張如飛 趙世范

1．北京控制與電子技術研究所信息系統(tǒng)工程重點實驗室，北京 100038 2．中國航天二院研究生院，北京 100854

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具有軌道傾角和最大高度約束的耗盡關機閉路制導

張如飛1,2趙世范1

1．北京控制與電子技術研究所信息系統(tǒng)工程重點實驗室，北京 100038 2．中國航天二院研究生院，北京 100854

快速響應空間固體運載火箭軌道轉移級以最大限度利用能量而非消耗能量為目的進行耗盡關機制導，基于橢圓軌道理論和牛頓迭代法，提出了一種適用于具有軌道、制導多種約束的耗盡關機閉路制導方法，通過實時尋找需要推力方向，充分利用軌道轉移級能量，導引上面級進入具有給定軌道傾角和最大高度約束的轉移軌道，同時實現(xiàn)耗盡關機。理論推導和數(shù)學仿真表明，本文提出的制導方法能在耗盡關機條件下實現(xiàn)對轉移軌道的高精度控制。

快速響應空間；耗盡關機；閉路制導；能量管理

固體運載火箭[1]具有快速準備、按需發(fā)射、長服務周期、強生存、高可靠、低成本和便于長期貯存等突出特點，通常采用指令關機和耗盡關機兩種關機方式，但指令關機需要推力終止系統(tǒng)[2]，不僅增加了結構重量，提高了系統(tǒng)使用成本，而且損失了有效運載能力，降低了系統(tǒng)可靠性。因此，耗盡關機制導問題成為研究的熱點，能量管理閉路制導[3-5]是實現(xiàn)耗盡關機制導的有效技術途徑，一系列需求牽引了能量管理閉路制導的發(fā)展與改進，如實現(xiàn)終端多約束[4]、提高耗盡關機末速控制精度[6]等，但能量管理的2個突出特點未變：1)通過姿態(tài)調制[7-9]消耗多余能量；2)常姿態(tài)導引段采用零射程線[7,10]保證命中目標。

本文以軌道轉移級的耗盡關機閉路制導為方向，提出了一種具有軌道傾角和軌道最大高度約束的耗盡關機閉路制導方法，與基于能量管理閉路制導的耗盡關機制導不同，其目的不是通過姿態(tài)交變消耗多余能量，而是最大限度利用軌道轉移級能量，形成盡可能大的轉移軌道速度，從而減輕入軌級的能量需求。該方法數(shù)學邏輯簡單、便于工程應用且對轉移軌道的控制精度高，適合于固體運載火箭的軌道轉移級制導及其它相似應用。

1 坐標系定義與轉換

1.1 發(fā)射慣性坐標系

發(fā)射坐標系定義：原點取發(fā)射點在當?shù)貐⒖紮E球體表面的投影點；OYg軸與當?shù)貐⒖紮E球體的法線一致且指向上方；OXg與OYg軸垂直且指向射向；OXgYgZg為右手直角坐標系。

在運載器發(fā)射瞬間發(fā)射慣性坐標系OXIYIZI與發(fā)射坐標系OXgYgZg重合，運載器發(fā)射后發(fā)射慣性坐標系在慣性空間定位定向。

1.2 北天東坐標系

坐標原點在運載器質心，OYN軸與從地心到原點的矢量方向一致；OXN在當?shù)刈游缑鎯扰cOYN軸垂直且指向北；OXNYNZN為右手直角坐標系。

1.3 坐標系間的轉換矩陣

在發(fā)射慣性坐標系中描述的地球自轉角速度方向和當前點地心矢徑方向為

(1)

式中，A0為發(fā)射方位角，B0為發(fā)射點地理緯度；r0,x，r0,y，r0,z為發(fā)射點地心距向量在發(fā)射慣性坐標系中的分量，x，y，z為當前點在發(fā)射慣性坐標系中的坐標。

當前點地心緯度可以按照下式直接計算：

(2)

北天東坐標系到發(fā)射慣性坐標系的坐標轉換矩陣為[7]

(3)

式中，F(xiàn)11，F(xiàn)12，F(xiàn)13以及F31，F(xiàn)32，F(xiàn)33計算式為

(4)

2 視速度模量計算與約束建模

2.1 總視速度模量

設運載器某級發(fā)動機比沖為Isp，其點火點質量為m0，該級發(fā)動機總裝藥量為mf，則其能產生的總的視速度模量為

(5)

可見，某級發(fā)動機總視速度模量ΔW0與其比沖Isp、初始質量m0和耗盡點質量(m0-mf)密切相關，由于m0，mf事先可以比較準確的得到，因此，按式(5)對ΔW0的估算偏差主要與比沖Isp相關。通常ΔW0的估算偏差能夠控制在1.0%以內。

2.2 剩余視速度模量

(6)

式中，t0到t時刻的視加速度模量積分可根據(jù)加表實際測量值按照下式計算：

(7)

