張宗佩，萬 剛，曹雪峰，李 鋒，劉 婧

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450052)

一、引 言

1959年前蘇聯(lián)發(fā)射的月球1號“夢想”成功進(jìn)行近月飛行，標(biāo)志著人類對月球探測活動的開始。自此之后，前蘇聯(lián)、美國競相發(fā)射幾十顆月球探測衛(wèi)星，2004年我國也啟動探月計劃，目前已發(fā)射3顆對月探測衛(wèi)星。人類的足跡早已涉足整個地月空間，地月空間中存在各種物質(zhì)、現(xiàn)象，其對人類探月活動都有一定程度的影響。然而，目前缺乏一個統(tǒng)一的時空數(shù)據(jù)組織方法表達(dá)地月空間中存在的物質(zhì)、現(xiàn)象及探月衛(wèi)星運動過程。本文基于地球圈層空間立體網(wǎng)格理論［1］建立地球、月球圈層空間立體網(wǎng)格之間的聯(lián)系，將地月立體空間統(tǒng)一到一個時空數(shù)據(jù)組織模型中，著重研究地月圈層空間立體網(wǎng)格基準(zhǔn)面選擇、編碼轉(zhuǎn)換及其涉及的地月空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法和時間基準(zhǔn)，為在地月立體空間內(nèi)統(tǒng)一描述各種實體屬性、過程、現(xiàn)象建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型。

地月空間立體網(wǎng)格是地球圈層空間立體網(wǎng)格衍生出的新概念，是地球和月球圈層空間立體網(wǎng)格的結(jié)合體，整體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其具有不同于地球、月球圈層空間立體網(wǎng)格的特性。地月圈層空間立體網(wǎng)格新特性有:

1)地球圈層空間立體網(wǎng)格覆蓋月球立體空間邊界。

2)月球圈層空間立體網(wǎng)格嵌套于地球圈層空間立體網(wǎng)格。

3)地球、月球圈層空間立體網(wǎng)格分別隨地球、月球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)。

圖1 地月圈層空間立體網(wǎng)格整體結(jié)構(gòu)

二、地月圈層空間立體網(wǎng)格時空基準(zhǔn)

地球、月球都在不停地自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)，為了準(zhǔn)確描述地月立體空間中各種時空現(xiàn)象，需要明確建立地月圈層空間立體網(wǎng)格及其時間和空間基準(zhǔn)。

1．時空基準(zhǔn)

時間和坐標(biāo)是描述空間運動的基礎(chǔ)要素，為了準(zhǔn)確描述任何地月立體空間中物質(zhì)、現(xiàn)象及運動，必須明確其運動的時間基準(zhǔn)、空間坐標(biāo)的基準(zhǔn)。

(1)時間基準(zhǔn)

地月立體空間內(nèi)存在的活動對時間的精度要求很高，目前常用的時間系統(tǒng)［2-3］包括恒星時系統(tǒng)、太陽時系統(tǒng)、世界時、原子時、協(xié)調(diào)世界時和力學(xué)時。不同的時間系統(tǒng)對單位時間的定義不同，應(yīng)用范圍也各不相同。

文中為了統(tǒng)一描述時間軸上地球、月球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運動變化過程，以IAU建議的J2000．0(2 451 545．0)為初始時刻，即地球動力學(xué)時(TDB)2000年1月1日11:59:27．816，以儒略歷元記錄時間軸信息，基本時間單位為儒略日。

(2)空間基準(zhǔn)

為了仿真地月立體空間中各種要素，必須建立準(zhǔn)確的空間基準(zhǔn)，即天球坐標(biāo)系。地月立體空間中常用天球坐標(biāo)系包括地心天體坐標(biāo)系、地心地球天球坐標(biāo)系、月心月球天球坐標(biāo)系、月心月球赤道坐標(biāo)系和月固坐標(biāo)系［2］，坐標(biāo)系定義見表1。

表1 5種坐標(biāo)系定義［2］

地心天體坐標(biāo)系和月固坐標(biāo)系都是隨著星體自轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系，是建立地月圈層空間立體網(wǎng)格的空間坐標(biāo)基準(zhǔn);而地心地球天球坐標(biāo)系、月心月球天球和赤道坐標(biāo)系是建立前兩種坐標(biāo)系間聯(lián)系的中介。

