徐 勇，李 杰，安利平，王 平，CHU Chao－Hsien

（1.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401；2.北京大學(xué)軟件與微電子學(xué)院無(wú)錫基地，江蘇 無(wú)錫214125；3.南開(kāi)大學(xué)商學(xué)院，天津300072；4.北京大學(xué)軟件與微電子學(xué)院，北京100260；5.新加坡管理大學(xué)信息系統(tǒng)學(xué)院，新加坡178902）

0 引言

在中國(guó)，隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，各種車(chē)輛的保有量呈現(xiàn)幾何數(shù)量遞增趨勢(shì)，很多城市交通道路的發(fā)展不能滿(mǎn)足車(chē)輛出行需求，城市交通擁堵日益嚴(yán)重。交通擁堵問(wèn)題不僅對(duì)城市的機(jī)動(dòng)性產(chǎn)生負(fù)面影響，而且使城市的宜居性下降。一些城市不得不采用交通路段分時(shí)限行、車(chē)輛限號(hào)出行、車(chē)輛購(gòu)買(mǎi)限量等措施，這些措施在緩解交通擁堵的同時(shí)，給出行者帶來(lái)極大的不便。事實(shí)上，平衡多種交通方式實(shí)現(xiàn)城市宜居是大多數(shù)國(guó)家的城市領(lǐng)導(dǎo)者和交通運(yùn)輸專(zhuān)家采取的長(zhǎng)期目標(biāo)。因此政府大力倡導(dǎo)乘坐公交車(chē)出行，盡量減少交通壓力。為了達(dá)到出行從小汽車(chē)到公共交通的轉(zhuǎn)變，把出行流量盡量吸引到公共交通系統(tǒng)中來(lái)，需要建立發(fā)達(dá)完善的公共交通系統(tǒng)。

在公共交通系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)中，公交線路網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建［1－6］、公交出行客流分配［7－12］、公交出行查詢(xún)算法［13－24］等受到廣泛關(guān)注。公交構(gòu)建和客流分配是設(shè)計(jì)層面需要解決的問(wèn)題，公交網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建必須考慮公交網(wǎng)絡(luò)的覆蓋性、可達(dá)性，公交配流必須考慮出行路徑最優(yōu)原則。公交出行查詢(xún)是面向出行的應(yīng)用層面的問(wèn)題。公交路徑最優(yōu)選擇算法不僅是建立公交網(wǎng)絡(luò)信息查詢(xún)系統(tǒng)的核心算法，也是公交網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建、調(diào)整的重要算法，同時(shí)是公交配流的重要算法之一。各界學(xué)者也開(kāi)始對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行思考并且提出各自的解決方案?；谧钚Q乘次數(shù)的公交網(wǎng)絡(luò)的最短路優(yōu)化問(wèn)題對(duì)解決上述3類(lèi)問(wèn)題具有重要意義，例如文獻(xiàn)［6］考慮了最小換乘條件下的公交網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建算法。文獻(xiàn)［7］在最小換乘的基礎(chǔ)上進(jìn)行公交流量分配，從公交OD（Origin Destination）矩陣出發(fā)，最終得到每條公交線路上的OD矩陣。公交出行查詢(xún)問(wèn)題的解決通常需要考慮換乘次數(shù)、路程、公交發(fā)車(chē)頻率、線路擁塞、等車(chē)時(shí)間等諸多因素，如果將這些因素按確定性來(lái)分，則換乘次數(shù)最小、和路程最短是查詢(xún)問(wèn)題中的確定因素，是絕大多數(shù)公交網(wǎng)絡(luò)路徑選擇算法優(yōu)先考慮的因素。公交發(fā)車(chē)頻率、線路擁塞、等車(chē)時(shí)間這些因素則是不確定因素，現(xiàn)有的查詢(xún)算法往往不涉及不確定因素，或?qū)Σ淮_定因素保守確定化。查詢(xún)算法要想實(shí)用化、精確化，就必須考慮查詢(xún)中的不確定因素，為出行者不僅要提供少換乘次數(shù)、換乘線路，還要提供短乘車(chē)距離和乘車(chē)時(shí)間。