對于式(7)，當t=t0時，ΔW(t0,t0)=0，此時剩余視速度模量等于總視速度模量；當t=tK時，發(fā)動機已至耗盡關機時刻，按式(6)計算的剩余視速度模量為0。

2.3 軌道約束模型

為了進入軌道傾角為i0、高度為h0(相對平均地球半徑Ra)的圓軌道，根據(jù)霍曼軌道轉移理論，建議運載器預先進入軌道傾角為i0、遠地點高度為h0(相對平均地球半徑Ra)的橢圓轉移軌道，該橢圓轉移軌道就是本文研究的耗盡關機閉路制導預期進入的軌道。

下面根據(jù)軌道運動理論，用數(shù)學模型描述軌道傾角約束、軌道高度約束。

(1)軌道傾角i0的數(shù)學模型

由式(2)，可得當前點的地心緯度φK。為了進入軌道傾角約束為i0的橢圓轉移軌道，根據(jù)軌道傾角、地心緯度與速度方位角的關系式

αR=arcsin(cosi0/cosφK)

(8)

可得當前點需要速度方位角αR。

(2)軌道高度h0的數(shù)學模型

軌道面內描述的轉移軌道極坐標運動方程為

r=p/(1-ecosξ)

(9)

式中，p，e為轉移軌道半通徑和偏心率；r為飛行點地心距，ξ為飛行點真遠點角。

要求轉移軌道的遠地點(ξK=0)高度為h0，則根據(jù)式(9)，該約束可以描述為

rA=Ra+h0=p/(1-e)

(10)

式中，rA為轉移軌道遠地點地心距，它等于平均地球半徑加上軌道高度約束h0。

2.4 制導約束模型

要形成轉移軌道，除了需要滿足軌道傾角、軌道高度等約束外，還需要保證轉移軌道通過當前點以及進入轉移軌道時發(fā)動機能量剛好耗盡，這分別對應為當前點位置約束和耗盡關機約束，建立它們的數(shù)學模型將為形成耗盡關機導引律奠定基礎。

(1)當前點位置約束

根據(jù)式(9)，當前點位置約束的數(shù)學模型為

rK=p/(1-ecosξK)

(11)

式中，rK為當前點地心距，ξK為當前點真遠點角。

(2)耗盡關機的數(shù)學模型

設當前時刻的剩余視速度模量為ΔWR，當前速度為VpI，尋找一發(fā)射慣性坐標系中的需要速度VRI，使得下式成立

(12)

3 多約束耗盡關機閉路制導

3.1 轉移軌道參數(shù)解算

假設給定當前點在轉移軌道上的真遠點角ξK以及當前點、遠地點地心距rK，rA，則根據(jù)式(10)和(11)可以解得轉移軌道偏心率及半通徑

(13)

可見，通過調整當前點真遠點角ξK，將會獲得相同高度約束下的不同橢圓轉移軌道。

3.2 發(fā)射慣性坐標系需要速度

已知當前點真遠點角ξK、轉移軌道半通徑p，當前點需要速度及需要速度傾角為[7]

(14)

結合式(8)給出的需要速度方位角，可得北天東坐標系中的需要速度為

(15)

3.3 耗盡關機轉移軌道的迭代計算

給定當前點在轉移軌道上的真遠點角ξK,i，結合式(12)～(15)，可得相應的橢圓轉移軌道以及沿該軌道飛行的需要視速度增量ΔWi：

(16)

由式(12)描述的耗盡關機條件可知，當剩余視速度模量ΔWR等于當前點需要視速度模量ΔWi,即ΔWi=ΔWR時，可以實現(xiàn)耗盡關機。但實際上，不可能給定一個ξK,i，正好得到ΔWi等于ΔWR，因此需要對式(16)進行迭代計算，迭代過程如下：

1)給定真遠點角ξK,i，由式(16)計算ΔWi；

2)給定ξK,i+δξ，由式(16)計算ΔWi+δΔWi，由此得偏導數(shù)

?ξK/?ΔW=δξ/δΔWi

(17)

3)根據(jù)牛頓迭代修正ξK,i，修正公式如下：

ξK,i+1=ξK,i-?ξK/?ΔW×(ΔWi-ΔWR)

(18)

4)判斷迭代是否結束。計算對應ξK,i+1的ΔWi+1，當

(19)

時，設i:=i+1，ξK,i:=ξK,i+1，迭代計算步驟1)～ 3)；否則停止迭代。

迭代停止后，由式(18)得到的ξK,i+1即為當前點在橢圓轉移軌道上的期望真遠點角，此時，由式(19)再次調用式(16)得到的pi，ei即為期望的橢圓轉移軌道半通徑和偏心率，相應的Vg,i即表征了發(fā)動機的需要推力方向。

3.4 需要推力方向

(20)

