劉會濤 邢孟道保 錚

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國防科技重點實驗室 西安 710071）

利用L L∞+1范數(shù)的多基線相位解纏繞方法

劉會濤 邢孟道*保 錚

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國防科技重點實驗室 西安 710071）

多基線相位解纏繞問題可以轉(zhuǎn)化為求解L1范數(shù)優(yōu)化問題的最優(yōu)解，然而L1范數(shù)多基線相位解纏繞算法存在內(nèi)存需求量大的問題，且對噪聲嚴(yán)重的干涉相位圖處理效果不理想。為了減少用線性規(guī)劃算法解L1范數(shù)多基線相位解纏繞時內(nèi)存需求較大的問題，該文提出用L∞范數(shù)的懲罰函數(shù)來近似L1范數(shù)的懲罰函數(shù)以減少優(yōu)化模型中優(yōu)化變量的大小，從而將多基線相位解纏繞模型其目標(biāo)函數(shù)變?yōu)長∞范數(shù)+L1范數(shù)的形式，并且優(yōu)化變量的大小減少了約57%。最后，通過一個噪聲嚴(yán)重的實測數(shù)據(jù)對該文算法進(jìn)行了驗證，實驗結(jié)果表明，該文提出的方法不僅可以有效地解纏繞質(zhì)量較好的條紋圖，同時對噪聲嚴(yán)重區(qū)還具有一定的濾波效果。

干涉合成孔徑雷達(dá)；多基線；相位解纏繞；L1范數(shù)；L∞+ L1范數(shù)

1 引言

相位解纏繞技術(shù)是干涉合成孔徑雷達(dá)（Interferometric SAR， InSAR）完成3維地形測繪的最重要的圖像處理技術(shù)，其目的是從纏繞相位中恢復(fù)出纏繞前的相位，即絕對相位。在過去的幾十年中，研究者們提出了很多求解方法，這些算法基本可以被分為兩類：基于路徑跟蹤的方法和基于優(yōu)化問題的方法。然而所有的單基線相位解纏繞方法都以相位連續(xù)性假設(shè)為前提。不同于單基線相位解纏繞方法，多基線相位解纏繞方法可以利用干涉相位圖的基線多樣性來實現(xiàn)相位解纏繞。理論上，只要基線長度比是無理數(shù)，根據(jù)中國余數(shù)定理（Chinese Remainder Theorem， CRT），解纏繞相位可以很容易地計算得來［13］-。但是由于CRT算法的噪聲魯棒性較差，傳統(tǒng)的基于CRT算法的多基線相位解纏繞算法不能實現(xiàn)相位解纏繞。因此對基于CRT算法的多基線相位解纏繞算法的研究主要集中在以下幾個方面：首先，為了使傳統(tǒng)的基于CRT算法的多基線相位解纏繞方法能夠應(yīng)用于實際問題，一些研究者提出了噪聲魯棒性的增強CRT算法。文獻(xiàn)［4］改進(jìn)了傳統(tǒng)的CRT算法并提出了具有閉式解的魯棒性增強的CRT算法。其次，通過聚類算法降低數(shù)據(jù)的噪聲進(jìn)而提高基于傳統(tǒng)CRT算法的多基線相位解纏繞算法的噪聲魯棒性。文獻(xiàn)［5］通過將具有相同模糊數(shù)向量的像素聚為一個類，并取類內(nèi)所有像素對應(yīng)的截距值的高頻值從而降低噪聲的影響，進(jìn)而將類內(nèi)所有像素作為一個整體再利用傳統(tǒng)CRT方法進(jìn)行相位解纏繞（聚類分析算法（Cluster-Analysis-based algorithm， CA）），其中，文獻(xiàn)［6］改進(jìn)了CA算法中的聚類分析的直方圖包絡(luò)波峰選取策略。文獻(xiàn)［7］根據(jù)多基線中的截距數(shù)據(jù)的密度信息來提高聚類的精確度進(jìn)而提高基于傳統(tǒng)CRT方法的多基線相位解纏繞算法的噪聲魯棒性（老人星算法（Cluster-Analysis based Noise Robust Phase-Unw rapping A lgorithm， CANOPUS））。將聚類方法與魯棒性增強的CRT算法相結(jié)合，從而可以在兩方面提高傳統(tǒng)CRT算法的噪聲魯棒性［8］。除基于CRT算法的多基線相位解纏繞算法外，研究學(xué)者還提出了一些基于統(tǒng)計信號處理的多基線相位解纏繞算法。文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］提出基于馬爾科夫隨機場（Markov Random Fields （MRFs））的多基線相位解纏繞算法的最大后驗估計（Maximum A Posteriori（MAP） estim ation）的實現(xiàn)方法和其改進(jìn)算法；文獻(xiàn)［11］和文獻(xiàn)［12］提出了基于最大似然估計（Maximum Likelihood （ML） estimation）和基于相位梯度的ML方法來實現(xiàn)多基線相位解纏繞；文獻(xiàn)［13］結(jié)合CA算法中的聚類分析的思想提出了一種改進(jìn)的基于最大似然估計方法。除此之外，文獻(xiàn)［14］將多基線相位解纏繞問題簡化為1L范數(shù)的優(yōu)化問題并提出了用線性規(guī)劃思想解決多基線相位解纏繞問題。本文針對傳統(tǒng)的1

