胡 建，顏鋼鋒

（浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027）

0 引 言

兩輪自平衡車屬于輪式機(jī)器人的范疇，體積小、結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)動靈活，特別適于在狹小和危險的空間內(nèi)工作；同時由于它具有不穩(wěn)定的動態(tài)特性，是一個典型的倒立擺運(yùn)動模型［1-3］，兩輪自平衡車成為驗(yàn)證各種控制算法的理想平臺，具有重要的理論意義。它的工作原理是:系統(tǒng)利用陀螺儀和加速度傳感器，檢測出車身的俯仰狀態(tài)以及狀態(tài)變化率，通過中央處理器計算并發(fā)出命令，驅(qū)動電機(jī)加速向前或向后等動作來保持車體的平衡。駕駛者只需通過前傾或后仰來控制車子的速度，通過轉(zhuǎn)向把手來控制左右的轉(zhuǎn)向。它屬于典型的非線性、時變、欠驅(qū)動、非完整約束系統(tǒng)，解決它的控制問題是其研究的關(guān)鍵。

本研究首先運(yùn)用牛頓動力學(xué)分析的方法，對兩輪自平衡車分別進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的分析，從而得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為控制器設(shè)計實(shí)現(xiàn)提供可靠的理論依據(jù)。筆者根據(jù)著名的解耦定理［4］，將系統(tǒng)解耦成平衡與轉(zhuǎn)向兩個子系統(tǒng)分別來控制。針對具有強(qiáng)非線性的前進(jìn)子系統(tǒng)，論證基于近似線性化、精確線性化及自抗擾控制控制策略的應(yīng)用可行性。利用Matlab中Simulink模型對自抗擾算法進(jìn)行仿真，并通過搭建的兩輪自平衡車控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獲得期望的平衡效果，以驗(yàn)證該算法的正確性與有效性。

1 兩輪自平衡車的動力學(xué)模型

要定量、準(zhǔn)確地分析設(shè)計一個控制系統(tǒng)，認(rèn)識研究對象，提高控制能力，一定要建立控制對象的數(shù)學(xué)模型。精確地確立兩輪自平衡車的數(shù)學(xué)模型，是解決其控制問題的關(guān)鍵之一。

為了實(shí)現(xiàn)兩輪自平衡車的運(yùn)動狀態(tài)控制，需要建立其運(yùn)動學(xué)模型。本研究以右輪和車體為研究對象，進(jìn)行受力分析，受力分析圖如圖1、圖2所示。

圖1 對右輪進(jìn)行受力分析

圖2 車體的受力分析

首先，將推導(dǎo)公式中要用到的符號作如下說明:

VR[m/s]，VL[m/s]—左右電機(jī)的速度；

MR[kg]，ML[kg]—左右電機(jī)的質(zhì)量；

JR[kg·m2]，JL[kg·m2]—左右電機(jī)的相對于z軸轉(zhuǎn)動慣量；

CR[N·m]，CL[N·m]—左右電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩；

θ[rad]—車體向前的傾角；

ω[rad/s]—車體向前的角速度；

Jθ[kg·m2]—車體相對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量；

δ[rad]—轉(zhuǎn)把的轉(zhuǎn)向角；

δ·[rad/s]—轉(zhuǎn)把的轉(zhuǎn)向角速度；

Jδ[kg·m2]—車體相對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量；

MP[kg]—車體的質(zhì)量（包括駕駛?cè)说馁|(zhì)量）；

V[m/s]—兩輪自平衡車向前行駛的速度；

R[m]—電機(jī)的半徑；

D[m]—兩電機(jī)車輪中心的橫向距離；

L[m]—車體的重心到Z軸的距離；

b—庫侖摩擦系數(shù)；

μ—粘滯摩擦系數(shù)。

由力學(xué)知識可知，庫侖摩擦力fc=μsign(V)，粘滯摩擦力fb=bV。

（1）對于右輪受力分析如圖1所示，運(yùn)用牛頓定律可知:

