任開軍，鄧科峰，劉少偉，宋君強(qiáng)(國(guó)防科技大學(xué)海洋科學(xué)與工程研究院，湖南長(zhǎng)沙410073)

自適應(yīng)人工蜂群優(yōu)化的混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)*

任開軍，鄧科峰，劉少偉，宋君強(qiáng)
(國(guó)防科技大學(xué)海洋科學(xué)與工程研究院，湖南長(zhǎng)沙410073)

為了對(duì)混沌系統(tǒng)未知參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，改進(jìn)了人工蜂群優(yōu)化算法，提出自適應(yīng)人工蜂群算法的混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法。將混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為多維變量數(shù)值優(yōu)化問題，利用人工蜂群算法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行導(dǎo)向隨機(jī)搜索。在搜索過程中，通過種群優(yōu)化程度和解的質(zhì)量自適應(yīng)地調(diào)整更新步長(zhǎng)和解的嘗試次數(shù)。以Lorenz混沌系統(tǒng)為例進(jìn)行的仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法在無噪聲和噪聲強(qiáng)度較大的情況下均能夠獲得較好的估計(jì)結(jié)果，表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。

混沌系統(tǒng)；參數(shù)估計(jì)；人工蜂群；數(shù)值優(yōu)化

自1963年Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子以來，學(xué)術(shù)界對(duì)混沌系統(tǒng)理論展開了深入的研究，提出的混沌控制與同步方法在保密通信、信息科學(xué)、化學(xué)反應(yīng)以及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［1］，并成為當(dāng)前混沌系統(tǒng)與控制學(xué)科交叉研究的熱點(diǎn)。在混沌系統(tǒng)中，參數(shù)未知的情況時(shí)常發(fā)生。例如，混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性導(dǎo)致它的某些參數(shù)無法測(cè)量或確定；系統(tǒng)的保密性要求使得某些參數(shù)不可獲知。由于現(xiàn)有的多數(shù)混沌同步與控制方法均是在系統(tǒng)參數(shù)已知的情況下獲取的，所以其在參數(shù)未知的情況下不再適用。此時(shí)，對(duì)混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)進(jìn)行有效估計(jì)便成為混沌控制與同步方法研究的前提和關(guān)鍵。

群智能優(yōu)化算法是解決混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問題的一類重要方法［3-18］。不同于變分法基于導(dǎo)出的混沌系統(tǒng)伴隨方程和待估計(jì)參數(shù)的泛函梯度公式單點(diǎn)搜索最優(yōu)值［2］，群智能優(yōu)化算法從一組隨機(jī)解出發(fā)并通過模仿生物進(jìn)化過程或群體智能過程來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)值的導(dǎo)向性搜索。例如，文獻(xiàn)［3］采用的遺傳算法與文獻(xiàn)［4-5］提出的混合差分進(jìn)化算法均屬于基于生物進(jìn)化機(jī)制的算法；而文獻(xiàn)［6］提出的混合生物地理優(yōu)化算法、文獻(xiàn)［7-8］提出的混沌蟻群算法、文獻(xiàn)［9-12］提出的量子粒子群算法則是基于群體智能過程的優(yōu)化算法。由于群智能優(yōu)化算法以一組可行解為初始值，采用結(jié)構(gòu)化和隨機(jī)化搜索策略，不需要目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，對(duì)函數(shù)性質(zhì)也沒有太多要求，因此在求解高度非線性的混沌系統(tǒng)未知參數(shù)上相比于傳統(tǒng)優(yōu)化算法顯示出較大的優(yōu)勢(shì)。

人工蜂群(Artificial Bee Colony，ABC)優(yōu)化算法是由Karaboga在2005年提出的模仿蜜蜂采蜜行為的群智能優(yōu)化算法［13-15］。與蟻群算法(Ant Colony Optimization，ACO)和粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)一樣，ABC也是一種基于生物群體智能過程的優(yōu)化算法。在ABC算法中，食物源代表著問題的解，食物源的食物越充足表示解的質(zhì)量越好，而蜜蜂的采蜜行為則表示尋找最優(yōu)解的過程。蜜蜂作為一種群居性動(dòng)物，雖然單個(gè)個(gè)體的行為非常簡(jiǎn)單，但是群體卻展現(xiàn)出極其復(fù)雜的行為。在采蜜過程中，采蜜的蜜蜂通過跳搖擺舞的方式將食物源信息反饋給其他蜜蜂，引導(dǎo)更多的蜜蜂放棄貧源到富源采蜜，從而實(shí)現(xiàn)問題解的不斷優(yōu)化。ABC算法提出后被成功應(yīng)用在函數(shù)優(yōu)化、組合優(yōu)化、頻譜分配等問題中［16-17］，具有設(shè)置參數(shù)少、計(jì)算簡(jiǎn)單、收斂速度快和魯棒性高等特點(diǎn)。

