王爭(zhēng)利,覃彥福 (長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院城市建設(shè)系,湖北荊州 434020)

柯式公式的迭代法求解研究

王爭(zhēng)利,覃彥福 (長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院城市建設(shè)系,湖北荊州 434020)

在雷諾數(shù)Re=232149.5,相對(duì)粗糙度K/d=0.000966的條件下,給出實(shí)際工程常用區(qū)間范圍[0.008,0.1]的柯列波洛克-懷特公式數(shù)學(xué)特性曲線,為采用迭代方法計(jì)算摩擦阻力系數(shù)提供依據(jù)。分別對(duì)柯列波洛克-懷特公式及其4個(gè)不同變形公式能否適用于迭代計(jì)算進(jìn)行比較分析,使用二分法和黃金分割法對(duì)適用于迭代的變形公式進(jìn)行MATLAB編程計(jì)算,計(jì)算顯示在適合迭代的公式中,公式的形式對(duì)迭代結(jié)果、迭代步數(shù)、迭代時(shí)間沒(méi)有影響。

柯列波洛克-懷特公式;迭代計(jì)算;二分法;黃金分割法

利用柯列波洛克-懷特公式(簡(jiǎn)稱柯式公式)可以計(jì)算工業(yè)管道紊流三區(qū)的摩擦阻力系數(shù)(又稱為摩擦因子、沿程阻力系數(shù)),從而計(jì)算管道的阻力,在采暖、空調(diào)及燃?xì)夤こ讨袘?yīng)用廣泛,文獻(xiàn)[1]用柯式公式計(jì)算了鋼管內(nèi)熱水的摩擦阻力系數(shù),并編制40～90℃間隔10℃水力計(jì)算表;同時(shí)也將其用于計(jì)算紊流過(guò)渡區(qū)空調(diào)水系統(tǒng)開(kāi)式管網(wǎng)與閉式管網(wǎng)的摩擦阻力系數(shù),編制空調(diào)水力計(jì)算表。文獻(xiàn)[2]依據(jù)柯式公式及其改進(jìn)公式編制了3類9種常用風(fēng)管的水力計(jì)算表?！冻擎?zhèn)燃?xì)庠O(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50028-2006)推薦燃?xì)夤艿滥Σ磷枇ο禂?shù)λ按柯氏公式計(jì)算:

式中,K為管壁內(nèi)表面的當(dāng)量絕對(duì)粗糙度,mm;d為管道內(nèi)徑,mm;Re為雷諾數(shù)。

許多學(xué)者[3～7]就自己所從事的工程領(lǐng)域,尤其是燃?xì)夤こ填I(lǐng)域利用不同的方法對(duì)柯氏公式進(jìn)行求解,以獲得摩擦阻力系數(shù)計(jì)算阻力損失,不同作者使用的計(jì)算方法不同,迭代法以二分法、牛頓法為主,少數(shù)作者[8]用到了牛頓迭代法的改進(jìn)方法——弦割法,總的來(lái)看,計(jì)算方法比較單一,注重應(yīng)用,只計(jì)算出結(jié)果,并未對(duì)其計(jì)算方法本身進(jìn)行深入探析。為此,筆者對(duì)柯式公式及其4個(gè)不同變形公式進(jìn)行了比較分析,使用二分法和黃金分割法對(duì)適用于迭代的變形公式進(jìn)行MATLAB編程計(jì)算。

1 幾點(diǎn)說(shuō)明

限于篇幅,特對(duì)分析條件、對(duì)比條件、迭代過(guò)程、收斂條件、計(jì)算算例作如下說(shuō)明:

1)無(wú)論采取哪種方法,迭代的范圍處在[0.008,0.1],其依據(jù)是文獻(xiàn)[1]提供的莫迪圖;收斂的最小值取ε=10-6,將條件統(tǒng)一,便于不同方法之間的比較。