2．地月空間坐標(biāo)變換關(guān)系

為了在地月圈層空間立體網(wǎng)格內(nèi)準(zhǔn)確描述空間實體、空間現(xiàn)象，必須明確5種坐標(biāo)系間變換關(guān)系。為了保證計算精度需求，采用IAU建議的旋轉(zhuǎn)參數(shù)實現(xiàn)坐標(biāo)系之間旋轉(zhuǎn)變換［4］，采用VSOP87歷表計算的行星位置實現(xiàn)坐標(biāo)系之間平移變換，從而實現(xiàn)5種坐標(biāo)系間坐標(biāo)變換。IAU以國際天球參考架ICRF［3，5］作為基準(zhǔn)，文獻(xiàn)［4］中指出ICRF和J2000地心天球平赤道坐標(biāo)系(即表1中地心地球天球坐標(biāo)系)只存在小于1角秒的旋轉(zhuǎn)偏差，因此文中采用后者作為IAU旋轉(zhuǎn)的參考基準(zhǔn)，如圖2所示。記J2000．0時刻為t0，當(dāng)前時刻為t。在IAU參考基準(zhǔn)中行星北極點P(α0，δ0)，其中α0為赤經(jīng)，δ0為赤緯，Q為行星赤道與參考基準(zhǔn)赤道交點，其赤經(jīng)為90°+α0，B為行星本初子午線與赤道交點，W表示QB之間旋轉(zhuǎn)角度，行星赤道與參考基準(zhǔn)赤道夾角為90°－δ0。

圖2 行星旋轉(zhuǎn)參數(shù)的參考框架示意圖(IAU)

(1)地心天體與地心天球坐標(biāo)變換

根據(jù)IAU提供的地球旋轉(zhuǎn)參數(shù)α0、δ0、W，其參數(shù)實際數(shù)學(xué)含義如下

式中，d為相對于初始時刻t0的儒略日差值，即d=t－t0;T為相對于初始時刻t0的儒略世紀(jì)數(shù)，即T=d/36 525，單位為度。根據(jù)旋轉(zhuǎn)參數(shù)可計算地心天體到地心天球坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣ME為

通過旋轉(zhuǎn)矩陣ME可實現(xiàn)地心天體坐標(biāo)系到地心天球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，同理可計算地心天球坐標(biāo)系到地心天體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣M－1E。

(2)地心地球天球與月心月球天球坐標(biāo)變換

從表1中可發(fā)現(xiàn)月心月球天球坐標(biāo)系與地心地球天球坐標(biāo)系兩者坐標(biāo)軸朝向定義一致，只有坐標(biāo)原點不同。根據(jù)VSOP87歷表可計算當(dāng)前時刻t月心在地心天球坐標(biāo)系中的位置為(Xt，Yt，Zt)，由于月心月球天球坐標(biāo)系是由地心天球坐標(biāo)系平移得到的，因此兩者之間只存在一個平移向量

(3)月心天球與月固坐標(biāo)變換

由于月心天球坐標(biāo)系與地心天球坐標(biāo)系僅坐標(biāo)原點定義不同，且與月固坐標(biāo)之間僅存在旋轉(zhuǎn)變換，因此IAU提供的旋轉(zhuǎn)模型可采用月心月球天球坐標(biāo)系作為月球旋轉(zhuǎn)模型的基準(zhǔn)坐標(biāo)系。

根據(jù)IAU提供的月球旋轉(zhuǎn)參數(shù)α0、δ0、W，其數(shù)學(xué)含義如下

式中，E1=125°．045－0．052 992 1d，d和T含義同式(1)，完整公式和參數(shù)En(n=2，…，13)數(shù)學(xué)含義詳見文獻(xiàn)［5］。

因此，從月固坐標(biāo)到月心月球天球坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣ML為

同理，可計算得到從月心月球天球坐標(biāo)到月固坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)矩陣M－1L。

三、地月圈層空間立體網(wǎng)格和編碼轉(zhuǎn)換技術(shù)

針對地月圈層空間立體網(wǎng)格新特性，不難發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的地球、月球圈層空間立體網(wǎng)格理論已難以滿足其新需求。需要借助于建立的時空基準(zhǔn)和現(xiàn)有的地球、月球圈層空間立體網(wǎng)格理論，滿足地月圈層空間立體網(wǎng)格的新需求。

