申志超，別社安，劉 欣，倪 敏，王勝年

（1. 天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072；2. 美國德州農工大學土木工程學院，德克薩斯州 77840；3. 中交四航工程研究院有限公司，廣州 510230）

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飽和開裂混凝土氯離子二維擴散的數值模擬

申志超1，別社安1，劉 欣2，倪 敏1，王勝年3

（1. 天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072；2. 美國德州農工大學土木工程學院，德克薩斯州 77840；3. 中交四航工程研究院有限公司，廣州 510230）

摘 要：對飽和狀態(tài)下開裂混凝土裂縫附近區(qū)域氯離子的二維擴散進行了數值模擬.以Fick第二擴散定律（FSDL）修正模型及二維氯離子擴散理論模型為基礎，建立了開裂混凝土氯離子擴散有限差分數值模型，并編制了計算程序.通過與試驗結果的對比，證明了模型的有效性.利用建立的模型分析了裂縫、水膠比、衰減系數和時間因素對氯離子擴散的影響，提出了裂縫影響區(qū)的概念.在裂縫影響區(qū)內，氯離子呈二維擴散，在其外，氯離子呈一維擴散；在時間上，氯離子擴散存在快速期、過渡期與緩慢期；從長期來看，裂縫深度對氯離子的擴散影響顯著，而裂縫寬度幾乎對其無影響.

關鍵詞：結構工程；混凝土耐久性；氯離子擴散；裂縫；數值模擬；有限差分

鋼筋混凝土結構面臨著越來越嚴峻的耐久性問題[1].在沿海地區(qū)，氯離子引起的鋼筋銹蝕已成為影響混凝土結構耐久性的最主要因素之一.由于荷載、外界環(huán)境和混凝土材料自身等原因，混凝土結構不可避免地會產生裂縫.在惡劣的外部環(huán)境下，裂縫為氯離子等侵蝕介質的傳輸提供了便捷的通道，加速了混凝土結構的劣化，對結構的耐久性產生影響[2].因此，對氯離子在開裂混凝土中的擴散過程進行數值模擬研究具有重要的現(xiàn)實意義.目前，已有人對無裂縫混凝土中氯離子的擴散傳輸進行了數值模擬[3-5]和試驗研究[6-7]，而國內外對開裂混凝土中氯離子傳輸的研究多集中于裂縫對氯離子傳輸特性的影響[8-14].近幾年，開始有人借助有限元軟件進行開裂混凝土中氯離子傳輸的數值模擬研究.文獻[15-16]根據擴散方程與熱傳導方程的相似性，提出利用有限元軟件中的熱分析模塊來模擬氯離子在開裂混凝土中的擴散過程.實際上，利用Fick擴散定律描述氯離子在混凝土中的擴散過程，考慮的條件過于理想化，需要對氯離子擴散系數進行修正，以解決其在混凝土中應用時存在的問題[17]，而現(xiàn)有的基于有限元軟件熱分析的數值模擬無法考慮Fick擴散定律的修正模型.

本文首先基于Fick第二擴散定律（Fick’s second low，F(xiàn)SDL）修正模型及二維氯離子擴散理論模型建立了開裂混凝土氯離子擴散有限差分數值模型，然后編制有限差分程序對開裂混凝土中的氯離子擴散進行模擬，并與試驗結果對比，對模型的有效性進行驗證，最后對開裂混凝土氯離子擴散的主要影響因素進行了分析.

1　開裂混凝土氯離子擴散有限差分數值模型

1.1開裂混凝土氯離子擴散的數學模型

氯離子在單一裂縫（見圖1）下的擴散是多裂縫擴散的基礎，本文建立單一裂縫下氯離子擴散的數學模型.混凝土基體材料區(qū)域考慮擴散系數時間依賴性的氯離子擴散控制方程[18]為

式中：Cf為坐標（x，y）處的自由氯離子濃度；D0為t0時刻混凝土的氯離子擴散系數；m為擴散衰減系數，是常量.其初始條件為Cf（ x, y ,0）＝ C0（C0為混凝土內的初始氯離子濃度）；邊界條件為Cf（ x,0, t）＝ Cs（Cs為混凝土暴露表面的氯離子濃度）.