綜合考慮多種因素的公交網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)路徑選擇問(wèn)題是NP問(wèn)題［13］。目前在公交最優(yōu)路徑選擇方面得到應(yīng)用的算法主要有3類(lèi)［13－24］。第1類(lèi)是基于最短路徑搜索技術(shù)的算法，如：Dijkstra算法、A＊算法、Floyd算法等，這些算法運(yùn)算效率較高，但不能處理?yè)Q乘問(wèn)題，得到的最短路徑換乘次數(shù)太多可能無(wú)法應(yīng)用；第2類(lèi)是基于智能技術(shù)包括遺傳算法、螞蟻算法、禁忌算法的查詢(xún)算法；第3類(lèi)是基于數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)或集合運(yùn)算的查詢(xún)算法。第2，3類(lèi)算法在計(jì)算過(guò)程中容易搜索大量不合理的路徑，容易產(chǎn)生維數(shù)爆炸問(wèn)題，難以用于大規(guī)模公交網(wǎng)絡(luò)。這些算法考慮不確定因素的還不多見(jiàn)，但不確定性客觀存在。實(shí)際上，公交線路有運(yùn)行時(shí)間區(qū)間的，公交出行查詢(xún)時(shí)必須考慮公交線路的運(yùn)行時(shí)間區(qū)間，否則，查詢(xún)結(jié)果可能無(wú)法應(yīng)用。以天津市區(qū)2013年的公交線路圖為例，天津市有公交線路341條，站點(diǎn)2 000個(gè)以上，部分公交線路的運(yùn)行時(shí)區(qū)為 （括號(hào)內(nèi)為線路）：

可以看出，在7：00～17：00時(shí)間段的出行，可以不用考慮公交網(wǎng)絡(luò)的時(shí)變性，但在4：00～7：00，17：00～23：30時(shí)區(qū)內(nèi)出行必須考慮公交網(wǎng)絡(luò)的時(shí)變性，否則可能出現(xiàn)要換乘的線路還未運(yùn)行或已經(jīng)不再運(yùn)行的窘境。本文在文獻(xiàn)［16］基礎(chǔ)上討論時(shí)變公交網(wǎng)絡(luò)的查詢(xún)問(wèn)題。

1 時(shí)變公交網(wǎng)絡(luò)的高維數(shù)組表示

公交網(wǎng)絡(luò)是由若干公交線路相互耦合而成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。公交網(wǎng)絡(luò)中的公交站點(diǎn)可以被若干不同的公交線路經(jīng)過(guò)，公交線路經(jīng)過(guò)若干不同站點(diǎn)。公交網(wǎng)絡(luò)不同于一般的交通網(wǎng)絡(luò)，表現(xiàn)在3個(gè)方面：1）不變性。在一定時(shí)期內(nèi)，每條公交線路的走向、覆蓋站點(diǎn)是固定不變的，決定了出行者不能隨機(jī)選擇出行路線。2）任意性。有些出行者在不能直達(dá)的情況下必須換乘，換乘節(jié)點(diǎn)以及換乘路線不唯一，這是由整個(gè)公交網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的連通性決定的。3）時(shí)變性。公交網(wǎng)絡(luò)中的線路運(yùn)行是與一定的時(shí)間區(qū)間段對(duì)應(yīng)的，在不同的時(shí)間查詢(xún)出行路線可能不一樣。這樣，出行者在哪個(gè)時(shí)間段出行，在哪個(gè)節(jié)點(diǎn)換乘，換乘哪路公交車(chē)，即換乘規(guī)則如何確定更接近實(shí)際，是一個(gè)復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題。

