杜麗娟，張曉宇

(華北科技學院電子信息工程學院，北京東燕郊 101601)

永磁同步電機擴展數(shù)學模型分析

杜麗娟，張曉宇

(華北科技學院電子信息工程學院，北京東燕郊 101601)

永磁同步電機控制系統(tǒng)的研究以其數(shù)學模型為基礎(chǔ)，傳統(tǒng)模型通常建立在ABC坐標系、αβ坐標系和dq坐標系下，包括磁鏈方程、電壓方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程。在傳統(tǒng)的永磁同步電機數(shù)學模型基礎(chǔ)上，將控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機構(gòu)即逆變器部分與電機綜合考慮，推導(dǎo)建立擴展的切換數(shù)學模型，并用狀態(tài)方程的形式給出。利用MATLAB進行仿真分析，驗證了模型的正確性。

永磁同步電機；逆變器；數(shù)學模型；仿真

0 引言

永磁同步電機廣泛應(yīng)用于多種工業(yè)領(lǐng)域，由于它是多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)[1-2]，其控制策略和控制方法成為研究的熱點[3-6]，這些研究的基礎(chǔ)是建立在合理的數(shù)學模型基礎(chǔ)上。目前對永磁同步電機數(shù)學模型的研究通常是建立在三相靜止坐標系、兩相靜止坐標系和兩相旋轉(zhuǎn)坐標系下[7-8]。不管哪一種模型，其輸入變量都包括定子繞組三相電壓uA,uB,uC，或者對其進行Clarke變換和Park變換。而在電機控制系統(tǒng)中，定子三相電壓uA,uB,uC的產(chǎn)生是通過逆變器中開關(guān)管的控制實現(xiàn)的，上位機通過各種控制算法產(chǎn)生合理的PWM波形控制逆變器的開關(guān)管的狀態(tài)，從而得到需要的三相電壓uA,uB,uC。本文將逆變器和永磁同步電機作為整體來考慮，定義一個切換矢量(切換信號)，提出擴展的PMSM切換數(shù)學模型，為永磁同步電機的控制提供新的研究思路。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

模型對象是隱極式永磁同步電機，定子三相繞組Y型連接，且無中線引出。在一些常規(guī)假設(shè)[9-10]下，目前的PMSM電機建模都是基于ABC坐標系及dq坐標系的物理分析數(shù)學模型[11]。兩種坐標系的關(guān)系如圖1所示。

1.1 三相靜止坐標系中的PMSM數(shù)學模型

將電機定子三相繞組中的A相繞組軸線作為參考軸線，取逆時針方向為轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩的正方向。經(jīng)過物理分析，得到如下電壓方程和磁鏈方程[11-12]。

圖1 ABC坐標系與dq坐標系的關(guān)系

(1) 電壓方程

(1)

(2) 磁鏈方程

(2)

式中Ls是相繞組的同步電感[7]；ψf是PMSM磁極的勵磁磁鏈，為常數(shù)；θe是A相繞組軸線與永磁體基波磁場軸線之間的電角度；

1.2 兩相旋轉(zhuǎn)坐標系中的PMSM數(shù)學模型

ABC坐標系經(jīng)Clarke和Park變換到dq旋轉(zhuǎn)坐標系，在dq坐標系下PMSM電壓方程和磁鏈方程為

(3)

(4)

式中ωe是轉(zhuǎn)子電角速度，Ld=Lq=Ls。

根據(jù)物理分析[1-2]，有轉(zhuǎn)矩方程(5)和運動方程(6)

(5)

(6)

(7)

2 永磁同步電機擴展數(shù)學模型

在兩相旋轉(zhuǎn)坐標系的數(shù)學模型中，模型中的輸入變量ud,uq是通過定子三相電壓uA,uB,uC經(jīng)過Clarke變換和Park變換而來；而uA,uB,uC又是逆變器的輸出，它們是通過直流電壓UDC和開關(guān)矢量(切換信號)σ(t) 得到，如圖2所示。現(xiàn)在將逆變器與電機作為整體考慮，建立其數(shù)學模型，則模型輸入為直流電壓UDC、開關(guān)矢量(切換信號)σ(t)以及負載TL；仍然取id,iq,ω為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

圖2 三相電壓源型逆變器結(jié)構(gòu)

(8)

(9)

結(jié)合Clarke和Park變換矩陣以及式(9)，可以得到ud,uq與UDC,σ(t)的關(guān)系

(10)

將這一關(guān)系代入狀態(tài)方程(7)，得到

(11)

3 仿真及結(jié)果分析

根據(jù)上述建立的永磁同步電機擴展切換模型，利用MATLAB(R2012a)進行仿真分析。實驗

中電機參數(shù)設(shè)定為：直流電壓UDC=310 V；繞組電阻R=2.75 Ω；定子繞組電感Ld=Lq=0.8×10-3H；極對數(shù)np=4；轉(zhuǎn)動慣量J=0.006 kg·m2；摩擦系數(shù)B=0N·m·s；電機采用開環(huán)控制方式，使用對稱三相正弦波經(jīng)過零比較器產(chǎn)生三路PWM信號作為電機模型的輸入，如圖3所示。仿真時間為0.8 s，在t=0.5 s時加入負載TL=2 N·m 。仿真結(jié)果給出轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和定子三相電流曲線，分別如圖4、圖5所示。

