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        拋物線及其性質(zhì)

        2015-03-31 13:52:58周佳
        關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線中點(diǎn)交點(diǎn)

        周佳

        應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決一些與拋物線有關(guān)的問題,如已知拋物線的某些性質(zhì),求拋物線的方程;以及求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)等是一個(gè)難點(diǎn)也是重點(diǎn),本文旨在歸納相關(guān)性質(zhì)及相關(guān)例題.

        重點(diǎn)難點(diǎn)

        重點(diǎn):(1)利用定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,與拋物線有關(guān)的焦半徑問題及最值;(2)利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)處理有關(guān)焦點(diǎn)弦的問題;(3)聯(lián)立直線與拋物線的方程,設(shè)而不求,解決直線與拋物線的綜合問題.

        難點(diǎn):涉及拋物線的定義,直線和拋物線的位置關(guān)系,切線問題,軌跡問題,最值問題,參數(shù)范圍問題,定點(diǎn)、定值問題,面積與弦長(zhǎng)問題,向量的共線、垂直、夾角等問題,考題大都比較難.

        方法突破

        拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用,“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”,許多拋物線的問題可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解. “由數(shù)想到形,由形想到數(shù)”,數(shù)形結(jié)合是靈活解題的一條捷徑. 解決直線與拋物線的綜合問題,要注意運(yùn)用韋達(dá)定理,通過“設(shè)而不求”的方法求解. 拋物線的切線問題,注意與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系,利用導(dǎo)數(shù)求解. 有關(guān)焦點(diǎn)弦問題要注意焦點(diǎn)弦的性質(zhì).

        拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì):

        (1)焦點(diǎn)坐標(biāo)F,0,離心率e=1,準(zhǔn)線方程x=-.

        (2)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

        (3)焦半徑:①M(fèi)F=x0+,其中M(x0,y0);②過拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑FP的端點(diǎn)P作拋物線的切線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,則FP⊥FQ.

        (4)若過y2=2px的焦點(diǎn)F的直線與其有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則

        ①x1·x2=,y1·y2=-p2;

        ②焦點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)AB=x1+x2+p;

        ③設(shè)直線AB的傾斜角為α,則有AB==2p(k為直線AB的斜率,且斜率存在),特別地,當(dāng)α=90°時(shí),AB為拋物線的通徑,且AB=2p;

        ④以AB為直徑的圓與拋物線的位置關(guān)系為相切;

        ⑤A在準(zhǔn)線上的射影為A1,B在準(zhǔn)線上的射影為B1,則∠A1FB1=90°;

        ⑥+=;

        ⑦若=λ(λ>1),則cosα=(α為直線AB的傾斜角).

        (5)直線l與拋物線y2=2px(p>0)有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若⊥,則直線l過定點(diǎn)(2p,0).

        (6)拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,焦點(diǎn)弦所在直線(傾斜角為θ)與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)A,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B(線段AF外的交點(diǎn)),若=λ,則cosθ=.

        (7)弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)差法:

        ①若直線l:y=kx+b與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則AB=.

        ②若直線l:y=kx+b與拋物線C:y2=2px交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且M(x0,y0)為A,B的中點(diǎn),則kAB=.

        典例精講

        例1 如圖1,拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),交準(zhǔn)線于C點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上方,AK⊥l,垂足為K,若BC=2BF,且AF=4,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        思索 要求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即要求p,而p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離. 本題涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,抓住拋物線的定義,將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是本題解題的關(guān)鍵.

        破解 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),其中y1>0. 由點(diǎn)B作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足為B1,則可得BF=BB1. 又由已知CB=2FB,所以CB=2BB1,cos∠CBB1==,∠CBB1=,即直線AB與x軸的夾角為. 又已知AF=AK=4,AC=2AK=8,所以F為AC的中點(diǎn),所以p==2,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

        例2 已知過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),=3,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_____.

        思索 利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式AB=x1+x2+p=,焦點(diǎn)弦的性質(zhì)+=,問題便可迎刃而解.