任開軍等將ABC算法引入到混沌系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)中，并將其與經(jīng)典的ACO、PSO以及最近提出的生物地理學(xué)優(yōu)化算法(Biogeography Based Optimization，BBO)［18］進(jìn)行比較。由于基本ABC算法在參數(shù)估計(jì)過程容易丟棄最優(yōu)解而導(dǎo)致算法性能波動(dòng)很大，任開軍等提出自適應(yīng)人工蜂群(Adaptive Artificial Bee Colony，AABC)優(yōu)化算法，利用自適應(yīng)的食物源淘汰策略延長(zhǎng)精英解的存活時(shí)間。

1 混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問題

考慮具有m個(gè)參數(shù)的n維混沌系統(tǒng)，其狀態(tài)變量的估計(jì)值為:

其中，X=(x1，x2，…，xn)T是原系統(tǒng)的n維狀態(tài)變量，X0是系統(tǒng)初始狀態(tài)，θ=(θ1，θ2，…，θm)T是系統(tǒng)參數(shù)的真實(shí)值。

假設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已知，當(dāng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，被估計(jì)系統(tǒng)可以描述為:

其中，Y=(y1，y2，…，yn)T∈Rn是被估計(jì)系統(tǒng)的n維狀態(tài)變量，~θ=(~θ1，~θ2，…，~θm)T是系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)值。

假設(shè)在k時(shí)刻，真實(shí)系統(tǒng)和待估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量分別為Xk和Yk，~Xk為真實(shí)系統(tǒng)的測(cè)量噪聲，M表示用于參數(shù)估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài)變量序列長(zhǎng)度，那么混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問題則可以轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題:

為了準(zhǔn)確地辨識(shí)出混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)，估計(jì)算法采用如圖1所示的流程對(duì)估計(jì)值進(jìn)行迭代求精。首先，利用原系統(tǒng)輸出序列X1，X2，…，XM、測(cè)量噪聲~X和待估計(jì)系統(tǒng)輸出序列Y1，Y2，…，YM計(jì)算得到參數(shù)估計(jì)的誤差平方和J(θ)；然后，將J(θ)反饋到估計(jì)算法中用于生成新的估計(jì)值；最后，通過不斷地迭代，使得獲取的估計(jì)值~θ能夠?qū)?yōu)化函數(shù)J最小化。引入ABC算法并提出自適應(yīng)的AABC算法用于混沌系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)，并與其他群優(yōu)化算法進(jìn)行比較，以此驗(yàn)證ABC算法在混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)中的有效性。

圖1 混沌系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)原理圖Fig.1 Parameter estimation model for chaotic systems

2 自適應(yīng)人工蜂群優(yōu)化算法

在AABC算法中，存在著三種不同類型的蜜蜂:雇傭蜂、觀察蜂和偵查蜂。蜂群中一半的蜜蜂為雇傭蜂，而另一半由觀察蜂和偵查蜂組成。雇傭蜂負(fù)責(zé)從先前發(fā)現(xiàn)的食物源處將蜂蜜采集回蜂巢并將食物源質(zhì)量信息傳遞給在蜂巢守候的觀察蜂。在蜂巢等待的觀察蜂根據(jù)雇傭蜂共享的食物源信息決定去哪一個(gè)食物源采蜜。偵查蜂則負(fù)責(zé)在蜂巢附近隨機(jī)地或基于某些外部線索進(jìn)行偵查以尋找新的食物源。在采蜜過程中，蜂群表現(xiàn)如下所示的群體智能行為:

1)在初始階段，蜜蜂在蜂巢附近通過隨機(jī)搜索尋找食物源。

2)在找到一個(gè)食物源后，該蜜蜂成為雇傭蜂并從發(fā)現(xiàn)的食物源處采集蜂蜜。在將蜂蜜采集回蜂巢后，雇傭蜂或直接或跳一段搖擺舞將食物源信息共享給其他蜜蜂后返回食物源。如果雇傭蜂對(duì)應(yīng)的食物源開發(fā)殆盡，該雇傭蜂便成為偵查蜂并開始隨機(jī)地搜索新的食物源。