1．地月圈層空間立體網(wǎng)格基準(zhǔn)圈層面

地月圈層空間立體網(wǎng)格是地球圈層空間立體網(wǎng)格［1］和月球圈層空間立體網(wǎng)格［6］的結(jié)合體。文獻(xiàn)［1］給出地球的各個層次的基準(zhǔn)圈層面(BSS)和基于基準(zhǔn)圈層面的網(wǎng)格剖分方法。由于地月圈層空間立體網(wǎng)格的新特性要求和圈層空間立體網(wǎng)格可拓展特性，可拓展地球、月球的BSS，各層次BSS距離地心、月心的徑向距離見表2。

表2 地球、月球基準(zhǔn)圈層面

表2中地球半徑Re=6 378．137 km，月球半徑RL=1 734．0 km，—符號表示無數(shù)據(jù)。地球圈層空間外圍邊界達(dá)到72Re，即459 225．864 km，地月之間距離約為380 000 km，滿足地月圈層空間立體網(wǎng)格新特性;月球圈層空間外圍邊界達(dá)到16RL，即27 744 km，可滿足探月衛(wèi)星等航天活動應(yīng)用需求。

2．地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換模型

在地球或月球圈層立體空間內(nèi)存在的實體、現(xiàn)象及其過程，若其僅在地球圈層立體空間內(nèi)，則只需通過地球圈層空間立體網(wǎng)格編碼進(jìn)行描述表達(dá);若其存在于地球和月球兩個圈層立體空間內(nèi)，則需要根據(jù)實際應(yīng)用采用地球或月球圈層空間立體網(wǎng)格編碼進(jìn)行描述表達(dá)，避免在不同網(wǎng)格中進(jìn)行操作。因此，必須對地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換進(jìn)行研究。

地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換整體流程如圖3所示。以地球圈層網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換到月球圈層網(wǎng)格編碼為例論述編碼轉(zhuǎn)換流程:

1)根據(jù)地球圈層網(wǎng)格編碼、Hilbert解碼算法［6］和地球地理坐標(biāo)與網(wǎng)格編碼對應(yīng)關(guān)系［1］，計算圈層網(wǎng)格單元(記為圈體)左下角點P在當(dāng)前時刻t的地心天體坐標(biāo)(Xe，Ye，Ze)。

圖3 地月圈層空間立體編碼轉(zhuǎn)換流程

2)通過第二章第2節(jié)給出的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、平移變換，計算點P在月固坐標(biāo)系中坐標(biāo)(XL，YL，ZL)，即

3)根據(jù)月固坐標(biāo)與月球網(wǎng)格編碼對應(yīng)關(guān)系、Hilbert編碼算法［6］，可計算得出點P對應(yīng)的月球圈層空間立體網(wǎng)格編碼。

同理，可實現(xiàn)從月球圈層網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換到地球圈層網(wǎng)格編碼，從而建立地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換模型。

3．地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換方法

地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換最重要的是確定轉(zhuǎn)換后的剖分層次，因此，在進(jìn)行地球、月球圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換時，必須明確采用什么準(zhǔn)則確定轉(zhuǎn)換后編碼的剖分層次。文中提出3種準(zhǔn)則進(jìn)行地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換，分別是等角度、等徑向間距和等體積，并對以3種準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換前后的圈體單元粒度和轉(zhuǎn)換效率進(jìn)行分析。

(1)等角度準(zhǔn)則

等角度是指轉(zhuǎn)換前圈體單元對應(yīng)的球心角等于轉(zhuǎn)換后圈體單元對應(yīng)的球心角。根據(jù)地球、月球圈層空間立體網(wǎng)格剖分原理可知，保證相同的球心角等價于相同的剖分等級。因此，只要給出轉(zhuǎn)換前圈體編碼，就能確定轉(zhuǎn)換后剖分等級，從而計算出轉(zhuǎn)換后圈體編碼。

由于地月之間距離大約為380 000 km，則僅在地球5-BSS和6-BSS之間的圈層體(最外層圈層體)才可能存在于月球圈層網(wǎng)格重疊的區(qū)域。月球圈層體最小徑向間距為1000 km，地球最外層圈層體徑向間距為40Re，轉(zhuǎn)換前后徑向間距比約為1∶255，則體積比約為1∶2553，空間粒度差距懸殊，但轉(zhuǎn)換效率高。