在遠離裂縫區(qū)域的邊界c1、c2，認為氯離子的擴散控制方程[17]為

式（2）的初始條件為t＝0，y＞0時，Cf＝C0；邊界條件為y＝0，t＞0時，Cf＝Cs.

模擬區(qū)域沿y方向取足夠的長度，保證在模擬的時間內氯離子未擴散至邊界c3，邊界c3處的氯離子濃度取初始氯離子濃度.

假設裂縫是具有“等效氯離子擴散系數Dcr”的均勻介質，裂縫中的氯離子擴散符合FSDL，則裂縫中氯離子濃度的解析解為

式中：Dcr為裂縫中等效氯離子擴散系數；erf是誤差函數，

圖1　單一裂縫下氯離子擴散示意Fig.1 Schematic diagram of chloride diffusion in single crack

1.2二維氯離子擴散控制方程的有限差分格式

對式（1）采用有限差分交替方向格式，它綜合了顯格式求解簡便、隱格式無條件穩(wěn)定的優(yōu)點.該格式的計算過程中需要引入過渡層和K分別為數值模擬區(qū)域沿x方向和y方向的網格數.

圖2　二維擴散方程交替方向格式網格劃分Fig.2 Mesh division of two-dimensional diffusion equation in alternating direction scheme

將兩個格式聯(lián)立得到

差分格式（4）稱為P-R（Peaceman-Rackford）格式，它是無條件穩(wěn)定的，其截斷誤差為

1.3有限差分數值模擬流程

在開裂混凝土中，氯離子在裂縫附近區(qū)域呈二維擴散，而在遠離裂縫附近區(qū)域的邊界c1、c2呈一維擴散.在數值模擬過程中，邊界c1、c2和裂縫中的氯離子濃度值將作為下一時間增量步二維擴散的邊界條件，所以在二維擴散的一個時間增量步完成后，需要更新邊界c1、c2和裂縫中的氯離子質量分數，并將其提供給下一個時間增量步.計算程序流程見圖3.

圖3　開裂混凝土氯離子擴散有限差分計算程序流程Fig.3 Flow chart of finite difference calculation program for chloride diffusion in cracked concrete

2　模型驗證

圖4　氯離子質量分數檢測位置示意Fig.4 Schematic diagram of measure positions of chloride concentration

張士萍等[12]采用施加劈裂荷載方式誘導微裂縫，將混凝土試件浸泡在質量分數為5%,的氯化鈉溶液中，浸泡60,d后取出混凝土試件，鉆取混凝土試件不同位置（見圖4）粉末，檢測沿暴露面不同深度的氯離子濃度.為驗證有限差分數值模型的有效性，將裂縫（截面B-B）中的試驗數據作為已知參數輸入計算程序中，對比截面A-A處的計算結果和試驗數據，比較結果見圖5，需要指出的是，計算結果和試驗數據皆為均值，如距混凝土表面15,mm處的數值代表10～20,mm范圍內的均值.通過圖5可以看出，第2個觀測點的計算結果與試驗數據有一定的誤差，其余觀測點的計算結果與試驗數據吻合較好.

圖5　計算結果與試驗數據的比較Fig.5 Comparison between calculation results and experimental data

3　開裂混凝土中影響氯離子擴散的主要參數

3.1混凝土中氯離子的擴散系數

大量的現(xiàn)場暴露試驗證明，混凝土中氯離子擴散系數是隨著氯鹽作用年限的增長而降低的變量，并且符合指數衰減規(guī)律.Thomas等[19]提出了考慮時間因素的氯離子擴散系數表達式

式中Dt為t時刻混凝土的氯離子擴散系數.

