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二次函數(shù)零點式在圓錐曲線中的應用

梁昌金

(安徽省壽縣第一中學,232200)

直線與圓錐曲線的位置關系類高考試題，基本與一元二次函數(shù)及韋達定理形影不離,這樣就使得問題解決具有模式化.筆者時常在思考,能否回避韋達定理呢?在復習二次函數(shù)形式時,二次函數(shù)的零點式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2為函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標,亦是方程f(x)=0的兩個實數(shù)根)給筆者以啟發(fā).以下就是筆者運用零點式解決圓錐曲線問題時的一點嘗試.

(1)求橢圓E的方程;

(m2+2)y2-2my-3=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是方程(m2+2)y2-2my-3=0的兩個根,于是有

①

代入上式，得

例2(2010年湖北高考題)已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.

(1)求曲線C的方程;

解(1)曲線C的方程為y2=4x(x>0)(過程略).

(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).

設l的方程為x=ty+m.

y2-4ty-4m=0,Δ=16(m+t2)>0.

因為y1,y2是方程的根,所以y1y2=-4m,

y2-4ty-4m=(y-y1)(y-y2).

②

(x1-1)(x2-1)+y1y2

=(ty1+m-1)(ty2+m-1)+y1y2

+y1y2

<0.

于是得到m2-6m+1<4t2.

例3(2008年陜西高考題)如圖1，已知拋物線C:y=2x2,直線y=kx+2交C于A,B兩點,M是線段AB的中點,過點M作x軸的垂線交C于點N.

(1)證明:拋物線C在點N處的切線與AB平行;

把y=kx+2代入y=2x2，得

2x2-kx-2=0.

設拋物線在點N處的切線l的方程為

將y=2x2代入上式，得

∵直線l與拋物線C相切,

=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,

∴m=k.即l∥AB.

爛眼阿根不但好色，而且好酒；年輕時兩斤老酒不在話下，上了年紀之后，喝到半斤光景就很有些醉意了，但從小醉到大醉的間距特別長，他就是再喝半斤也是如此。這天爛眼阿根喝下半瓶酒后，男人婆就把他的酒瓶藏了起來；爛眼阿根起身去廚房找時，找到的卻是男人婆早已準備好的，灌了甲胺磷的毒酒。爛眼阿根這時候已經(jīng)很有些醉意了，居然喝不出酒中的怪味兒，他把那半瓶毒酒全喝了。

由(1)知x1,x2是方程2x2-kx-2=0的根,所以

2x2-kx-2=2(x-x1)(x-x2).

③

例4(2007年山東高考題)已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,

Δ=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)

=48(3+4k2-m2).

設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程的根,所以

(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)

=(3+4k2)(x-x1)(x-x2).

④

因為以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點D(2,0),所以

=(x1-2)(x2-2)+y1y2

=(x1-2)(x2-2)

+(kx1+m)(kx2+m)

=(x1-2)(x2-2)

在④ 式中令x=2,得

當m=-2k時,l的方程為y=k(x-2),直線過定點(2,0),與已知矛盾;

數(shù)學的學習離不開思考,方法無窮無盡,只要我們善于思考,在繼承的基礎上大膽創(chuàng)新,就能拓寬解題視野,活躍數(shù)學思維能力,充分享受數(shù)學.

○解題思路與方法○