3)觀察蜂在蜂巢守候并通過觀察雇傭蜂的搖擺舞獲取食物源的相關(guān)信息，根據(jù)每個(gè)搖擺舞的發(fā)生頻率(與食物源的質(zhì)量成正比)選擇一個(gè)高質(zhì)量的食物源而成為采蜜的雇傭蜂。

2.1 初始化階段

AABC算法初始時(shí)每個(gè)雇傭蜂隨機(jī)生成一個(gè)食物源，每個(gè)食物源對(duì)應(yīng)著解空間中的一組可行解，因此雇傭蜂的總數(shù)即為搜索空間的大小。初始解的生成公式為:

其中:i=1，2，…，n，n為雇傭蜂的數(shù)量；j=1，2，…，m，m為待估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)；rand為0～1的隨機(jī)數(shù)；θmjin和θmjax分別表示第j個(gè)參數(shù)θj取值的上下界。此外，ABC算法加入了一個(gè)Trial(i)數(shù)組用于記錄第i組解被嘗試優(yōu)化的次數(shù)，Trial數(shù)組初始時(shí)設(shè)置為0。系統(tǒng)初始化后，雇傭蜂、觀察蜂和偵查蜂開始工作，表示AABC算法進(jìn)入迭代搜索過程，當(dāng)搜索達(dá)到最大搜索次數(shù)MaxGen時(shí)算法結(jié)束。

2.2 雇傭蜂階段

每次迭代搜索時(shí)，雇傭蜂會(huì)修改記憶中的食物源位置，使得本次搜索的食物源鄰近于上次獲取的食物源。在AABC算法中，θi的鄰域解定義為只改變?chǔ)萯中某個(gè)參數(shù)的解:

其中，j∈［1，m］為隨機(jī)選擇的第j個(gè)參數(shù)，θk為隨機(jī)選擇的不同于的第k組解，φ為［-1，1］的隨機(jī)數(shù)。值得注意的是，如果，那么取值為；如果＜，那么θ取值為從式(5)可以看到，隨著和之間差距的縮小，的攝動(dòng)將減小，使得AABC算法中解的更新步長(zhǎng)能夠隨著解空間的不斷優(yōu)化而自適應(yīng)地縮短。的適應(yīng)度為:

2.3 觀察蜂階段

在完成搜索后，雇傭蜂把食物源質(zhì)量信息共享給在蜂巢等待的觀察蜂。觀察蜂收集到所有食物源的質(zhì)量信息后，按照輪盤法選擇一個(gè)食物源作為自身開采蜂蜜的地點(diǎn):

利用式(7)對(duì)食物源進(jìn)行概率性選擇，質(zhì)量越高的食物源將吸引更多觀察蜂前去開采，從而使得解空間能夠更好地得到優(yōu)化。具體地，AABC算法首先生成一個(gè)［0，1］的隨機(jī)數(shù)r，如果r小于p(θi)，那么偵查蜂選擇θi作為食物源；否則偵查蜂繼續(xù)測(cè)試下一個(gè)食物源θi+1。在食物源選定后，該偵查蜂成為雇傭蜂并采用第2.2節(jié)所述的過程更新自身的食物源。

2.4 偵查蜂階段

在雇傭蜂和觀察蜂完成搜索后，AABC算法檢查是否存在開發(fā)殆盡的食物源需要被淘汰。在先前雇傭蜂和觀察蜂的搜索過程中，如果食物源θi持續(xù)不能獲得更新，那么Trial(i)將一直增加。如果雇傭蜂和觀察蜂階段完成后Trial(i)超過食物源的最大利用程度limit，那么該食物源將被認(rèn)為消耗完畢而遭到放棄。此時(shí)，與該食物源對(duì)應(yīng)的雇傭蜂轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹榉涠_始搜索新的食物源——用式(4)生成的隨機(jī)解替換原始解。在基本ABC算法中，每次迭代僅有一個(gè)食物源被認(rèn)為消耗殆盡而需要替換。因此，當(dāng)多只雇傭蜂的Trial值超過limit時(shí)，具有最大Trial值的那只雇傭蜂被選擇為偵查蜂。

基本ABC算法的問題在于高質(zhì)量解由于較長(zhǎng)時(shí)間不能得到優(yōu)化，其Trial值將持續(xù)增加，從而在偵查蜂階段很可能被選擇拋棄掉。雖然基本ABC算法的初衷在于通過這種淘汰機(jī)制跳出局部最優(yōu)解，但也導(dǎo)致精英解無法得到繼承。因此，AABC算法利用目標(biāo)函數(shù)值J(加權(quán)Trial(i):