3.1.1初始齡期時的擴散系數

在1994—2000年6位學者研究得到28,d齡期擴散系數D0,28與混凝土水膠比W/B相關試驗數據的基礎上，Life-365（用于預測暴露在氯離子環(huán)境下鋼筋混凝土使用壽命的計算程序）建議混凝土28,d齡期的氯離子擴散系數（單位：2m /s）為

3.1.2衰減系數

衰減系數m是一個與混凝土的材料組成、水膠比、濕度等多個因素有關的系數.某港根據7,a暴露試驗的結果得到了不同時刻的氯離子擴散系數，并根據當地溫度資料和暴露試驗得到的混凝土配合比、凝膠材料種類等信息，使用Life-365擴散系數衰減模型分別對浪濺區(qū)粉煤灰摻量30%,、40%,、45%,、60%,，浪濺區(qū)礦渣摻量70%,、80%,的氯離子擴散系數與時間的關系進行擬合分析，得出了礦渣混凝土實測結果與Life-365模型計算值吻合良好，在粉煤灰摻量較大的情況下，吻合情況也比較好的結論.Life-365采用的衰減系數m表達式為

式中FA和SG分別為粉煤灰和礦渣在膠凝材料中的百分比.

當t＞25,a時，認為擴散系數Dt不再衰減，即Dt＝D25（D25為第25,a時的擴散系數）.

3.2飽和狀態(tài)下混凝土裂縫中氯離子的擴散系數

目前，國外學者對裂縫中等效氯離子擴散系數Dcr開展了大量的試驗研究，總結發(fā)現(xiàn)Dcr與材料無關[20]，只與裂縫寬度及環(huán)境條件有關，存在裂縫寬度w上、下界限值wu和wl，當w＜ wl時，；當w＞ wu時，（DH2 O為相同環(huán)境下氯離子在溶液中的擴散系數）；當時，Dcr介于D0和之間[21].本文選取wl和wu分別為30μm和100μm，對文獻[10]試驗數據進行擬合（見圖6），得到當裂縫寬度處于30～100μm之間時，Dcr的經驗計算公式為

圖6　wl≤w≤wu時w與Dcr的關系Fig.6 Relationship between w and Dcrwhen wl≤ w≤ wu

4　開裂混凝土氯離子擴散主要影響因素分析

為了能直觀觀察裂縫、水膠比W/B、衰減系數m和時間因素對開裂混凝土氯離子擴散的影響，利用建立的有限差分數值模型對開裂混凝土中氯離子的擴散過程進行模擬，模型參數見表1.

表1　模型參數Tab.1 Model parameters

4.1裂縫影響區(qū)

從圖7中可以看出，同一水平位置處的裂縫附近區(qū)域氯離子濃度明顯高于邊界區(qū)域氯離子質量分數.為了表征裂縫對氯離子擴散的影響，引入裂縫影響區(qū)的概念，考慮到工程中經常采用概率為0.05的分位值，定義裂縫影響區(qū)內，縫影響區(qū)外，，將裂縫到裂縫影響區(qū)邊界的距離定義為裂縫影響區(qū)半徑r.其中，、分別為結點（，）按考慮裂縫的二維擴散理論和不考慮裂縫的一維擴散理論計算的氯離子濃度值.按上述定義，計算得到的裂縫影響區(qū)半徑為40,mm，可以認為，裂縫影響區(qū)內氯離子呈二維擴散，裂縫影響區(qū)外氯離子呈一維擴散.

圖7　開裂混凝土內氯離子質量分數等高線Fig.7 Contours of chloride concentration in cracked concrete

參考表2，研究各變量對裂縫影響區(qū)半徑的影響.可以看出：裂縫深度越大，裂縫影響區(qū)半徑越大；當裂縫寬度大于0.03,mm時，其幾乎不對裂縫影響區(qū)半徑產生影響；水膠比對裂縫影響區(qū)半徑幾乎無影響；隨著m值的增大，裂縫影響區(qū)半徑有先增大后減小的趨勢，裂縫影響區(qū)半徑的范圍約為10～70,mm.正常情況下，工程中受彎構件的裂縫間距大于100,mm，所以相鄰裂縫不會出現(xiàn)在對方的裂縫影響區(qū)內，但它們的裂縫影響區(qū)有可能出現(xiàn)重疊部分.

