗(yàn)證點(diǎn)校核Kriging模型的精度。在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)行混合可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

表4　部分試驗(yàn)設(shè)計(jì)表

由表5可知，確定性優(yōu)化結(jié)果得到吸能結(jié)構(gòu)較輕，當(dāng)存在不確定性參數(shù)時(shí)，整車吸收能量以及B柱加速度峰值的可靠性指標(biāo)為負(fù)值，不滿足可靠性要求。經(jīng)過可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)后，整車吸收能量以及B柱加速度峰值的可靠度指標(biāo)為3.0，滿足可靠性設(shè)計(jì)要求。圖6給出了優(yōu)化迭代歷程，表明該算法具有良好的收斂性和穩(wěn)定性。

表5　汽車正面碰撞的可靠性優(yōu)化結(jié)果

圖6　優(yōu)化迭代歷程Fig.6 Iteration history of optimization

4結(jié)論

本文基于概率-凸集?；旌夏Ｐ偷目煽啃詢?yōu)化方法研究了轎車正面耐撞性結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化問題。采用基于移動(dòng)因子的序列優(yōu)化與可靠性評(píng)定方法對(duì)兩層嵌套優(yōu)化問題進(jìn)行解耦，減少了計(jì)算量。通過測試函數(shù)和正面碰撞算例表明本文提出算法的正確性和有效性。本方法不僅可以應(yīng)用到正面碰撞結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，還可以應(yīng)用到側(cè)面碰撞、偏置碰撞等優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，為整車安全性設(shè)計(jì)提供一種新的解決方案。

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Reliability-based optimization design of structure subjected to vehicle frontal impact based on probability-convex hybrid model

LIFang-yi1,2,RONGJian-hua3,HULin3,LIFeng-ling3,YIJi-jun3

(1. Key Laboratory for Safety Control of Bridge Engineering, Ministry of Education and Hunan Province,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China；2. Key Laboratory for Automotive Transportation Safety Enhancement Technology of the Ministry of Communication, PRC 710064, China;3. Hunan Province Key Laboratory of Safety Design and Reliability Technology for Engineering Vehicle,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

Abstract:In order to describe the different types of uncertainty parameters for the thickness and material parameters of absorbing energy structure, probability and convex set models were adopted. The reliability indices for vehicle frontal impact safety were chosen as the reliability constraints and the weight of absorbing energy structure was selected as the objective of optimization. Then, an optimization design of structures subjected to vehicle frontal impact was formulated. The Kriging models for obiective and constraint functions were constructed by using the method of Latin hypercube experiment design. A performance measure method was adopted to evaluate probabilistic constraints. The nested optimization was transformed into single-level optimization problem by using the sequential optimization and reliability assessment (SORA) based on shifting factors. Some practical examples show the efficiency and accuracy of the presented algorithm, which could supply some beneficial references to designers．

Key words:probability; convex model; hybrid model; sequential optimization and reliability assessment; optimization

中圖分類號(hào):U463.82;TH122

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.034

收稿日期：2014-08-07修改稿收到日期：2015-01-22

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11302033;11372055;51408069);汽車運(yùn)輸安全保障技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目 (2014G1502013);湖南省教育廳科研項(xiàng)目(13C1033);長沙理工大學(xué)橋梁工程安全控制省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(12KB04)資助

第一作者 李方義 男，博士，副教授，1978年生