當(dāng)pTrial(i)最大并且大于limit時(shí)，算法將放棄該食物源。采用式(8)的原因在于采用根號(hào)函數(shù)加權(quán)后，只有在連續(xù)limit次迭代得不到更新的情況下才會(huì)被拋棄，使得θi的開采次數(shù)與其質(zhì)量成正比。值得注意的是，為了折中加權(quán)函數(shù)對(duì)高質(zhì)量食物源和低質(zhì)量食物源的開采，AABC算法選擇三次根號(hào)作為加權(quán)函數(shù)。

3 數(shù)值仿真結(jié)果及分析

以典型的Lorenz混沌系統(tǒng)為例，說明引入的ABC算法和改進(jìn)的AABC算法在混沌系統(tǒng)未知參數(shù)估計(jì)中的有效性。Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

其中:x，y，z為系統(tǒng)狀態(tài)變量；a，b，c為待估計(jì)的參數(shù)。特別地，在一個(gè)兩平衡板間熱對(duì)流的環(huán)流中，x表示流體速度，y和z分別表示水平方向和垂直方向上的溫差；a和c分別與流體的Prandtl數(shù)和Rayleigh數(shù)成比例，b是流體空間水平和垂直方向的特征數(shù)。當(dāng)參數(shù)a=10，b=8/3，c=28時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。數(shù)值仿真采用龍格-庫塔算法求解式(9)，步長(zhǎng)h=0.01。觀測(cè)數(shù)據(jù)采集過程為:先讓Lorenz系統(tǒng)自由演化，在經(jīng)歷暫態(tài)后任意選取一點(diǎn)作為0時(shí)刻，然后以此為起點(diǎn)連續(xù)演化至M步長(zhǎng)時(shí)刻，得到M個(gè)狀態(tài)變量值，仿真實(shí)驗(yàn)取M=300。

將基本ABC算法和改進(jìn)的AABC算法與ACO算法、BBO算法以及PSO算法相比較。在所有算法中，種群大小n=50，迭代次數(shù)MaxGen= 100。ABC算法中l(wèi)imit設(shè)置為5；ACO算法中信息量Q=20，信息啟發(fā)因子α=1，期望啟發(fā)因子β=5，信息素全局殘留系數(shù)ρg=0.9，局部殘留系數(shù)ρ1=0.9；BBO算法中最大遷徙率E=I=1，最大變異率ρm=0.005；在PSO算法中慣性權(quán)重w=0.3，加速因子c1=c2=c3=1。Lorenz混沌系統(tǒng)各參數(shù)的搜索范圍為:9≤a≤11，2≤b≤3和20≤c≤30；搜索精度為10-6。

表1給出了各算法在無噪聲情況下獨(dú)立執(zhí)行20次后得到的最優(yōu)值、最差值和平均值。優(yōu)化函數(shù)J越小，估計(jì)精度越高。從表1中可以看到，基本ABC算法和改進(jìn)的AABC算法在最優(yōu)情況下具有類似的結(jié)果，在估計(jì)精度上這兩種算法的最優(yōu)值、最差值以及平均值都要優(yōu)于其他算法。尤其是AABC算法，在最壞情況下仍然能夠獲得精度很高的估計(jì)值。在平均估計(jì)值上，ABC算法優(yōu)于其他算法一個(gè)數(shù)量級(jí)，AABC算法優(yōu)于基本ABC算法將近20倍。值得注意的是，雖然PSO算法最優(yōu)值的估計(jì)精度最差，但是最差情況和平均情況下卻具有較好的結(jié)果。

圖2顯示了所有算法在各自最優(yōu)情況下目標(biāo)函數(shù)J(θ)的迭代收斂曲線。由于基本ABC算法在解連續(xù)limit次不能提高時(shí)便拋棄該解，雖然這種機(jī)制有利于算法跳出局部最優(yōu)解，卻導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)在迭代過程中劇烈波動(dòng)。其他算法的收斂曲線則呈現(xiàn)出逐步下降的趨勢(shì)。其中，PSO算法在前期具有最快的收斂速度，之后長(zhǎng)時(shí)間陷入局部最優(yōu)解；ACO算法和AABC算法在前期具有顯著的收斂度，在后期收斂速度明顯變慢；BBO算法具有較平穩(wěn)的收斂速度。圖3顯示了待估計(jì)參數(shù)a，b，c的優(yōu)化曲線。從圖3中可以看到，PSO算法和AABC算法在10次迭代內(nèi)即收斂到真實(shí)值附近，而ACO算法和BBO算法在20次左右收斂到真實(shí)值。整體而言，AABC算法具有更加優(yōu)異的全局尋優(yōu)能力。

