毛曉琦哈爾濱工程大學(xué)

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

毛曉琦
哈爾濱工程大學(xué)

優(yōu)秀的控制系統(tǒng)主要體現(xiàn)在系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它決定了系統(tǒng)能夠安全正常運(yùn)行，對于如何保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是控制技術(shù)人員的主要任務(wù)。本文將會(huì)主要講述基于經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)與基于現(xiàn)代控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)。

線性系統(tǒng)；穩(wěn)定性；分析

引言

常規(guī)的控制系統(tǒng)有兩種，一種是線性系統(tǒng)，另一種則是非線性系統(tǒng)。線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷的依據(jù)就在于平衡狀態(tài)下的系統(tǒng)經(jīng)過擾動(dòng)后是否能夠重新回到平衡狀態(tài)。對于線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響因素在于系統(tǒng)的參數(shù)，它并不會(huì)受到外力的影響。而非線性系統(tǒng)卻存在著因?yàn)榇嬖谥鄠€(gè)平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)之間有的是穩(wěn)定，而有的卻是不穩(wěn)定的，所以在條件允許的情況下，通常會(huì)將非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)來分析。

1　線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)簡述

現(xiàn)今的線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)方式主要類型分為兩種：第一個(gè)是基于經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)，第二個(gè)則是基于現(xiàn)代控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)。在經(jīng)典理論判據(jù)中主要對系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行分析來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這類判據(jù)主要有勞斯穩(wěn)定判據(jù)、奈奎斯特判據(jù)以及對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)等，這類型判據(jù)一般是應(yīng)用于線性系統(tǒng)和近似線性系統(tǒng)。而現(xiàn)代理論判據(jù)則是主要針對空間狀態(tài)的描述，李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)就是常用的一種現(xiàn)代控制理論，并且被廣泛的應(yīng)用。

2　基于經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判斷依據(jù)

在線性控制系統(tǒng)中，對其穩(wěn)定性判斷依據(jù)的主要從閉環(huán)系統(tǒng)特征方程所有根存在負(fù)實(shí)區(qū)，或判斷閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位置進(jìn)行分析。而基于經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判斷依據(jù)便是通過證明閉環(huán)系統(tǒng)特征方程所有根的區(qū)域，以此作為依據(jù)可以知道系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.1勞斯穩(wěn)定判斷依據(jù)

勞斯判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù)是通過分析線性控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程的系數(shù)來判斷。使用系統(tǒng)建立一個(gè)完整的模型，再根據(jù)模型，利用方程式計(jì)算系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，就能夠判斷線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí)勞斯穩(wěn)定判據(jù)還可以得出閉環(huán)系統(tǒng)特征根的具體分布圖。但是勞斯穩(wěn)定判據(jù)有著一定的局限性，主要還要看系統(tǒng)的穩(wěn)定情況，若是系統(tǒng)本身就是穩(wěn)定的，那么勞斯判據(jù)就無法判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。而系統(tǒng)如果不穩(wěn)定，勞斯判據(jù)也就不一定能作為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù)。

2.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是一種圖解法，需要用到奈奎斯特曲線來進(jìn)行。這種判據(jù)是以幅角原理為理論基礎(chǔ)，通過這種理論，只要在線性控制系統(tǒng)的選擇一個(gè)合適的閉合區(qū)域，就可以輕松計(jì)算出零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)量差。奈奎斯特判據(jù)的作用不僅能夠判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還能改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只要知道了控制系統(tǒng)的參數(shù)，就可以用奈奎斯特曲線來改變系統(tǒng)穩(wěn)定性.。不僅如此，奈奎斯特判據(jù)還提供穩(wěn)定性測度，能清楚呈現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度以及對擾動(dòng)的魯棒性。

2.3對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)需要結(jié)合奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)使用，可以將奈奎斯特圖應(yīng)用到伯德圖上，然后通過開環(huán)對數(shù)頻率曲線能夠方便校正和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，同時(shí)由于開環(huán)對數(shù)頻率曲線的繪制較為簡單，因此，對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用可以應(yīng)用到很多類型的系統(tǒng)。

3　基于現(xiàn)代控制理論的穩(wěn)定性判斷依據(jù)

李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù)被分為李雅普諾夫第一法和李雅普諾夫第二發(fā)，這種判據(jù)主要是通過對系統(tǒng)空間狀態(tài)的一個(gè)描述來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其中李雅普諾夫第一法的特點(diǎn)在于它判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法是通過狀態(tài)方程的解的性質(zhì)。而李亞普若夫第二法的特點(diǎn)便是運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)直接來判斷線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，期間并不需要求系統(tǒng)的特征值以及微分方程式。

在此，特意講解李雅普諾夫第二法對線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷依據(jù)。對于李雅普諾夫第二法，主要是利用能量變化的理論來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在系統(tǒng)運(yùn)行過程中，系統(tǒng)內(nèi)儲(chǔ)存的能量會(huì)隨著時(shí)間的流逝而漸漸減少，那么就表明了系統(tǒng)開始穩(wěn)定了，相反，系統(tǒng)在運(yùn)行過程中，能量不但沒有減少反而在不斷從外界吸收能量，則表示系統(tǒng)無法穩(wěn)定下來。

根據(jù)能量定理，可以了解能量的數(shù)值是一直大于0，所以我們可以直接將能量函數(shù)定義為正函數(shù)。在李雅普諾夫第二法中，判斷依據(jù)是通過判斷能量衰減特性的正負(fù)來判斷線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其中運(yùn)用了一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，然而李雅普諾夫函數(shù)不是輕易就可以計(jì)算出來的，因?yàn)檫@類函數(shù)有多個(gè)。通過線性定常系統(tǒng)，并且采用正定二次型函數(shù)，再選定一個(gè)大于0的單位矩陣，求解李雅普諾夫方程就可以找到線性控制系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。其中計(jì)算系統(tǒng)特征根的極點(diǎn)并將其定號性，然后根據(jù)線性定常系統(tǒng)，當(dāng)極點(diǎn)為正定時(shí)，表示系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，為負(fù)定時(shí)，表示系統(tǒng)不穩(wěn)定，若不定時(shí)，就可以判斷系統(tǒng)為非漸進(jìn)穩(wěn)定。

在經(jīng)典控制理論中，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是常用判斷線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其主要作為線性以及近似線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。而在現(xiàn)代控制理論中，李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)不僅僅可以對線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷，其還可以應(yīng)用到其他較為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，如時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng)以及離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)等。但是李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)也有著一個(gè)缺陷，那就是沒有一個(gè)固定構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法，一切只能靠豐富的經(jīng)驗(yàn)和技巧。

4　結(jié)語

穩(wěn)定性判據(jù)主要有基于經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)和基于現(xiàn)代控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)。兩類型判據(jù)有著明顯的區(qū)別，經(jīng)典控制理論類型判據(jù)通常只能用于線性控制系統(tǒng)或近似線性系統(tǒng)，其主要是通過計(jì)算系統(tǒng)的閉環(huán)和開環(huán)特性來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性?，F(xiàn)代控制理論類型判據(jù)主要針對空間狀態(tài)方程計(jì)算判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這種類型的判據(jù)，如李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用范圍廣泛，幾種判據(jù)雖然已經(jīng)沿用了很多年，但是卻依然存在著一些缺點(diǎn)，面對這些缺陷，就只能依賴豐富的經(jīng)驗(yàn)和技巧。

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