韓亞洲　王雪健

摘 要： 凸函數(shù)的性質和應用一直都是是分析教學的重點和難點，它在分析學中有著廣泛的應用，因此由淺入深地系統(tǒng)學習凸函數(shù)的性質是很有必要的.

關鍵詞： 凸函數(shù) 實變函數(shù) 不等式

凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，它在凸分析，數(shù)理經(jīng)濟學，最優(yōu)控制，函數(shù)論等學科中都有廣泛的應用.另外凸函數(shù)的性質也是數(shù)學分析和實變函數(shù)中證明不等式的一個常用工具，它可以使不等式的證明更簡單，思路更清晰.

凸函數(shù)的定義和基本性質在很多數(shù)學分析，高等數(shù)學，泛函分析，實變函數(shù)的教材中都有介紹.在不同版本的教材及參考書中，其定義形式區(qū)別也很大，條件有強有弱，彼此之間又密切相關.在多數(shù)教材中對凸函數(shù)的性質沒有系統(tǒng)的介紹，這使得大多數(shù)學生對凸函數(shù)的認識只停留在最初的階段，以至于學生對凸函數(shù)的認識不夠深刻，不能靈活應用凸函數(shù)的性質處理問題.本文在凸函數(shù)的定義出發(fā)從一個方面由淺入深地介紹了凸函數(shù)的一些基本性質和等價定義.另外我們也期望通過對些性質的學習能使大家對凸函數(shù)的認識更深刻.

在介紹凸函數(shù)定義之前讓我們先回憶一下凸集的定義.設E為線性空間X中的子集，若對于任意的x，y∈E和0≤λ≤1有λx+（1-λ）y∈E，則稱E為凸集.

定義1[1].設f（x）為定義在凸集E上的函數(shù)，若對I上任意x，y∈E和實數(shù)0≤λ≤1，總有

參考文獻：

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[4]李遜.關于函數(shù)凸性的教學探討[J].華中師范大學學報（自然科學版），1985，2：141-146.

基金項目：新疆大學大學生創(chuàng)新項目XJU-SRT-14048。