公交站點(diǎn)通過(guò)公交線路鄰接，公交線路又通過(guò)相交的站點(diǎn)發(fā)生關(guān)聯(lián)。本文考慮有m條公交線路、n個(gè)公交站點(diǎn)的公交線路選擇問(wèn)題。記公交線路集合為l＝｛L1，L2，…，Lm｝，公交站點(diǎn)的集合為s＝｛S1，S2，…，Sn｝。由于公交車(chē)的運(yùn)行是有時(shí)間區(qū)間的，而且在公交網(wǎng)絡(luò)中，每條公交線路都有相對(duì)應(yīng)的起始點(diǎn)，在此設(shè)為Si站點(diǎn)在線路Lk中的相對(duì)該線路的起始點(diǎn)的距離，一般地可以認(rèn)為是距離初始站點(diǎn)的站數(shù)。任意的公交線路Lk都有自己的運(yùn)營(yíng)時(shí)間段表示運(yùn)營(yíng)開(kāi)始時(shí)間，表示運(yùn)營(yíng)結(jié)束時(shí)間。用（t）表示在時(shí)刻t時(shí)線路Lk中站點(diǎn)Si和站點(diǎn)Sj之間的距離，即

根據(jù)公交線路與經(jīng)過(guò)的公交站點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的關(guān)系以及公交站點(diǎn)在公交線路上的鄰接關(guān)系，建立反映公交網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)相鄰關(guān)系和站點(diǎn)與線路關(guān)聯(lián)關(guān)系的三維數(shù)組W ＝［wkij（t）］n×n×m，其中i，j為公交網(wǎng)絡(luò)中公交站點(diǎn)Si與Sj，k為公交網(wǎng)絡(luò)中公交線路Lk，wkij（t）為站點(diǎn)Si到Sj在線路Lk上在時(shí)刻t的距離，wkij（t）≠0實(shí)際上表示在時(shí)刻t公交線路Lk中站點(diǎn)Si和站點(diǎn)Sj之間存在著一條直達(dá)路徑，而不需要換乘。三維數(shù)組記錄了公交網(wǎng)絡(luò)的全部信息，從而可以基于該三維數(shù)組進(jìn)行公交網(wǎng)絡(luò)的查詢(xún)。

2 時(shí)變公交網(wǎng)絡(luò)的換乘查詢(xún)優(yōu)化模型

從站點(diǎn)Si出發(fā)，若經(jīng)過(guò)線路Lk1，Lk2，Lk3，…，Lkv＋1，換乘站點(diǎn)分別為Sr1，Sr2，Sr3，…，Srv到達(dá)終點(diǎn)站Sj，則經(jīng)過(guò)最小換乘次數(shù)條件下最短距離問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型（2）描述：

該規(guī)劃問(wèn)題對(duì)公交網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建、公交配流、公交出行查詢(xún)信息系統(tǒng)的建立具有重要作用。為了求解上述規(guī)劃問(wèn)題，將該問(wèn)題分解為先求最小換乘次數(shù)，再求換乘站點(diǎn)與乘車(chē)距離。

3 基于影射網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)規(guī)劃求解算法

首先不考慮時(shí)間因素，在公交線路影射網(wǎng)絡(luò)圖上給出最小換乘次數(shù)的計(jì)算方法：

第1步，基于站點(diǎn)與線路的關(guān)聯(lián)關(guān)系確定途徑出發(fā)站點(diǎn)Si的線路集合，終止站點(diǎn)Sj的線路集合

第2步，在已給出頂點(diǎn)集合l1，l2，…，lk的情況下給出lk＋1：任給在線路影射網(wǎng)絡(luò)圖中的結(jié)點(diǎn)集若lk＋1∩ le≠ Φ，則lk＋1＝ ：lk＋1∩ le，記以l1，l2，…，lk＋1為剖分集的公交線路影射網(wǎng)絡(luò)圖的生成子圖為G＝ ｛l1，l2，…，lk＋1，E｝，該多部圖G的邊集E只包含線路影射網(wǎng)絡(luò)圖中結(jié)點(diǎn)分別在lp與lq（p≠q）中的邊，轉(zhuǎn)第3步；否則，令k＝k＋1，轉(zhuǎn)第2步。

