●福建省漳州市詔安一中 沈順發(fā)

基于APOS理論下高中函數(shù)概念的教學環(huán)節(jié)分析

●福建省漳州市詔安一中 沈順發(fā)

一、APOS理論簡介

美國數(shù)學家杜賓斯基在研究“學生是如何學習數(shù)學的”及“怎樣的教學計劃能幫助這種學習”的過程中建立了APOS理論.杜賓斯基認為，學生是透過心智結構使數(shù)學概念產(chǎn)生意義的，如果學生沒有建立適當?shù)男闹墙Y構，那么他學習數(shù)學概念幾乎是不可能的.杜賓斯基認為，學生理解數(shù)學概念的心智結構，可分為四個階段（即APOS的四個基本成分）.

首先，“活動（ACTION）”階段，也叫“操作”階段——個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）的指令去變換一個客觀的教學對象.“活動階段”是學生理解概念的一個必要條件，通過活動讓學生親身體驗、感受概念的直觀背景和概念間的關系.

其次，“過程（PROCESSEC）”階段，也叫“程序”階段——當“活動”經(jīng)過多次重復而被個體熟悉后，就可以內(nèi)化為一種稱之為“程序”的心理操作，有了這個“程序”，個體就可以想象這個“活動”，而不需要通過外部的刺激，他可以在頭腦中實施這個程序，還可以對這個程序進行逆轉(zhuǎn)，以及與其他程序進行組合.“過程階段”是學生對活動進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮的過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì).

再次，“對象”階段——當個體能夠把“程序”作為一個整體進行操作時，這個程序就變成一種心理“對象”.“對象階段”是通過前面的抽象，認識到了概念本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動.

最后，“圖式（SCHEMA）”階段，或叫“模型”階段——由相應的“活動”、“程序”、“對象”，以及與某些一般性原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認識框架，它可以用于解決與這個概念相關的問題.“概型階段”的形成要經(jīng)過長期的學習活動來完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學習建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式.

其中，“活動”、“程序”和“對象”可以看作數(shù)學知識的三種狀態(tài)，而“圖式”則是由這三種知識構成的一種認知結構.

二、函數(shù)概念教學環(huán)節(jié)分析

APOS理論集中于對特定學習內(nèi)容——數(shù)學概念學習過程的研究，對數(shù)學概念所特有的思維形式“過程和對象的雙重性”作出了切實分析.對數(shù)學學習過程中學生的思維活動作出深入的研究，正確揭示數(shù)學學習活動的特殊性，反映了學生學習數(shù)學概念過程中真實的思維活動.高中函數(shù)概念教學，依據(jù)該理論可進行教學環(huán)節(jié)設計如下：

1.“活動（ACTION）”階段：學生理解和掌握數(shù)學概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、關鍵屬性的過程

同類事物的關鍵屬性可以由學生從大量的同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn).但是，課堂教學不可能出現(xiàn)大量的同類事物的不同例證，因此，對學生以往的數(shù)學經(jīng)驗是必要的補充.

復習回顧環(huán)節(jié)（教學環(huán)節(jié)1）：在初中階段，學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等．

例1（1）寫出一次函數(shù)y=2x-1的自變量的集合與因變量的集合．

（2）當x=0和x=2時，y=2x-1的值分別是多少？

（3）一次函數(shù)y=2x-1的自變量的集合是{0，2}，則因變量的集合是_______．

例2（1）寫出二次函數(shù)y=2x2-1的自變量的集合與因變量的集合．

（2）當x=-1、x=0和x=1時，y=2x2-1的值分別是多少？

（3）二次函數(shù)y=2x2-1的自變量的集合是{-1，0，1}時，則因變量的集合是_________．

初中時我們已學過函數(shù)的概念：在變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地也就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫定義域，y的取值范圍叫值域．

例證展示環(huán)節(jié)（教學環(huán)節(jié)2）：雖然課堂教學不可能出現(xiàn)大量的同類事物的不同例證，但是典型例證的作用是舉足輕重的，可以做到舉一反三.教材列舉了以下三個例子：

例4 一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26 s落到地面擊中目標，炮彈的射高為845 m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2.

例5 近幾年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧空洞問題，圖1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979～2001年的變化情況．

圖1

例6 國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.表1中恩格爾系數(shù)隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化．

表1“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

2.“過程（PROCESSEC）”階段：學生對“活動”進行思考，思維內(nèi)化，發(fā)現(xiàn)例證中的共性，抽取概念的本質(zhì)內(nèi)容

探討交流環(huán)節(jié)（教學環(huán)節(jié)3）：教材選擇這三個實例進行展示，一方面預示函數(shù)表示法的多樣性（關系式、圖、表等），另一方面是希望學生能從中發(fā)現(xiàn)同類事物的共同的、關鍵的屬性.例4中時間t（單位：s）的集合是A={t|0≤t≤26}，炮彈距地面的高度h（單位：m）的集合是B={h|0≤h≤845}，隨時間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2.對于數(shù)集A中的任意一個時間t，按照對應關系h=130t-5t2，在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對應.例5從圖中明顯得知，對于數(shù)集A中的每一個時刻t都對應t時刻時曲線在該點的縱坐標.即在數(shù)集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S與之對應.例6對于表格中的任意一個時間t都有唯一確定的恩格爾系數(shù)與之對應，即在數(shù)集A中的任意一個時間t，在數(shù)集中B都有唯一確定的恩格爾系數(shù)與之對應．