3)判斷迭代效率的依據(jù)除了時(shí)間外,還增加了每一種迭代算法的迭代次數(shù),用于比較計(jì)算結(jié)果與效率。

4)編程使用MATLAB6.5.1,在相同條件下運(yùn)行程序。

5)筆者所使用的計(jì)算方法,可參閱文獻(xiàn)[10-11]。

2 柯氏公式的數(shù)學(xué)特性分析

圖1 f1與f2曲線

圖2 柯式公式變形公式函數(shù)曲線

3 柯式公式的變形式及迭代分析

在0.008～0.1(摩擦阻力系數(shù))范圍內(nèi)對(duì)式(3)～式(6)進(jìn)行分析,圖3為式(3)～式(5)右邊項(xiàng)函數(shù)曲線及斜率為1的直線即y=x。由文獻(xiàn)[10]提供的基本迭代過(guò)程的幾何曲線,直接排除式(5),其原因是其變形后突然增加一個(gè)解。圖4是式(6)右邊項(xiàng)在區(qū)間[0.008,0.025]的函數(shù)曲線,由圖4可以看出式(6)同式(5)一樣也是2個(gè)解,但式(6)有一個(gè)解是0,在物理上和編程上都很容易排除,故式(6)可以用于迭代計(jì)算。

圖3 公式(3)～(5)右邊項(xiàng)的函數(shù)曲線

圖4 柯式公式變形公式(6)函數(shù)曲線

4 柯式公式的迭代計(jì)算與結(jié)果分析

針對(duì)式(2)分別采用二分法、黃金分割法求解,其迭代過(guò)程框圖如圖5、圖6所示;式(3)、(4) 和(6)的迭代過(guò)程與之類似,這里不重復(fù)框圖。二分法、黃金分割法計(jì)算結(jié)果列于表1、表2并與阿氏公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

圖5 二分法對(duì)柯氏公式(2)的迭代框圖

圖6 黃金分割法對(duì)柯氏公式(2)的迭代框圖

表1 對(duì)柯氏公式用二分法迭代計(jì)算摩擦阻力系數(shù)的結(jié)果

表2 對(duì)柯氏公式用黃金分割法迭代計(jì)算摩擦阻力系數(shù)的結(jié)果

由表1和表2可以明顯看出,盡管方程形式不同,迭代方法不同,但迭代時(shí)間和迭代結(jié)果相對(duì)于阿氏公式計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差基本相同且相對(duì)誤差十分小,計(jì)算結(jié)果的精度均滿足工程要求?？率瞎降淖冃涡问匠吮旧聿贿m合迭代的式(5)外,公式的變形式(2)～(4)和式(6)對(duì)迭代結(jié)果、迭代步數(shù)、迭代時(shí)間,影響不大;二分法對(duì)式(2)～(4)和式(6)迭代結(jié)果、迭代步數(shù)是完全相同的,迭代時(shí)間接近,黃金分割法也是如此,但二分法的計(jì)算誤差及迭代步數(shù)明顯小于黃金分割法。

5 結(jié)論

對(duì)柯氏公式的4種變形式進(jìn)行迭代分析,并在[0.008,0.1],雷諾數(shù)Re=232149.5,相對(duì)粗糙度K/d=0.000966的條件下,對(duì)相應(yīng)的公式進(jìn)行了迭代求解,將迭代結(jié)果與阿氏公式進(jìn)行比對(duì),得出結(jié)論如下:

1)柯氏公式的4種非恒等變形式(3)～(6)中,除式(5)不能迭代計(jì)算外,其余均適合于迭代計(jì)算;

2)柯氏公式適合于迭代的變形式(2)～(4)和式(6),公式變形形式對(duì)迭代步數(shù)、迭代結(jié)果影響不大,但迭代方法對(duì)迭代影響較大,黃金分割法在收斂速度上明顯略于二分法,若進(jìn)行大量運(yùn)算所需計(jì)算時(shí)間必然要長(zhǎng);

3)無(wú)論是二分法還是黃金分割法求解摩擦阻力系數(shù),其求解結(jié)果均能滿足工程需求。

[1]陸耀慶,唐世杰,季偉,等.《實(shí)用供熱空調(diào)設(shè)計(jì)手冊(cè)》[M].第2版.北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,2008.

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[編輯]洪云飛

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1673-1409(2014)19-0019-04

2013-11-04_

王爭(zhēng)利(1982),男,碩士,講師,現(xiàn)主要從事建筑環(huán)境與能源應(yīng)用方面的教學(xué)與研究工作。