表1 無噪聲情況下Lorenz系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.1 Results of parameter estimation for Lorenz system without noise

圖2 目標(biāo)函數(shù)J(θ)收斂曲線Fig.2 Convergency curve of object function J(θ)

為了檢驗(yàn)AABC算法在實(shí)際應(yīng)用中的性能，在式(9)的狀態(tài)變量中加入較強(qiáng)的高斯白噪聲，得到式(10)，從而測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)差δ=0.4情況下各種算法的估計(jì)能力。

圖3待估計(jì)參數(shù)a，b，c優(yōu)化曲線Fig.3 Optimization curve of parameters a，b，c

圖4 顯示了所有算法目標(biāo)函數(shù)J(θ)獲得最優(yōu)結(jié)果時(shí)的迭代收斂曲線。從圖4中可以看到，在δ=0.4白噪聲強(qiáng)度下AABC算法和BBO算法具有較好的收斂性，基本ABC算法、ACO算法和PSO算法表現(xiàn)出劇烈的波動(dòng)。圖4中曲線波動(dòng)越小，說明算法的精確度越高。雖然在圖4中，算法迭代前期的最優(yōu)結(jié)果區(qū)別不大，但最終AABC算法的精確度顯著優(yōu)于其他算法，說明AABC算法在實(shí)際應(yīng)用具有噪聲的情況下仍然能夠保持較好的性能。

圖4 δ=0.4時(shí)J(θ)收斂曲線Fig.4 Convergency curve of J(θ)whileδ=0.4

表2給出了高斯白噪聲強(qiáng)度δ=0.4時(shí)，各算法參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)值、最差值和平均值。雖然在最優(yōu)情況下AABC算法、ACO算法和BBO算法具有相近的精確度，但是在最壞情況和平均情況下AABC算法具有1～2個(gè)數(shù)量級(jí)的優(yōu)勢(shì)，表明了AABC算法具有較強(qiáng)的魯棒性。

表2 噪聲強(qiáng)度δ=0.4時(shí)Lorenz系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.2 Results of parameter estimation for Lorenz system whileδ=0.4

4 結(jié)論

將混沌系統(tǒng)未知參數(shù)估計(jì)問題形式化為一個(gè)多維變量的數(shù)值優(yōu)化問題，將人工蜂群優(yōu)化算法引入到該問題的求解中并針對(duì)基本蜂群優(yōu)化算法的不足提出改進(jìn)的人工蜂群優(yōu)化算法AABC。新算法根據(jù)種群優(yōu)化程度選擇更新步長(zhǎng)，基于解的優(yōu)異程度設(shè)置解的嘗試次數(shù)，實(shí)現(xiàn)了算法迭代過程中的自適應(yīng)優(yōu)化。以Lorenz混沌系統(tǒng)為例進(jìn)行的仿真實(shí)驗(yàn)表明，在無噪聲和較大強(qiáng)度高斯白噪聲情況下，AABC算法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果均優(yōu)于基本ABC，ACO，BBO和PSO算法，同時(shí)AABC算法在迭代過程中也表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。

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Adaptive artificial bee colony optim ization for parameter estimation of chaotic systems

REN Kaijun，DENGKefeng，LIU Shaowei，SONG Junqiang
(Academy of Ocean Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

In order to accurately estimate the unknown parameters for chaotic systems，the artificial bee colony optimization algorithm was improved，and an adaptive artificial bee colony optimization algorithm was proposed.The proposed method formatted the problem of parameter estimation for chaotic systems to amultidimensional variable optimization problem，and used the artificial bee colony optimization algorithm to search the unknown parameters in a guided random manner.During the search process，themethod adaptively adjusted the step size and the solution trial limits based on the optimum degree of the population and the quality of the solutions.The numerical simulation on the classic Lorenz chaotic system demonstrates that the proposed method is robust and can obtain accurate estimation for chaotic systems without noise or with intensive noise.

chaotic system；parameter estimation；artificial bee colony；numerical optimization

O302

A

1001-2486(2015)05-135-06

10.11887/j.cn.201505021

http://journal.nudt.edu.cn

2015-07-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61572510)；國(guó)家公益行業(yè)專項(xiàng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(GYHY201306003)

任開軍(1975—)，男，重慶人，副研究員，博士，E-mail:renkaijun@nudt.edu.cn