周玉華，周長(zhǎng)省，陳 雄

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京210094）

智能彈藥系統(tǒng)（IMS）是要整合進(jìn)未來戰(zhàn)斗系統(tǒng)共同作戰(zhàn)環(huán)境的系統(tǒng)之一，特別是一些能同時(shí)執(zhí)行飛行巡邏和攻擊的微小型智能彈藥，因其使用方便，成本低，隱蔽性好等優(yōu)點(diǎn)而備受關(guān)注，作為飛行控制的舵翼結(jié)構(gòu)是這類系統(tǒng)的重要組成部分［1－2］。在微機(jī)電驅(qū)動(dòng)技術(shù)中，壓電驅(qū)動(dòng)器由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，兼容性好而被廣泛應(yīng)用。許多學(xué)者嘗試將壓電驅(qū)動(dòng)器應(yīng)用在舵翼驅(qū)動(dòng)上［3－9］。對(duì)于壓電舵翼的動(dòng)力學(xué)性能研究，目前主要是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量。本文針對(duì)一種壓電舵翼結(jié)構(gòu)，建立了其動(dòng)力學(xué)模型，為壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)特性研究提供了理論依據(jù)。

1 壓電舵翼結(jié)構(gòu)與工作原理

壓電舵翼結(jié)構(gòu)如圖1所示，壓電舵翼總體由三部分組成：固定支架、壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器以及襟翼。固定支架為壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器和襟翼提供了固定與運(yùn)行的平臺(tái)，同時(shí)也是將舵翼系統(tǒng)固定于機(jī)身的部件；壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器是該系統(tǒng)的運(yùn)行動(dòng)力源，使舵翼按照控制實(shí)現(xiàn)偏轉(zhuǎn)；襟翼在驅(qū)動(dòng)器的作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，其氣動(dòng)特性發(fā)生變化，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行的控制。固定支架前部有一個(gè)卡槽，用來固定壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器。后面有一對(duì)支座通過轉(zhuǎn)軸連接襟翼。固定支架與后面的襟翼形成一個(gè)鉸鏈結(jié)構(gòu)。壓電驅(qū)動(dòng)器的自由端通過一個(gè)滑槽驅(qū)動(dòng)器襟翼雙向偏轉(zhuǎn)。整個(gè)舵翼系統(tǒng)的工作原理是固定支架將系統(tǒng)安裝于機(jī)身之上，壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器左端固定在支架前部的卡槽內(nèi)，另一端再裝配在襟翼的滑槽內(nèi)。當(dāng)對(duì)壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器施加電壓時(shí)，驅(qū)動(dòng)器發(fā)生彎曲變形，自由端產(chǎn)生橫向位移，通過滑槽撥動(dòng)后面襟翼繞轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)。

圖1 壓電舵翼結(jié)構(gòu)示意圖

舵翼整體尺寸為80mm×40mm×8mm，壓電驅(qū)動(dòng)器尺寸40mm×30mm×1.1mm，除去固定部分長(zhǎng)度，實(shí)際運(yùn)動(dòng)部分長(zhǎng)度約為38mm，驅(qū)動(dòng)軸到襟翼轉(zhuǎn)軸之間的距離應(yīng)該為4.59mm。

動(dòng)力學(xué)模型中涉及的材料參數(shù)主要有壓電陶瓷密度7 600kg／mm，銅基底密度8 900kg／mm，壓電陶瓷短路條件下的方向彈性模量為59.8GPa，銅彈性模量為115GPa。

2 壓電舵翼動(dòng)力學(xué)模型

由前面對(duì)壓電舵翼結(jié)構(gòu)和工作原理的表述可知，該結(jié)構(gòu)可用圖2表示其工作原理。壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器一端固定，一端自由，屬于典型的懸臂梁結(jié)構(gòu)，而在驅(qū)動(dòng)器工作過程中所受的所有外載荷均是通過襟翼上的滑槽施加在壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器的自由端。

圖2 壓電舵翼原理圖

建立模型時(shí)，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)中任一單元的橫向平動(dòng)動(dòng)能遠(yuǎn)大于該單元的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。對(duì)單元的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能予以忽略?；谝陨夏芰糠矫娴慕Y(jié)論，則可以進(jìn)一步認(rèn)為結(jié)構(gòu)任一單元的彎曲變形所引起的勢(shì)能變化遠(yuǎn)大于剪切變形所引起的勢(shì)能變化，從而忽略結(jié)構(gòu)變形時(shí)的剪切變形。

驅(qū)動(dòng)器彎曲變形如圖3所示，圖中Q為橫截面剪應(yīng)力，M為橫截面彎矩，q為分布載荷。這里以撓曲線為對(duì)象以描述結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，設(shè)變形后的撓曲線為