同理，左輪的力學(xué)方程為:

（2）對于車體的受力分析如圖2所示，有如下的力學(xué)方程:

（3）解上面的方程組，求出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

由相關(guān)知識可知，JL=JR=J，x=(xR+xL)/2=R(θR+θL)/2，MR=ML=M，那么，可以先求出:

由式（6，7，9），可得:

由式（13，18），得:

由式（1～10），得:

將式（18，19）代入式（20），則有:

其中:

由物理學(xué)知識知，ω=θ·，則有:

其中:

對于轉(zhuǎn)向，有δ·=(VL-VR)/D，結(jié)合式（1，6），可化簡為:

其中:

從上述分析可以看出兩輪自平衡車的模型是一個非線性模型，如果采用經(jīng)典的控制理論方法則需要將θ限制在 0度附近很小的范圍內(nèi)（即:sin(θ)≈θ，cos(θ)≈1）作近似處理，得到線性化的模型。而本研究采取的方法，則是根據(jù)現(xiàn)代控制理論，選擇一組狀態(tài)變量來描述上述系統(tǒng)的動態(tài)特征，就可以確定系統(tǒng)的未來狀態(tài)和輸出。在兩輪自平衡車所建立的模型基礎(chǔ)上，筆者所選的狀態(tài)變量為則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間［5］非線性方程為:

其中:

本研究利用狀態(tài)空間模型來分析非線性系統(tǒng)，利用Matlab強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力來進(jìn)行系統(tǒng)仿真和分析系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能，也為下面控制系統(tǒng)的解耦成兩個子系統(tǒng)奠定模型基礎(chǔ)。

2 控制策略

在這里忽略電機(jī)的模型，因?yàn)殡姍C(jī)的時間常數(shù)遠(yuǎn)比系統(tǒng)的時間常數(shù)小，這個動力學(xué)模型可被解耦成兩個子系統(tǒng)來控制［6］，即:

式中:Cθ—控制平衡所需要的電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，Cδ—轉(zhuǎn)向所需的電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩。

首先，忽略fdL，fdR，fdP，因?yàn)樗鼈兪菙_動力，不能用來控制系統(tǒng)，而2μsign(V)值很小，先作忽略來處理。從解耦出來的平衡狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型可知，當(dāng)θ和V為常值時，則它們各自的微分量ω=0，V·=0，那么Cθ=-A43θ/B4，兩輪自平衡車也將保持一個恒定的速度V=(A43B2-B4A23)θ/A22B4。因此，當(dāng)駕駛者向前傾斜到一個恒定的角度θ時，為了不使其倒下來，兩輪自平衡車必須到達(dá)一個恒定的速度V。

從以上的模型中可以看出，由于駕駛者和其他因素對平衡車系統(tǒng)的影響不同，導(dǎo)致系統(tǒng)的參數(shù)大小變化，根據(jù)這些情況實(shí)時地輸出系統(tǒng)所需的電機(jī)轉(zhuǎn)矩，就需要考慮到自適應(yīng)算法［7］，它介紹了魯棒控制自適應(yīng)的控制方法，讓系統(tǒng)根據(jù)實(shí)際要求輸出所需的轉(zhuǎn)矩。針對控制系統(tǒng)參數(shù)的不確定和擾動作用的不同，下面，本研究介紹引進(jìn)了一種控制算法，它是由我國著名的韓京清研究員建立并推廣使用的自抗擾控制，把系統(tǒng)中未建模部分和其他因素導(dǎo)致系統(tǒng)變化的部分當(dāng)成總擾動來補(bǔ)償控制量。

3 自抗擾控制技術(shù)

自抗擾控制技術(shù)［8-12］是從經(jīng)典的PID控制理論演變而來的，采取的是PID誤差反饋控制的核心理念。該控制技術(shù)由跟蹤微分器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和非線性狀態(tài)誤差反饋律3部分組成。