式中，φC,P，ψC,P，γC,P表示俯仰、偏航、滾動通道指令姿態(tài)角。

4 數(shù)學仿真與結果分析

設期望的圓軌道的軌道傾角為32°,軌道高度(相對平均地球半徑)為350km，因此，橢圓轉移軌道的軌道傾角為32°,遠地點軌道高度為350km。軌道轉移級發(fā)動機總視速度模量為ΔW0=2484m/s，制導周期為TS=10ms。

應用本文提出的多約束耗盡關機閉路制導方法，仿真計算結果如圖1～2和表1～2所示。圖1～2中，φC,P，ψC,P分別表示俯仰姿態(tài)角指令、偏航姿態(tài)角指令；ha表示相對平均地球半徑Ra的高度，即ha=r-Ra；Vf表示相對地球速度(即地速)模量。

表1 耗盡關機閉路制導軌道參數(shù)

圖1 耗盡關機閉路制導指令姿態(tài)角

圖2 耗盡關機閉路制導飛行軌道及飛行速度

圖1～2和表1～2仿真過程中忽略了J2項擾動引力場的影響，上述計算結果表明，雖然耗盡關機點的待增速度殘差約為0.698m/s，橢圓轉移軌道遠地點平均高度控制誤差約為40.7m，軌道傾角的控制誤差約為7.0×10-4(°)，可見軌道控制精度較高。

表2 耗盡關機閉路制導遠地點高度控制偏差

由于多約束耗盡關機閉路制導基于中心引力場作用的橢圓軌道推導得到，因此J2項等高階引力項對于飛行軌道的影響并沒有得到補償，其將對制導出的軌道產生影響。表2展示了僅有制導方法誤差(即待增速度殘差)以及同時有制導方法誤差和J2項干擾的計算結果，表明J2項引起的高度控制誤差約為541.8m，約為耗盡關機制導方法誤差的13倍，可見J2項對飛行軌道影響明顯。為了實現(xiàn)J2作用下的高精度軌道控制，在裝訂最大軌道高度時，提前補償J2項的影響，此時計算得到的方法誤差與J2項共同作用下的高度控制誤差約42.5m，比方法誤差引起的高度控制誤差僅大1.8m，補償效果明顯。

此外，關于稀薄大氣的仿真計算表明，高度150km處的稀薄大氣作用力已小于0.1N，其對運載器的視加速度已小于5.0×10-5m/s2；而當高度大于200km時，稀薄大氣作用力迅速下降1個數(shù)量級以上。實際飛行軌道計算結果亦表明，稀薄大氣對轉移軌道遠地點高度的影響在米級，相對于制導方法誤差和J2項干擾，其影響完全可以忽略。

5 結束語

基于橢圓軌道理論和牛頓迭代法，提出了一種具有軌道傾角和遠地點高度約束能力的耗盡關機閉路制導方法，該方法適用于多級固體運載火箭的轉移軌道制導。仿真計算結果表明，該方法對轉移軌道傾角和遠地點高度控制精度高，能夠滿足高精度入軌制導的制導精度要求，可以作為高精度入軌制導的軌道轉移級制導方法，亦可以作為其它具有高度約束的橢圓軌道的耗盡關機閉路制導方法。

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TheDepletedShutdownClosedLoopGuidancewithConstraintsofOrbitInclinationandMaximumHeight

ZHANG Rufei1,2ZHAO Shifan1
1. Beijing Institute of Control and Electronic Technology， Science and Technology on Information Systems Engineering Laboratory, Beijing 100038, China 2. Graduate School, 2ndAcademy of China Aerospace, Beijing 100854, China

Thesolidrocketmotororbittransferstageforresponsivespaceaccess(RSA)isrequiredtoadoptdepletedshutdownguidancewhichaimsatmaximizingenergyuse,butnotconsumingredundantenergy.BasedonellipticalorbittheoryandNewtoniterationmethod,adepletedshutdownclosedloopguidancetodealwithmultipleorbitandguidanceconstraintsisoriginated,whichseekstherequiredthrustdirectioninrealtimeandutilizestheorbittransferstageenergysufficientlytoguidestheupperstagetoentertransferorbitwithconstraintsoforbitinclinationandmaximumheight.Meanwhile,thedepletedshutdownisimplemented.Theorydeductionandnumericalsimulationdemonstratethattheproposedguidancemethodcanachieveprecisecontrolfortransferringorbitunderconditionsofdepletedshutdown.

Responsivespaceaccess;Depletedshutdown;Closedloopguidance;Energymanagement

2014-04-16

張如飛(1981-)，男，安徽懷遠人，博士后，高級工程師，主要研究方向為導航、制導與控制；趙世范(1943-)，男，上海人，研究員，主要研究方向為導航、制導與控制。

V448.21; TJ765.2

： A

1006-3242(2014)05-0016-05