3.“對象”階段：用定義的方式向?qū)W生直接揭示，學生利用已有的認知結構中的有關知識來理解函數(shù)新概念，達到初高中函數(shù)概念的同化

揭示概念環(huán)節(jié)（教學環(huán)節(jié)4）：這三個實例的不同點和共同點是什么？學生認真思考，在教師啟發(fā)點撥下，歸納總結不同點：例4用解析式刻畫變量之間的對應關系；例5用圖像刻畫變量之間的對應關系；例6用表格刻畫變量之間的對應關系.共同點：①都有兩個非空數(shù)集；②兩個數(shù)集間都有一種確定的對應關系，即按照這種對應關系，對于集合A中任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)與之對應.因此，究其函數(shù)的本質(zhì)，我們用集合和對應的觀點給出函數(shù)全新的定義.一般地，設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f（x），x∈A.體會定義的要點和所滿足的條件——強調(diào)：①函數(shù)首先是兩個數(shù)集之間建立的對應.②對于x的每一個值，按照某種確定的對應關系f，都有唯一的y值與它對應，這種對應應為數(shù)與數(shù)之間的一一對應或多一對應.③認真理解y=f（x）的含義：y=f（x）是一個整體，f（x）并不表示f與x的乘積，它是一種符號，它可以是解析式，如例4；也可以是圖像，如例5；也可以是表格，如例6.④x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，y叫函數(shù)值，y的取值范圍C={y|y=f（x），x∈A}叫做函數(shù)的值域且C哿B．定義域、值域都是一個集合且值域是集合B的子集.要引導學生思考，提高分析問題與解決問題的能力.這個函數(shù)的定義與初中學的函數(shù)定義有何區(qū)別和聯(lián)系？這兩種定義實質(zhì)上是一致的，即它們的定義域和值域的意義完全相同，對應關系本質(zhì)也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，初中給出的定義是從運動變化的觀點出發(fā)，其中對應關系是將自變量x的每一個取值與唯一確定的函數(shù)y對應起來；高中給出的定義是從集合對應的觀點出發(fā)，其中的對應關系是將A集合中的任一元素與B集合中的唯一確定的元素對應起來，這樣定義逃脫了物理運動的束縛，更加完美.教師再及時引導：既然函數(shù)是一個整體，那構成函數(shù)定義的幾個要素分別是什么？問題清晰，學生馬上給出解答.函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應法則.強調(diào)三者缺一不可，但值域可由定義域和對應法則唯一確定．

4.“圖式（SCHEMA）”階段

鞏固掌握與驗收環(huán)節(jié)（教學環(huán)節(jié)5）：為加深對函數(shù)概念及函數(shù)定義三要素的理解，教師引導學生舉出生活中的一些函數(shù)的實例，并指出函數(shù)的三要素．

例7 我國是水資源相對匱乏的國家，為鼓勵節(jié)約用水，某市打算出臺一項水費政策措施，規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時，每噸水費收基本價1.3元，若超過5噸而不超過6噸時，超過部分水費加收200%，若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費加收400%，如果某人本季度實際用水量為x（x≥7）噸，試計算本季度他應繳多少水費？

例8 某市某種類型的出租車，規(guī)定3千米內(nèi)起步8元（即行程不超過3千米，一律收8元），若超過3千米，除起步價外，超過部分再按1.5元/千米收費計價，若乘客與司機約定按四舍五入以元計費不找零錢，下車后乘客付了16元，則乘客乘車里程的范圍是_______.（單位：千米）

例10 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？

（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）.

分析：①構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域.

②兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域、值域C和對應關系f，定義域和對應關系為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).

③常用的函數(shù)表示法——解析法、列表法、圖像法.

④分段函數(shù)：若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

總之，數(shù)學概念具有很強的系統(tǒng)性.先前的概念往往是后續(xù)概念的基礎，從而形成了數(shù)學概念的系統(tǒng)結構.數(shù)學概念的這種特性要求學生在數(shù)學學習時必須做到循序漸進，一步一個腳印，扎扎實實地打好基礎.初中函數(shù)概念的復習為高中函數(shù)概念的學習起到了鋪墊的作用，初中函數(shù)概念過度到高中函數(shù)概念，是學生認知結構變化的結果，是概念的同化.教學中依據(jù)APOS理論進行設計5個教學環(huán)節(jié)．

1.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（A版）［M］．北京：人民教育出版社，2007.

2.鮑建生，周超．數(shù)學學習的心理基礎與過程［M］．上海：上海教育出版社，2009（10）.

3.曹才翰，章建躍．數(shù)學教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，2006（6）.

4.朱常清．高中數(shù)學說課課件．百度文庫http：//wenku.baidu.com．

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