最小換乘次數(shù)算法實(shí)質(zhì)是線路影射網(wǎng)絡(luò)圖上的最短路線算法，從而是一種多項(xiàng)式時(shí)間算法。時(shí)不變公交網(wǎng)絡(luò)中的最小換乘次數(shù)即為換乘次數(shù)搜索算法搜索得到的k，對(duì)于時(shí)變公交網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，由于時(shí)變?cè)?，換乘次數(shù)存在v≥k的情況。以上算法確定的多部圖是求解換乘站點(diǎn)、換乘線路和乘車(chē)距離的基礎(chǔ)。

3.1 基于線路影射網(wǎng)絡(luò)的最小換乘次數(shù)算法

為了確定從站點(diǎn)Si出發(fā)到站點(diǎn)Sj的換乘次數(shù)，建立公交線路影射網(wǎng)絡(luò)圖。公交線路影射網(wǎng)絡(luò)圖定義為將公交線路看作結(jié)點(diǎn)，若兩條公交線路有公共公交站點(diǎn)則在公交網(wǎng)絡(luò)影射圖中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線路結(jié)點(diǎn)之間有邊相連，若兩條公交線路有多個(gè)公共公交站點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的線路結(jié)點(diǎn)間只能取一條邊。

3.2 基于站點(diǎn)影射網(wǎng)絡(luò)圖的最短路線算法

在多部圖G＝｛l1，l2，…，lk＋1，E｝的基礎(chǔ)上求解最小換乘條件下的最短路，并給出乘車(chē)線路、換乘站點(diǎn)以及每一線路的乘車(chē)站數(shù)。若出行者在t時(shí)刻進(jìn)行查詢(xún)，則數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題（2）轉(zhuǎn)化為求解優(yōu)化問(wèn)題（3）。

優(yōu)化問(wèn)題（3）與優(yōu)化問(wèn)題（2）相比，沒(méi)有最小換乘次數(shù)的限制，而且縮小了換乘線路的搜索范圍，搜索過(guò)程只在lq，q＝1，2，…，v中進(jìn)行。搜索的公交線路數(shù)量大大減少，從而公交線路的搜索范圍大大縮小了。優(yōu)化問(wèn)題（3）的求解可以轉(zhuǎn)化為時(shí)變多階段決策問(wèn)題，從而優(yōu)化問(wèn)題（3）可以采用傳統(tǒng)的最短路線算法解決，而且最短路線問(wèn)題存在多項(xiàng)式算法，如經(jīng)典的Dijkstra算法。

根據(jù)模型（3）建立出行的多階段決策圖G0。初始階段的頂點(diǎn)集為N0＝｛Si｝，第1階段的頂點(diǎn)集為從站點(diǎn)Si出發(fā)乘坐的線路Lk1∈l1到達(dá)的換乘站點(diǎn)Sr1組成的集合N1，邊SiSr1的權(quán)值為；第2階段的頂點(diǎn)集合為在Sr1轉(zhuǎn)乘線路Lk2∈l2到達(dá)的站點(diǎn)Sr2組成的集合N2，邊Sr1Sr2的權(quán)值為ξk2），依次類(lèi)推，最后一階段的頂點(diǎn)集合為 Ne＝ ｛ Sj｝，邊Srk＋1Sj的權(quán)值為ξkk＋1）。

在圖G0上采用最短路線算法得到最優(yōu)出行路徑。假設(shè)查詢(xún)的最優(yōu)出行路徑為

4 算例

為了說(shuō)明本文給出的時(shí)變公交網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的查詢(xún)算法，以如圖1所示的含有12條公交線路以及他們之間的10個(gè)交叉公交站點(diǎn)的公交網(wǎng)絡(luò)為例，公交網(wǎng)絡(luò)中各站點(diǎn)到公交線路始點(diǎn)距離（括號(hào)內(nèi)數(shù)字）：L1：S1（2），S2（5），L2：S1（5），S3（8）；L3：S1（4），S4（7）；L4：S3（6），S5（8）；L5：S3（10），S6（13）；L6：S2（4），S7（10）；L7：S5（4），S8（7）；L8：S6（5），S8（9）；L9：S4（6），S9（13）；L10：S7（2），S10（10）；L11：S8（6），S10（10）；L12：S9（4），S10（10）。