L范數(shù)的多基線相位解纏繞方法內(nèi)存需求較大的問題，提出用L∞范數(shù)的懲罰函數(shù)近似1L范數(shù)的懲罰函數(shù)從而使優(yōu)化變量的維度降低約57%，進(jìn)而降低了算法的內(nèi)存需求，并且提高了算法的運算速度。

本文首先回顧了1L范數(shù)的多基線InSAR相位解纏繞算法，并通過傳統(tǒng)1L范數(shù)算法優(yōu)化變量的維度說明了該算法內(nèi)存需求較大的原因，在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)算法以使相位解纏繞算法占用更小的內(nèi)存，并且能夠處理噪聲非常嚴(yán)重的數(shù)據(jù)，最后通過實測數(shù)據(jù)實驗驗證本文提出的改進(jìn)的聚類方法的有效性。

2 L L∞+1范數(shù)多基線相位解纏繞算法

對于單基線相位解纏繞技術(shù)來說，解纏繞相位首先要滿足纏繞相位和絕對相位之間的關(guān)系［15］，即

其中，φ， φ分別為絕對相位和纏繞相位，k為模糊數(shù)。然而，滿足此約束條件的解纏繞相位存在無窮多個；為了確定哪些解纏繞相位是符合實際地形要求的，人們引進(jìn)了像素之間的限制條件，即：假設(shè)相鄰像素間的絕對相位變化小于等于π，這就是所謂的相位連續(xù)性假設(shè)。在此條件下，絕對相位差可以通過纏繞相位差估計得來［16］。

其中，Δφ（i）表示相鄰的第i個像素和第i+1個像素間的絕對相位差。在相位連續(xù)性假設(shè)成立的條件下，相位解纏繞可以通過對相鄰像素的絕對相位梯度差進(jìn)行積分獲得。然而，當(dāng)測繪地形劇烈變化時，相位連續(xù)性假設(shè)很有可能不再滿足。解決此問題的一種辦法是通過優(yōu)化方法求使不滿足相位連續(xù)性假設(shè)的像素數(shù)量最少時的解纏繞相位，即

其中，i和j分別表示沿x和y方向做相鄰相位差，ωx和ωy為沿x和y方向的加權(quán)系數(shù)。然而，文獻(xiàn)［17］已證明該優(yōu)化問題是一個NP難問題（NP-hard Problem， NP-hard）。因此，為了快速實現(xiàn)相位解纏繞，人們提出了用L1-norm優(yōu)化問題來近似求解式（3）所述的優(yōu)化問題［18］。相應(yīng)的優(yōu)化模型變?yōu)?/p>

為了克服單基線相位解纏繞算法對相位連續(xù)性假設(shè)的依賴，人們提出用多基線來實現(xiàn)相位解纏繞。相對于單基線相位解纏繞的模型，多基線相位解纏繞的模型不僅需要每幅干涉相位圖像素之間的約束關(guān)系，還需要增加干涉相位圖之間的約束關(guān)系。以雙基線為例，其約束關(guān)系可以表示為