各部分的功能分別如下:

（1）跟蹤微分器的功能是為系統(tǒng)輸入安排過渡過程，得到光滑的輸入信號以及輸入信號的微分信號。

（2）擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）的功能是實(shí)時跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)，不僅能得到系統(tǒng)的狀態(tài)信息，還能獲得對象模型中內(nèi)擾和外擾的實(shí)時作用量。通過將這個實(shí)時作用量補(bǔ)償?shù)娇刂破髦腥?，可以使原來的非線性系統(tǒng)變成線性的積分器串聯(lián)型控制系統(tǒng)。這個動態(tài)估計補(bǔ)償總和擾動的技術(shù)是整個自抗擾控制技術(shù)中最關(guān)鍵、最核心的技術(shù)。

（3）非線性狀態(tài)誤差反饋律的功能是把跟蹤微分器產(chǎn)生的跟蹤信號和微分信號與擴(kuò)張狀態(tài)觀測器得到的系統(tǒng)的狀態(tài)估計通過非線性函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)組合，作為被控對象的控制量。

自抗擾控制技術(shù)中，非線性函數(shù)形式有多種，典型的二階自抗擾控制器的算法如圖3所示。

圖3ADRC結(jié)構(gòu)框圖

3.1 安排過渡過程

為了得到微分信號，可以用下面最快地跟蹤給定信號的辦法來提取微分信號的非線性最速跟蹤微分器:

式中:v0—系統(tǒng)的參考輸入信號；v1—安排過渡過程，無超調(diào)；v2—其微分信號。

其原則為:選加速度形狀，先正后負(fù)，正部分的面積與負(fù)部分的面積相等；積分兩次，得單調(diào)上升、無條件超調(diào)的過渡過程。

fhan(x1,x2,r,h)的定義如下:

3.2 估計狀態(tài)和總振動（ESO）

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器是一個動態(tài)過程，它只用了原對象的輸入-輸出信號，沒有用到描述對象傳遞關(guān)系的函數(shù)的任何信息，它的狀態(tài)方程用如下表達(dá)式表示:

式中:z1，z2—實(shí)時估計對象的狀態(tài)；z3—擴(kuò)張的狀態(tài)即為估計系統(tǒng)的總擾動。

3.3 非線性誤差反饋

對于誤差反饋，可以有很多種反饋形式，有線性的也有非線性的組合?？紤]到兩輪車系統(tǒng)為一個非線性系統(tǒng)，采用下面的最速控制綜合函數(shù)形式來反饋:

上式中，非線性函數(shù)fal(e,α,d)的定義如下所示:

這里不再需要“誤差積分”反饋?！白钥箶_”意義在于“補(bǔ)償”項(xiàng)-z3(k)/b，系統(tǒng)的“未建模動態(tài)”和“未知外擾”作用一并給予估計和補(bǔ)償。

在控制器中，β01，β02，β03，c，r，h1，b0是控制器的參數(shù)，r0是根據(jù)過渡過程快慢的需要和系統(tǒng)所能承受的能力決定的，只影響系統(tǒng)的跟蹤精度和過渡過程時間，對系統(tǒng)的輸出沒有影響，因此調(diào)整好之后就可以固定下來；參數(shù)β01，β02，β03是由系統(tǒng)所用采樣步長來決定的。所以，自抗擾控制系統(tǒng)中真正需要調(diào)整的參數(shù)為控制量增益r，阻尼系數(shù)c，精度因子h1和b0補(bǔ)償因子4個。在一般情況下，控制量增益r是大到一定程度就可以，再大也幾乎沒有影響。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

由于兩輪自平衡車的參考位置為θ=0，則可以不安排合適的過渡過程，對于該系統(tǒng)來說，利用自抗擾控制的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器來估算系統(tǒng)的總擾動，作為控制對象輸入的補(bǔ)償即可:

f(x1,x2,t)未知，包含建模中不能確定的所有量。

假定e(k)=z1(k)-y(k)，則離散化的ESO為:

系統(tǒng)的總輸入量為:

對于非線性誤差反饋，其實(shí)它的反饋形式有線性和非線性反饋等多種形式，而在兩輪自平衡車的系統(tǒng)中，狀態(tài)量x1和x2，也即θ和ω可以通過加速度與陀螺儀傳感器分別測量，通過kalman濾波算法［13-15］可以得到精確的狀態(tài)信息，反饋形式可取為如下的線性形式，即:

為了從理論上驗(yàn)證算法的可行性，本研究首先進(jìn)行仿真論證。仿真給定初始的角度擾動為5°，利用Matlab中的Simulink模型來搭建系統(tǒng)模型，得到的仿真波形曲線如圖4所示。下面為實(shí)驗(yàn)測得的兩輪車參數(shù):

圖4中，曲線線型的含義如下:虛線表示車的速度V，實(shí)線表示傾角θ，點(diǎn)劃線表示角速度ω。從圖4中可以看出，自抗擾控制能抑制初始的擾動，補(bǔ)償輸出控制量讓車的狀態(tài)回到θ=0的平衡態(tài)，且獲得一定的速度向前行駛，與理論分析一致，說明該方法的正確性。

為了做到理論與實(shí)踐相結(jié)合，以便更好地驗(yàn)證算法的正確性，本研究利用ARM公司的Cortex-M3內(nèi)核的嵌入式微處理器作為主處理芯片來實(shí)現(xiàn)自抗擾控制算法，所做的控制器硬件圖如圖5所示。

圖4 仿真波形曲線

圖5 實(shí)驗(yàn)控制器

圖6 不同重量的駕駛者斜坡行駛

為了更好地驗(yàn)證算法，筆者在實(shí)驗(yàn)室做的自平衡車體上進(jìn)行實(shí)物實(shí)驗(yàn)，用不同重量的人，在斜坡上駕駛著小車，取得了滿意的效果，所得到的實(shí)驗(yàn)效果如圖6所示。不同質(zhì)量的人在一個大于15°的斜坡上駕駛小車，小車均可以平穩(wěn)地運(yùn)行，不會出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況，不會因?yàn)槿嘶蛘哌\(yùn)行在地況不好的路段而出現(xiàn)不穩(wěn)定、不平衡的情況，則說明自抗擾算法能較好地用于自適應(yīng)地估算系統(tǒng)的擾動并進(jìn)行控制補(bǔ)償。

5 結(jié)束語

本研究從兩輪自平衡車的物理模型著手分析，運(yùn)用牛頓力學(xué)分析出其對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合自抗擾控制技術(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析，從理論上驗(yàn)證了算法的可靠性。自抗擾控制技術(shù)的核心是把系統(tǒng)的未建模動態(tài)和未知擾動作用都?xì)w結(jié)為對系統(tǒng)的“總擾動”而進(jìn)行估計并給予補(bǔ)償，采用的方法是充分利用特殊的“非線性”效應(yīng)，將一些摩擦力、不同重量的駕駛?cè)藛T和未知的擾動統(tǒng)一歸為對系統(tǒng)的總擾動來處理，重點(diǎn)利用ESO來估算這個擾動的大小，對系統(tǒng)輸入進(jìn)行補(bǔ)償。然而對于小車的轉(zhuǎn)向沒有作相應(yīng)的分析，實(shí)驗(yàn)中就采取了純開環(huán)的控制，轉(zhuǎn)向的實(shí)驗(yàn)效果也較滿意。

在今后的研究中，可能需要進(jìn)一步改進(jìn)自抗擾參數(shù)整定的方法，也將自抗擾控制技術(shù)應(yīng)用到小車的轉(zhuǎn)向控制中，以實(shí)現(xiàn)對兩輪自平衡車良好的控制，確保系統(tǒng)的穩(wěn)定可靠。

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