假設(shè)各條公交線路的運(yùn)行時(shí)間區(qū)間：L1：6∶00－22∶00；L2：4∶50－23∶00；L3：5∶30－22∶40；L4：5∶15－19∶15；L5：5∶15－22∶30；L6：5∶00－17∶00；L7：5∶10－21∶40；L8：5∶05－18∶00；L9：5∶30－18∶00；L10：7∶00－23∶00；L11：5∶30－18∶40；L12：5∶45－19∶00。

在不同的時(shí)間點(diǎn)查詢(xún)從站點(diǎn)S1到S10的換乘次數(shù)、乘車(chē)距離和乘車(chē)時(shí)間。首先建立該公交網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的線路網(wǎng)絡(luò)影射圖（圖2）。

由換乘次數(shù)算法第1步得：s1到s10的l1＝ ｛ L1，L2，L3｝，le＝｛L10，L11，L12｝，通過(guò)第2步搜索過(guò)程得到l2＝｛L6，L4，L5，L9｝，l3＝ ｛ L10，L7，L8，L12｝，因l3∩ le≠ Φ，得l3：＝ ｛ L10，L12｝生成的多部圖G＝ （l1，l2，l3，E），如圖3所示。

根據(jù)換乘次數(shù)算法的第3步約簡(jiǎn)后的多部圖如圖4所示。

若查詢(xún)時(shí)間為10∶00點(diǎn)，且給出L1，L6，L10的發(fā)車(chē)頻率為每小時(shí)3，4，5班，L3，L9，L12發(fā)車(chē)頻率為每小時(shí)4，5，4班，則有ξ1～ U［0，20］，ξ6～ U［0，15］，ξ10～ U［0，12］，ξ3～ U［0，15］，ξ9～ U［0，12］，ξ12～ U［0，15］，假設(shè)每?jī)烧局g運(yùn)營(yíng)時(shí)間均為3分鐘，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題（3）為

圖1 含有12條公交線路及交叉站點(diǎn)的公交網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 A Public transit network with 12lines and cross stations

圖2 圖1的公交線路影射網(wǎng)絡(luò)圖Fig.2 Line mapping network for fig 1.

圖3 查詢(xún)線路第2步生成的多部圖Fig.3 Query line multipartite graph based on the second step

圖4 查詢(xún)線路第3步生成的約簡(jiǎn)多部圖Fig.4 Query line reduction multipartite graph based on the third step

進(jìn)一步可得到S1到S10的最優(yōu)換乘為

從S1到S10乘車(chē)距離為w112＋w627＋w170，10＝3＋4＋8＝15。從S1到S10花費(fèi)時(shí)間在［45，92］分鐘之間，平均為68.5min。到達(dá)時(shí)刻在［10∶45，11∶32］之間，平均到達(dá)時(shí)刻為11∶8.5。

5 結(jié)語(yǔ)

本文綜合考慮了公交網(wǎng)絡(luò)的時(shí)變性與不確定性，給出了公交網(wǎng)絡(luò)出行基于最小換乘次數(shù)條件下的最短路線的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并將該規(guī)劃模型求解問(wèn)題分解為線路影射網(wǎng)絡(luò)圖的最短路線問(wèn)題和站點(diǎn)影射網(wǎng)絡(luò)圖的多階段決策問(wèn)題，兩類(lèi)問(wèn)題都可用傳統(tǒng)的最短路算法解決。該規(guī)劃模型可以求出換乘站點(diǎn)、換乘線路以及乘車(chē)時(shí)間。如果將最短路優(yōu)化改為最小換乘時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)，利用該算法很容易實(shí)現(xiàn)。本文給出的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型與算法基于公交線路與公交站點(diǎn)的關(guān)聯(lián)三維數(shù)組上，便于理解，容易推廣到大城市的實(shí)際公交網(wǎng)絡(luò)信息查詢(xún)上。

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