其中，b為基線長度，下標(biāo)1和下標(biāo)2代表不同的干涉相位圖。與單基線相位解纏繞算法相比，多基線相位解纏繞算法需要考慮式（5）所示的約束條件，以雙基線為例，其相位解纏繞模型變?yōu)椋?4］

其中，t1≥ 0， t2≥ 0； i和i+1， j和j+1表示干涉相位圖中沿x和y方向相鄰的兩個像素，k表示干涉相位圖中的像素。該模型可以被簡化為

針對L1范數(shù)多基線相位解纏繞算法內(nèi)存需求巨大的問題，本文提出用L∞范數(shù)的懲罰函數(shù)近似L1范數(shù)的懲罰函數(shù)以減少變量個數(shù)。具體來說就是在保留不同干涉相位圖之間的約束條件對應(yīng)的L1范數(shù)的懲罰函數(shù)的前提下，對相鄰像素之間的約束條件用L∞范數(shù)的懲罰函數(shù)近似L1范數(shù)的懲罰函數(shù)。對于同一個優(yōu)化問題而言，L1范數(shù)的懲罰函數(shù)的數(shù)學(xué)意義是使優(yōu)化變量絕對和最小，而L∞范數(shù)懲罰函數(shù)是使優(yōu)化變量中變量的最大值最小，此時優(yōu)化變量中的所有變量均被迫趨向于0，這與L1范數(shù)的使絕對值之和最小有異曲同工之妙。因此可以用L∞范數(shù)的懲罰函數(shù)近似L1范數(shù)的懲罰函數(shù)?？紤]本文提出的改進(jìn)措施之后，新的優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)長∞范數(shù)+L1范數(shù)的形式。即改進(jìn)后的優(yōu)化模型變?yōu)?/p>

其中，式（9）所示的優(yōu)化模型中，目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性，因此改進(jìn)后的優(yōu)化模型仍然可以使用線性規(guī)劃算法高效求解，且改進(jìn)后的優(yōu)化模型中優(yōu)化變量的大小約為3MN。與式（7）所示的優(yōu)化模型中的優(yōu)化變量相比，改進(jìn)后的優(yōu)化變量的大小減少了約57%，進(jìn)而在用線性規(guī)劃算法求解式（9）的最優(yōu)解時能極大程度降低其對內(nèi)存的需求。除此之外，由于本文中提出的算法與傳統(tǒng)的L1范數(shù)算法相比，優(yōu)化變量的維度降低了約57%，在相同的線性規(guī)劃算法的時間復(fù)雜度的條件下，算法的執(zhí)行效率更高。

由于本文提出的算法采用L∞范數(shù)+L1范數(shù)的懲罰函數(shù)代替原優(yōu)化模型的L1范數(shù)的懲罰函數(shù)，對于相鄰像素之間的約束條件而言，L∞范數(shù)的約束條件比L1范數(shù)的約束條件更加放松。也就是說，采用L∞范數(shù)的懲罰函數(shù)后，在不改變目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的前提下，φ（i）-φ（ i+1）和Δφ（i）之間容許的誤差要更大一些。因此在式（9）所述的模型下，相鄰像素的絕對相位差和估計相位差不再嚴(yán)格一致，以滿足多基線相位解纏繞的L1范數(shù)強約束條件對相位的要求。也就是說，纏繞條紋和解纏繞結(jié)果反纏繞后的條紋存在不一致性，即存在濾波效果。