(2)等徑向間距準(zhǔn)則

等徑向間距是指轉(zhuǎn)換前后的圈體單元在徑向方向上間距相等，即

式中，ΔRL為月球圈層體徑向間距;LevelL為月球剖分等級;ΔRE為地球圈層體徑向間距;LevelE為地球剖分等級。將圈體單元近似抽象為一個長方體單元，根據(jù)體積解算公式，可得出轉(zhuǎn)換前后地月圈體單元最小體積比約為1∶200。采用等徑向間距準(zhǔn)則進(jìn)行編碼轉(zhuǎn)換，空間粒度差距較小，運算效率相比于等角度要低。

(3)等體積準(zhǔn)則

等體積是指轉(zhuǎn)換前后圈體單元的體積相等，即保持基本一致的空間粒度。為了便于計算，將圈格單元(如圖4所示)簡化為一個長方體，根據(jù)圈層網(wǎng)格剖分規(guī)則，得到近似等式為

式中，rE、rL分別為圈體單元左下角點與地心、月心的距離。由于sin 1/x與1/x正比的特性，將式(8)簡化為

通過式(9)可利用近似等體積特性求解轉(zhuǎn)換后圈層空間立體網(wǎng)格的近似剖分等級，從而實現(xiàn)地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換。此方法基本能實現(xiàn)空間粒度不變，但運算復(fù)雜，效率相較于前兩者都低。

圖4 圈格單元幾何結(jié)構(gòu)

四、試驗與分析

根據(jù)地月圈層空間立體網(wǎng)格的時空基準(zhǔn)和地月圈層空間立體網(wǎng)格剖分、編碼算法，構(gòu)建隨時間繞太陽公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)的地月圈層空間立體網(wǎng)格，如圖5所示。

圖5 地月圈層空間立體網(wǎng)格

采用C語言實現(xiàn)3種轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則下地月圈層空間立體網(wǎng)格編碼轉(zhuǎn)換算法，試驗平臺為Intel i5-4200M 2．5 GHz CPU、4 GB內(nèi)存。計算10 000次從月球圈層空間立體網(wǎng)格編碼到地球圈層空間立體網(wǎng)格編碼消耗的時間，如圖6所示。從圖中可看出，3種轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則效率從高到低依次為等角度、等徑向間距、等體積。

圖6 3種轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換效率對比

五、結(jié)束語

本文詳細(xì)論述了地月圈層空間立體網(wǎng)格所需時間基準(zhǔn)和空間基準(zhǔn)，并對地月空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換進(jìn)行了深入研究，分析了地月圈層空間立體網(wǎng)格新特性，建立了地月圈層空間立體網(wǎng)格和編碼轉(zhuǎn)換模型，并分析比較了3種不同準(zhǔn)則下編碼轉(zhuǎn)換效率和空間粒度變化情況。

［1］ 曹雪峰．地球圈層空間網(wǎng)格理論與算法研究［D］．鄭州:信息工程大學(xué)，2012．

［2］ 馬高峰．地月參考系及其轉(zhuǎn)換研究［D］．鄭州:信息工程大學(xué)，2005．

［3］ KOVALEVSKY J，SEIDELMANN P K．Fundamentals of Astrometry［M］．Cambrige:Cambrige University Press，2004．

［4］ ARCHINAL B A，A’HEARN M F，BOWELL E，et al．Report of the IAU Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Elements:2009［J］．Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2011(109):101-135．

［5］ PETIT G，LUZUM B．IERSTechnical Note No．36［R］．Frankfurt:IERSConventions，2010．

［6］ 李晨陽，張楊，馮玉才．N維Hilbert編碼的計算［J］．計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2006，18(7):1032-1038．

［7］ 韓陽，萬剛，曹雪峰．混合式全球網(wǎng)格劃分方法及編碼研究［J］．測繪科學(xué)，2009，34(2):136-138．

［8］ 吳立新，余接情．基于球體退化八叉樹的全球三維網(wǎng)格與變形特征［J］．地理與地理信息科學(xué)，2009，25(1):1-4．

［9］ MOKBEL F，AREFWG，KAMEL L．Analysis of Multidimensional Space-filling Curves［J］．GeoInformatica，2003，7(3):179-209．

［10］ 余接情，吳立新．球體退化八叉樹網(wǎng)格編碼與解碼研究［J］．地理與地理信息科學(xué)，2009，25(1):5-9．

［11］ 蔣秉川，游熊，夏青．一種基于體素的三維地形可視化方法研究［J］．測繪通報，2013(3):46-49．