圖3 永磁同步電機仿真模型

圖4 轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩特性曲線

圖5 定子三相電流波形

模型中pmsm_model即擴展的電機模型，三個橋臂輸入信號通過開關(guān)矢量(切換信號)σ(t)控制導(dǎo)通，我們采用SVPWM調(diào)制信號的開關(guān)信號，作為σ(t)的輸入。這樣就能逆變出三相對稱的SVPWM電壓。另外兩個輸入信號是直流電壓和負載，分別用常數(shù)模塊和階躍模塊實現(xiàn)。輸出信號中id,iq和θ(圖中theta)經(jīng)過變換得到定子三相電流ia,ib和ic。

仿真開始后，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩特性曲線經(jīng)過0.1秒左右的波動后漸趨穩(wěn)定。在0.5秒加入負載后經(jīng)過短暫波動后穩(wěn)定，說明該模型對于外加負載能夠正確響應(yīng)。

為方便觀察，三相電流曲線只給出0到0.2秒的時間范圍。由于PWM波的調(diào)制信號為頻率50 Hz的正弦波，因此定子三相電流的頻率也是50 Hz，對應(yīng)圖中周期為0.02秒。

4 結(jié)論及應(yīng)用前景

擴展的切換模型將逆變器部分與電機整體考慮，將逆變器的直流電壓UDC和開關(guān)矢量σ(t)作為模型輸入，推導(dǎo)出狀態(tài)變量id,iq,ω與輸入UDC和σ(t)所滿足的切換信號控制下的狀態(tài)方程。MATLAB仿真驗證了模型的正確性。

矢量控制是永磁同步電機控制的重要研究方向，目前比較成熟的方法有cosφ=1控制、最大轉(zhuǎn)矩電流比控制、弱磁控制、id=0 控制等。這些方法都是對定子電流、轉(zhuǎn)子位置、轉(zhuǎn)速等狀態(tài)變量采樣后反饋給電流控制器或轉(zhuǎn)速控制器，通過特定的控制算法計算得到d,q軸坐標系下的定子電壓，再通過SVPWM模塊得到逆變器的開關(guān)信號，這種思路將逆變器和永磁電機作為獨立的實體來考慮，根據(jù)各自的數(shù)學模型體現(xiàn)它們在控制系統(tǒng)中的作用。如果考慮上述提出的擴展模型，則消除了逆變器與電機之間uA,uB,uC或者ud,uq的概念，電流控制器根據(jù)反饋的狀態(tài)變量，直接計算輸出逆變器的控制脈沖，這種思路減少了控制環(huán)節(jié)，從理論上分析可以減小中間誤差、提高控制精度，同時簡化控制系統(tǒng)軟件設(shè)計。對于轉(zhuǎn)速控制器和電流控制器的具體的控制方法有待進一步的研究。

[1] 王秀和. 永磁電機(第二版)[M]. 北京：中國電力出版社，2011.

[2] 孫小兵，劉向杰. 永磁同步電機高效非線性模型預(yù)測控制[J]. 自動化學報，2014，40 (9): 1958-1966.

[3] Yanli Liu, Yafei Ji, Ze Cheng. Research of Observer for the Sensorless Control System of PMSM Based on Nonsingular Terminal Sliding-mode[C]. Proceedings of the 2011 International Conference on Mechanical Engineering and Technology(ICMET 2011),2011.

[4] Lei Wang, Shuanghui Hao, Minghui Hao et.c. A High-performance Speed Feed-forward Controller for Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Control System Model[J], Electric PowerComponents and Systems, 2015,43(3)：334-344.

[5] 劉紅偉. 永磁同步電機控制策略及算法融合研究[D].中國科學院研究生院(光電技術(shù)研究所)， 2014.

[6] Anguluri Rajasekhar, Ajith Abraham, Millie Pant.A Hybrid Differential Artificial Bee Colony Algorithm based tuning of fractional order controller for Permanent Magnet Synchronous Motor drive[J], International Journal of Machine Learning and Cybernetics, 2014,5 (3)：327-337.

[7] 李錦清，劉文定. 內(nèi)置式三相正弦永磁同步電機非線性模型研究[J]. 微特電機，2015，43 (2): 12-15.

[8] Atif Iqbal, Haitham Abu-Rub, Hazem Nounou. Adaptive fuzzy logic-controlled surface mount permanent magnet synchronous motor drive[J], Systems Science & Control Engineering: An Open Access Journal, 2014, 2 (1)：465-475

[9] 秦英,朱熀秋,張麗. 永磁同步電機直接轉(zhuǎn)矩控制新型建模方法[J]. 微特電機，2015，7：89-91.

[10] 楊國良.永磁同步電機控制技術(shù)[M]. 北京：知識產(chǎn)權(quán)出版社，2015.

[11] 王軍. 永磁同步電機智能控制技術(shù)[M]. 成都：西南交通大學出版社，2015.

[12] 袁登科，等. 永磁同步電動機變頻調(diào)速系統(tǒng)及其控制[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，2015.

Extended Mathematical Model of Permanent Magnet Synchronous Motor

The research on the control system of PMSM is based on its mathematical model. Traditional models of PMSM is usually based on ABC coordinate, α-βcoordinate and d-q coordinate, including flux equation, voltage equation and torque equation. On the basis of traditional models, extended mathematical model is established in the form of state equation, which considers the PMSM and inverter as a whole. The correctness of proposed model is verified by simulation analysis using MATLAB.

PMSM； inverter； mathematical model； simulation

2015-12-25 基金項目: 國家自然科學基金項目(61304024)，中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(3142015101)

杜麗娟(1976-)，女，河北衡水人，華北科技學院電子信息工程學院副教授，研究方向：電機控制。E-mail：200400597dlj@ncist.edu.cn

TM351

A

1672-7169(2016)01-0116-05