表2　各變量對裂縫影響區(qū)半徑的影響Tab.2 Effect of each variable on the radius of crack affected zone

4.2裂縫對氯離子擴散的影響

對比圖8與圖9可以看出，相比裂縫寬度，裂縫深度對氯離子擴散影響顯著，可能因為氯離子在裂縫中的擴散系數遠大于其在混凝土中的擴散系數（前者為D0,28的128倍，且后者在不斷地衰減），在裂縫中氯離子質量分數能很快達到海洋環(huán)境中的水平，裂縫成了氯離子侵入混凝土的“前沿陣地”，僅1,a的時間，裂縫中的氯離子質量分數值幾乎已經穩(wěn)定.同樣的原因，在10,a后，裂縫寬度幾乎對氯離子的擴散無影響（見圖9），所以當裂縫寬度大于0.03,mm時，從長期來看，其不對氯離子擴散產生影響，而在實際工程中，允許開裂混凝土的裂縫限值遠大于0.03,mm.

圖8　不同裂縫深度情況下裂縫所在橫截面氯離子質量分數Fig.8 Chloride concentration at the cross-section of crack under different crack depths

圖9　不同裂縫寬度情況下裂縫所在橫截面氯離子質量分數Fig.9 Chloride concentration at the cross-section of crack under different crack widths

4.3水膠比與m值對氯離子擴散的影響

通過圖10和圖11可以看出，裂縫所在橫截面非裂縫處的氯離子質量分數隨水膠比的增大而增大，隨m值的增大而減小，可以通過降低混凝土水膠比，摻加粉煤灰和礦渣的方法來延緩氯離子的擴散進程.

通過圖12可以看出，觀察期5～20,a裂縫所在橫截面非裂縫處的氯離子質量分數變化并不大，且在兩段觀察期5～10,a與10～20,a的變化量基本相當，這是考慮衰減系數m的結果.

圖10　不同水膠比情況下裂縫所在橫截面氯離子質量分數Fig.10 Chloride concentration at the cross-section of crack under different water-binder ratios

圖11　不同m值情況下裂縫所在橫截面氯離子質量分數Fig.11 Chloride concentration at the cross-section of crack under different m values

圖12　不同觀察期情況下裂縫所在橫截面氯離子質量分數Fig.12 Chloride concentration at the cross-section of crack for different observation periods

4.4氯離子擴散分期

圖13給出了裂縫所在橫截面不同位置處氯離子質量分數隨時間變化情況，從圖中可以看出，裂縫末端處（距混凝土表面20,mm）只用了1,a的時間即達到了海洋環(huán)境中氯離子的質量分數水平.

根據不同位置處氯離子擴散速率隨時間的變化情況，可以將氯離子擴散分為快速期、過渡期與緩慢期3個階段.圖13中0～5,a為氯離子擴散的快速期，此階段各位置處的氯離子質量分數隨時間變化曲線斜率比較大，擴散速率比較大；5～15,a為氯離子擴散的過渡期，此階段各位置處的氯離子質量分數隨時間變化曲線斜率逐漸減小，氯離子擴散趨緩，氯離子質量分數隨時間變化曲線在快速期與過渡期之間存在比較明顯的拐點；15～50,a為氯離子擴散的緩慢期，此階段各位置處的氯離子質量分數隨時間變化曲線斜率為一比較小的定值，氯離子擴散緩慢.距混凝土表面越近的位置，其不同擴散時期的特征越明顯，而距混凝土表面較遠的位置，其依然表現(xiàn)出不同擴散時期的特征，但已不那么明顯，這是因為氯離子在混凝土中的擴散是一個非常緩慢的過程，距混凝土表面較遠位置的氯離子質量分數值在幾年內不會出現(xiàn)比較大的變化，更關注的往往是距混凝土表面較近位置鋼筋處的氯離子質量分數變化情況.在擴散快速期，距混凝土表面越近的位置，其氯離子質量分數隨時間變化曲線斜率越大；在擴散緩慢期，各位置處的氯離子質量分數隨時間變化曲線斜率基本相同，且為一比較小的定值.各位置處5,a、15,a和50,a的氯離子質量分數對比見表3.