        破解1 設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),聯(lián)立方程:y=k(x-1),y2=4x?圯k2x2-(2k2+4)x+k2=0. A(x1,y1),B(x2,y2),x1·x2=1,=3?圯1-x1=3(x2-1)?圯x1=4-3x2,(4-3x2)·x2=1?圯3x-4x2+1=0?圯x2=1,x1=1(舍)或x2=,x1=3,AB=x1+x2+p=,AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

        破解2 +=?圯+=1?圯BF=,AF=,AB=,所以AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

        例3 (1)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A,4,則PA+PM的最小值是_______.

        (2)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)B(2,1),則PF+PB的最小值是_______,此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為_______.

        (3)已知拋物線的方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為_______.

        思索 (1)該題是求拋物線上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與到定點(diǎn)的距離之和的最小值;(2)該題是求拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)的距離之和的最小值;(3)該題是求拋物線上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與到定直線的距離之和的最小值. 上面這三種題型是考查拋物線的定義與性質(zhì)的常見題. 解決問題主要利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線,到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化到焦點(diǎn),到坐標(biāo)軸的距離先轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線再轉(zhuǎn)化到焦點(diǎn),最后結(jié)合拋物線的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求出最值及點(diǎn)的坐標(biāo).endprint

        破解 (1)注意到點(diǎn)A在拋物線外,設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),則PF=d,PM=d-=PF-,PA+PM=PA+PF-≥AF-=.

        (2)注意到B(2,1)在拋物線內(nèi),設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為d′,則PF=d,PF+PB≥d+PB≥d′=,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,1.

        (3)設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,F(xiàn)到l的距離為d′,則d1=d-1,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),PF=d,d1+d2=PF+d2-1≥d′-1=-1.

        例4 如圖2,已知直線l:y=kx-2與拋物線C:x2=-2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),+=(-4,-12).

        (1)求直線l和拋物線C的方程;

        (2)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí),求△ABP面積的最大值.

        思索 (1)由已知條件+=(-4,-12)易求得直線l的方程,再由點(diǎn)差法即可求得拋物線C的方程.

        (2)因?yàn)榫€段AB的長(zhǎng)度為定值,所以只要求點(diǎn)P到直線AB的最大值即可,原問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離.

        破解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則x0==-2,y0==-6,代入直線l:y=kx-2,得k=2. 由點(diǎn)差法,得k=-,p=1. 所以直線l的方程為y=2x-2,拋物線C的方程為x2=-2y.

        (2)設(shè)P(x0,y0),依題意,拋物線過點(diǎn)P的切線與l平行時(shí),△ABP的面積最大. 又y′=-x,所以-x0=2?圯x0= -2,y0=-x20=-2,所以P(-2,-2).

        此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離d===.

        由y=2x-2,x2=-2y得x2+4x-4=0,AB=·=·=4. 所以△ABP的面積的最大值為×4×=8.

        變式練習(xí)

        1. (2014年高考遼寧卷)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為( )

        A. B. C. D.

        2. (2014年高考新課標(biāo)卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn). 若=4,則等于( )

        A. B. 3 C. D. 2

        3. (2014年高考新課標(biāo)卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為( )

        A. B.

        C. D.

        4. 設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),又知點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn),則AF+BF的值是_____.

        5. (2014年高考湖南卷)如圖3,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F(xiàn)兩點(diǎn),則=________.

        圖3

        6. (2014年高考全國(guó)卷)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且QF=PQ.

        (1)求C的方程;

        (2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l′與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.

        參考答案

        1. D 2. B 3. D

        4. 6 5. 1+

        6. (1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px,得x0=,所以PQ=,QF=+x0=+. 由題設(shè)得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程為y2=4x.

        (2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0). 代入y2=4x,得y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4. 故線段AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),AB=y1-y2=4(m2+1).

        又直線l′的斜率為-m,所以l′的方程為x=-y+2m2+3. 將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

        設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3),故線段MN的中點(diǎn)為E+2m2+3,-,MN=·y3-y=.

        由于線段MN垂直平分線段AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于AE=BE=MN. 從而AB2+DE2=MN2,即4(m2+1)2+2m+2++22=,化簡(jiǎn)得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 故所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

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