圖3 驅(qū)動(dòng)器彎曲變形示意圖

為了說明普遍情況下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)狀態(tài)，這里分析分布載荷下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。沿長(zhǎng)度方向上在壓電驅(qū)動(dòng)器上取長(zhǎng)度為dx的單元進(jìn)行分析。單元所受分布載荷以及左右2個(gè)橫截面剪應(yīng)力和彎矩的情況如圖3所示。這里按材料力學(xué)中的規(guī)定，認(rèn)為使單元向下凹的彎矩為正。由單元的受力情況，根據(jù)力和轉(zhuǎn)矩的平衡方程可得：

式中：m（x）為結(jié)構(gòu)的面密度，即單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；J為單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θx為單元轉(zhuǎn)角。由本節(jié)開始的假設(shè)，在研究動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，單元的轉(zhuǎn)動(dòng)分量是忽略的，因此式（2）右端可以認(rèn)為是0。對(duì)上述兩方程化簡(jiǎn)，略去高階微分項(xiàng)可得：

材料力學(xué)中，彎矩與變形存在如下關(guān)系：

式中：D（x）為截面的抗彎模量。聯(lián)立式（3）～式（5），可得：

自由振動(dòng)情況下，同時(shí)假設(shè)結(jié)構(gòu)的橫截面保持不變，則式（6）中的D（x）和m（x）為恒定值，從而方程可以寫成：

根據(jù)振動(dòng)學(xué)“同步運(yùn)動(dòng)”理論，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)在振動(dòng)時(shí)，位移隨時(shí)間的變化可以分解成兩部分，即：

式中：Z（x）為振型函數(shù)，它表示整個(gè)結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)的空間形狀，是與時(shí)間無關(guān)的；η（t）為振動(dòng)函數(shù)，它表示振動(dòng)隨時(shí)間的變化規(guī)律。將式（8）代入式（7）中，并在所得方程兩邊同除以z（x，t），可得：

式（9）的左端為x的微分項(xiàng)，而右端為t的微分項(xiàng)，若要兩邊相等則必定左右兩端等于常數(shù)，設(shè)這個(gè)常數(shù)為ω2，則式（9）可以分開寫成2個(gè)等式：

上述兩方程的通解可以寫為

由于外載荷全部通過襟翼滑槽作用在驅(qū)動(dòng)器自由端，則可以認(rèn)為驅(qū)動(dòng)器的邊界條件為左端固定，右端受到集中載荷的作用。因此，壓電舵翼工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)器左端邊界條件可以表示為

F為驅(qū)動(dòng)器自由端所受載荷。由邊界條件（14）可得：

則式（13）可以寫為

再由邊界條件（15），有：

壓電驅(qū)動(dòng)器自由端的集中力必定與自由端的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，根據(jù)式（8）可知，自由端的運(yùn)動(dòng)可以表示為

若將集中力看作為一個(gè)等效的集中質(zhì)量塊作用在壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器自由端，則集中力可以表示為

式中：為等效集中質(zhì)量。則式（17）可以寫為

同樣，方程組需要滿足行列式：

等效集中質(zhì)量是由壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器自由端所受的集中載荷決定的，通過分析可知，產(chǎn)生集中載荷的因素主要來源于兩個(gè)方面：襟翼自身轉(zhuǎn)動(dòng)慣性以及飛行過程中作用在襟翼上的空氣動(dòng)力所產(chǎn)生的鉸鏈力矩。這個(gè)鉸鏈力矩可以表示為

式中：k為比例系數(shù)，由舵翼的尺寸、翼型、飛行條件等決定；θ為攻角；l為氣動(dòng)中心到襟翼轉(zhuǎn)軸的距離。根據(jù)上式可知，對(duì)于確定舵翼結(jié)構(gòu)的翼型和尺寸，l為固定不變的。舵翼所受氣動(dòng)力的大小主要由飛行速度以及舵翼的攻角所決定。舵翼的翼型與尺寸是由飛行器的飛行要求以及飛行器質(zhì)量決定的。根據(jù)這兩點(diǎn)可以推論，作用在襟翼上空氣動(dòng)力的大小其實(shí)是由飛行器的飛行要求以及飛行器的質(zhì)量決定的。微型飛行器的飛行是相對(duì)平穩(wěn)的，同時(shí)對(duì)于尺寸比較小的微型飛行器，其質(zhì)量必然也是較小的。通過以上分析可知，作用在襟翼上的空氣動(dòng)力是一個(gè)變化不劇烈、不太大的力。由于空氣動(dòng)力的不確定，這里主要分析襟翼自身慣性的影響。

襟翼通過轉(zhuǎn)軸固定在前面的固定支架上，舵翼運(yùn)作時(shí)，襟翼作繞轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此對(duì)襟翼有：

式中：Fˉm為襟翼與驅(qū)動(dòng)器自由端之間的作用力，J為襟翼相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。上式可以變形為