圖13　裂縫所在橫截面不同位置處氯離子質量分數隨時間變化曲線Fig.13 Variation curves of chloride concentration with time in different positions of crack section

表3　各位置處不同時期的氯離子質量分數對比Tab.3 Comparison of chloride concentration at different time in various positions

同樣地，研究單一變量W/B、m、w、h對氯離子擴散分期的影響，部分結果見圖14，圖14（a）～（d）只給出了單一變量參數的值，其余的基本參數值同表1.通過圖14可以看出，改變模型參數幾乎對氯離子擴散分期無影響，各個擴散時期的特征依然明顯，而且各個時期的時間跨度基本沒有變化，這證明擴散分期不受材料自身因素和裂縫的影響.

圖14　不同變量對氯離子擴散分期的影響Fig.14 Effect of different variables on division of period for chloride diffusion

5　結論

本文利用建立的有限差分數值模型對開裂混凝土中氯離子二維擴散過程進行了模擬分析，得到以下結論.

（1）提出了裂縫影響區(qū)的概念，在裂縫影響區(qū)內，氯離子呈二維擴散，在裂縫影響區(qū)外，氯離子呈一維擴散，裂縫影響區(qū)半徑范圍約為10～70,mm.

（2）根據不同位置處氯離子擴散速率隨時間的變化情況，可以將氯離子擴散分為快速期、過渡期和緩慢期3個階段；在擴散的快速期，氯離子質量分數時間變化曲線斜率比較大，擴散速率比較大；在擴散的過渡期，氯離子質量分數隨時間變化曲線斜率逐漸減小，氯離子擴散趨緩，氯離子質量分數隨時間變化曲線在快速期與過渡期之間存在比較明顯的拐點；在擴散的緩慢期，氯離子質量分數隨時間變化曲線斜率為一比較小的定值，氯離子擴散緩慢.擴散分期不受材料自身因素和裂縫的影響，一般0～5,a為擴散的快速期，5～15,a為擴散的過渡期，15,a以后為擴散的緩慢期.

（3）氯離子在裂縫中的擴散系數遠大于其在混凝土中的擴散系數，在1,a時，裂縫中的氯離子質量分數值幾乎已經穩(wěn)定，達到了外界環(huán)境的水平，長期來看，裂縫深度對氯離子擴散影響顯著，而裂縫寬度幾乎對其無影響.

（4）氯離子初始擴散系數D0,28和衰減系數m對氯離子擴散過程影響顯著，可以通過降低混凝土水膠比，摻加粉煤灰和礦渣的方法來延緩氯離子的擴散進程.

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（責任編輯：樊素英）

Numerical Simulation of Two-Dimensional Chloride Diffusion in Saturated and Cracked Concrete

Shen Zhichao1，Bie She’an1，Liu Xin2，Ni Min1，Wang Shengnian3
（1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Civil Engineering，Texas A＆M University，Texas 77840，USA；3. CCCC Fourth Harbor Engineering Institute Co. Ltd，Guangzhou 510230，China）

Abstract：Numerical simulation of two-dimensional chloride diffusion is carried out in the crack area of saturated and cracked concrete. Based on correction model of Fick’s second law and two-dimensional model of chloride diffusion，a finite differential model for chloride diffusion in cracked concrete is established. A calculation program is coded and turns out to be effective through the comparison with experimental results. The effect of crack，water-binder ratio，attenuation coefficient and time on chloride diffusion is analyzed through the established numerical model. The concept of crack-affected zone is put forward，within which，chloride diffuses in two-dimensional way，and beyond which，chloride diffuses in one-dimensional way. There are three stages in chloride diffusion，including rapid diffusion period，transitional period and slow diffusion period. The simulation results show that crack depth has significant effect on chloride diffusion in the long-term situation，while crack width nearly makes no difference.

Keywords：structural engineering；concrete durability；chloride diffusion；crack；numerical simulation；finite difference

通訊作者：別社安，bieshean@tju.edu.cn.

作者簡介：申志超（1988— ），男，博士研究生，shenzhch@163.com.

基金項目：交通運輸部科技項目（201132849A11407）.

收稿日期：2014-03-27；修回日期：2014-09-02.

中圖分類號：TU528.33

文獻標志碼：A

文章編號：0493-2137（2016）01-0103-08

DOI:10.11784/tdxbz201403089