3 算法的性能分析

本文通過一噪聲影響非常嚴(yán)重的雙基線TerraSAR-X實測數(shù)據(jù)對本文提出的算法性能進(jìn)行測試。圖1（a）和圖1（b）分別為短基線和長基線干涉相位圖，其基線長度分別為-6.4916 m和-41.0460 m。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，長短基線干涉相位圖受噪聲的影響非常嚴(yán)重，大部分條紋線都被雪花地帶斷開。圖1（c）為L1范數(shù)多基線相位解纏繞方法得到的長基線干涉相位圖的解纏繞結(jié)果，圖1（d）為圖1（c）解纏繞結(jié)果反纏繞后的纏繞相位圖。通過對比發(fā)現(xiàn)，該方法在條紋線清晰的地方能夠非常理想地實現(xiàn)相位解纏繞，但是在噪聲區(qū)，該算法也無能為力。圖1（e）為L∞范數(shù)+L1范數(shù)多基線相位解纏繞方法得到的長基線干涉相位圖的解纏繞結(jié)果，圖1（f）為圖1（e）解纏繞結(jié)果反纏繞后的纏繞相位圖。通過對比圖1（d）和圖1（f），本文中提出的L∞范數(shù)+L1范數(shù)多基線相位解纏繞算法不僅對條紋線清晰的區(qū)域能夠較為理想地實現(xiàn)相位解纏繞，而且對噪聲區(qū)還有濾波作用，能夠?qū)υ肼晠^(qū)產(chǎn)生干涉條紋圖。

4 結(jié)束語

多基線相位解纏繞問題可以轉(zhuǎn)化為求解L1范數(shù)的優(yōu)化問題，并可以通過線性規(guī)劃算法快速且高效地求解。與單基線相位解纏繞優(yōu)化問題相比，多基線相位解纏繞技術(shù)面臨數(shù)據(jù)大、信息量少的難題。為了克服L1范數(shù)多基線相位解纏繞算法在內(nèi)存需求量巨大、噪聲嚴(yán)重區(qū)性能不理想的問題，本文提出用L∞范數(shù)的懲罰函數(shù)近似L1范數(shù)的懲罰函數(shù)，并提出了L∞范數(shù)+L1范數(shù)的多基線相位解纏繞方法。與L1范數(shù)多基線相位解纏繞算法相比，本文提出的算法其優(yōu)化問題中的優(yōu)化變量的大小減少了約57%，因此其內(nèi)存需求會更低。通過對噪聲非常嚴(yán)重區(qū)實測數(shù)據(jù)測試發(fā)現(xiàn)，本文提出的算法可以有效地實現(xiàn)多基線數(shù)據(jù)的解纏繞，并且對噪聲含有濾波效果。

圖1 L1范數(shù)和L∞范數(shù)+L1范數(shù)多基線相位解纏繞結(jié)果對比

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劉會濤： 男，1986年生，博士生，研究方向為InSAR成像及相位解纏繞.

邢孟道： 男，1975年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為雷達(dá)成像和目標(biāo)識別.

保 錚： 男，1927年生，中國科學(xué)院院士，博士生導(dǎo)師，研究方向為雷達(dá)信號處理.

L L∞+1-norm M ethod for M u lti-baseline Phase Unw rapping

Liu Hui-tao Xing Meng-dao Bao Zheng
（National Laboratory of Radar Signal Processing， X idian University， X i’an 710071， China）

M ulti-baseline phase unw rapping p roblem can be solved according to find the optimal solution of the L1-norm optim ization. However， there are two prob lem s: one is the huge memory required and the other is the difficulty in processing interferograms w ith severe noise. In order to decrease the memory requirement of the L1-norm m ethod， w ith a cost function of L∞-norm is em p loyed to approximate the L1-norm. Consequently， the ob jective function of the im proved mu lti-baseline phase unw rapping is the form of L∞-norm+L1-norm， and the size of the new optim ization variable is decreased by 57%. The performance of the proposed algorithm is validated via a real dataset w ith severe noise p resent， and the experiment demonstrates that the proposed algorithm not only presents a well phase unw rapping resu lt of interferograms with good quality， but also perform s a filtering against noise region.

Interferometric SAR （InSAR）； Mu lti-baseline； Phase unw rapping； L1-norm； L∞+ L1-norm

TN957.52

：A

：1009-5896（2015）05-1111-05

10.11999/JEIT 140955

2014-07-17收到，2015-01-06改回

國家自然科學(xué)基金優(yōu)秀青年基金（61222108）資助課題*通信作者：邢孟道 xm d@xidian.edu.cn