襟翼外形是不規(guī)則的，人工計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比較困難。因此，為了簡(jiǎn)單快捷地得到襟翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，這里用Pro／Engineer軟件對(duì)襟翼進(jìn)行三維建模，尼龍材料的比重為1.15，軟件計(jì)算繞模型坐標(biāo)系z(mì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J33＝6.869 5×10－1。襟翼工作時(shí)并不是以質(zhì)心為中心轉(zhuǎn)動(dòng)，而是繞轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。襟翼繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以用移軸公式計(jì)算。軟件計(jì)算襟翼的質(zhì)量為9.236g，質(zhì)心坐標(biāo)為（18.783 5，0，0），而模型中轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)為8.37。利用移軸公式可以計(jì)算出襟翼繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

由式（21）中等效集中質(zhì)量的表達(dá)式以及l(fā)L的設(shè)計(jì)值，可以得到襟翼的等效質(zhì)量為

這里主要考慮襟翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)舵翼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。將參數(shù)α代入式（20），并用數(shù)值法解之可得壓電舵翼系統(tǒng)的一階頻率的特征值為βl＝0.673 4。代入方程中，可得：

根據(jù)頻率關(guān)系ω＝2πf，可以計(jì)算出壓電舵翼的一階頻率為46.85Hz。

3 壓電舵翼動(dòng)力學(xué)響應(yīng)測(cè)量與動(dòng)力學(xué)參數(shù)計(jì)算

根據(jù)信號(hào)分析的理論可知，時(shí)域中的階躍跳變信號(hào)在頻域中包含了無限的頻率分量。因此，用階躍信號(hào)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行激勵(lì)時(shí)，相當(dāng)于用各種不同頻率的信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)。同時(shí)階躍信號(hào)也是系統(tǒng)運(yùn)行遇到的最多的輸入激勵(lì)。

對(duì)于壓電舵翼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的測(cè)量，這里考慮轉(zhuǎn)化為使用應(yīng)變片測(cè)量壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器陶瓷片的應(yīng)變來實(shí)現(xiàn)，由于系統(tǒng)裝配后尺寸小，結(jié)構(gòu)緊湊，因此粘貼應(yīng)變片的工作必須在壓電舵翼系統(tǒng)裝配之前完成。

應(yīng)變片由于應(yīng)變而產(chǎn)生的阻值變化通過電橋轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?hào)，該信號(hào)經(jīng)過電阻應(yīng)變儀的濾波、放大等處理后用美國(guó)Tektronix公司生產(chǎn)的TDS3000C型數(shù)字示波器進(jìn)行采集記錄。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，通過示波器自身的USB接口，將所得數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在電腦中。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物如圖4所示。

圖4 舵翼動(dòng)態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)

對(duì)系統(tǒng)施加250V階躍信號(hào)，舵翼系統(tǒng)的響應(yīng)如圖4所示。由圖可知，舵翼系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下存在一個(gè)明顯的振蕩過程，然后很快到達(dá)平衡狀態(tài)。由振動(dòng)學(xué)理論可知，舵翼系統(tǒng)在階躍信號(hào)激勵(lì)下調(diào)整至穩(wěn)定狀態(tài)之前的振蕩頻率稱為有阻尼自振角頻率。圖5為壓電舵翼階躍響應(yīng)，圖中U為測(cè)量信號(hào)。由圖5可知，舵翼系統(tǒng)的有阻尼自振周期約為23ms，超調(diào)約為15%。

根據(jù)控制工程理論，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值時(shí)間為

前文已經(jīng)求得系統(tǒng)無阻尼頻率ωn＝294.345rad／s。由舵翼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線可以測(cè)量得到峰值時(shí)間為tp＝13ms。將ωn，tp代入式（22）中可以得到壓電舵翼系統(tǒng)的阻尼比為ξ＝0.571 5。阻尼比的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了舵翼系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下的欠阻尼響應(yīng)。

另一方面，根據(jù)理論計(jì)算得到系統(tǒng)無阻尼自振角頻率ωn＝294.345rad／s，阻尼比ξ＝0.571 5，可以代入公式：

計(jì)算舵翼系統(tǒng)的有阻尼自振角頻率為ωr＝241.54rad／s，代入公式：

可以得到舵翼系統(tǒng)的理論有阻尼自振周期T＝26ms，這與實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的23ms接近，驗(yàn)證了所建立的壓電舵翼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型的正確性。

圖5 壓電舵翼階躍響應(yīng)

4 結(jié)束語

本文建立了一種壓電舵翼的動(dòng)力學(xué)模型，揭示了這種結(jié)構(gòu)壓電舵翼是二階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)。再結(jié)合該動(dòng)力學(xué)模型，通過測(cè)量舵翼系統(tǒng)在階躍信號(hào)激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，為舵翼的結(jié)構(gòu)優(yōu)化以及控制奠定了基礎(chǔ)。

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