劉芷含

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，教師應(yīng)根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求提煉出數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)過(guò)程要以揭示數(shù)學(xué)思想方法為主線，不同的數(shù)學(xué)思想方法在不同的階段有著不同的處理方法.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；思想方法；課堂教學(xué)

三角函數(shù)的教學(xué)一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是體現(xiàn)“雙基”的典例，然而教學(xué)效果卻不盡如人意.究其根源，過(guò)去的教學(xué)大綱片面強(qiáng)調(diào)三角恒等變形技巧的訓(xùn)練，過(guò)于強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，但缺乏實(shí)際背景的支撐，即忽視了三角函數(shù)的主干作用，忽視了數(shù)學(xué)思想方法的研究.現(xiàn)在高中新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出三角函數(shù)是描述周期變化的重要數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模，強(qiáng)調(diào)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系.然而在高中三角函數(shù)中涉及的數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、向量思想、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學(xué)思想方法，如何從數(shù)學(xué)的形式演繹體系中挖掘出來(lái)，教學(xué)過(guò)程中如何處理才能突顯其作用？

一、超越形式演繹，挖掘數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)是由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的，問(wèn)題解決的過(guò)程包含了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題四個(gè)步驟，其中又伴隨著邏輯推理和理論抽象.而這些都是受到一系列數(shù)學(xué)思想方法控制和引導(dǎo)的.由此數(shù)學(xué)思想方法的主導(dǎo)地位就十分突出了.

張奠宙先生曾指出：“數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)，是形式化的演繹體系，數(shù)學(xué)教育的任務(wù)是將這種學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).教育形態(tài)的靈魂就是數(shù)學(xué)思想方法.”數(shù)學(xué)思想方法能給冰冷的數(shù)學(xué)注入火熱的思考.

二、內(nèi)隱操作，感悟數(shù)學(xué)思想

對(duì)于三角函數(shù)的處理，《國(guó)家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將重心放在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模和加強(qiáng)幾何直觀兩點(diǎn)上.一方面，《課程標(biāo)準(zhǔn)》突出三角函數(shù)的實(shí)際背景和應(yīng)用，即強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的模型作用；另一方面，突出幾何直觀對(duì)理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用，即發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認(rèn)識(shí)和理解由任意角的三角函數(shù)定義延伸出的整個(gè)演繹系統(tǒng).因此，教師要緊扣這兩點(diǎn)展開(kāi)教學(xué).模型思想和數(shù)形結(jié)合思想在這個(gè)階段的主要教學(xué)策略是“讓學(xué)生探索、構(gòu)建與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能”，隱藏在背后的數(shù)學(xué)思想方法基本上是由學(xué)生在探索、構(gòu)建與掌握知識(shí)中去“感悟”.

1.模型思想

三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.教學(xué)過(guò)程中可根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)創(chuàng)設(shè)情境.例如，通過(guò)單擺、彈簧、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)以及波浪、潮汐、四季變化等實(shí)際背景，使學(xué)生感受圓周運(yùn)動(dòng)的廣泛性，認(rèn)識(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，順勢(shì)提問(wèn)：函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的模型，什么樣的函數(shù)才能反映圓周運(yùn)動(dòng)的周期性呢？這樣既解決了引入任意角的三角函數(shù)的必要性問(wèn)題，又讓學(xué)生感悟了模型思想.在研究三角函數(shù)性質(zhì)后，注意運(yùn)用這一模型刻畫(huà)和描述實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，高于生活，模型可用來(lái)解決包括原型在內(nèi)的更加廣泛的問(wèn)題.

2.數(shù)形結(jié)合思想

從初中階段學(xué)生所認(rèn)識(shí)的銳角到任意角，從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)，在知識(shí)、方法和思維上都有很大的跨越，教學(xué)的重點(diǎn)就是在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到與之有內(nèi)在聯(lián)系的“固著點(diǎn)”.首先要讓學(xué)生理解終邊坐標(biāo)定義，由“取點(diǎn)——求距離——算比值”三個(gè)步驟組成.然后引入單位圓，將比值簡(jiǎn)化為坐標(biāo).在對(duì)概念的內(nèi)涵、外延、變形、應(yīng)用進(jìn)行講解時(shí)，突出強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的幾何意義，整個(gè)概念教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生深刻感悟幾何直觀的妙用.當(dāng)然，對(duì)單位圓的認(rèn)識(shí)不能一步到位，需在后續(xù)的三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式等的教學(xué)中循環(huán)上升，逐步加深在單位圓中研究三角函數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)和理解，同時(shí)提高應(yīng)用意識(shí).

三、主動(dòng)運(yùn)用，積累數(shù)學(xué)思想

《課程標(biāo)準(zhǔn)》處理三角恒等變換的重點(diǎn)在于讓學(xué)生體會(huì)向量在處理三角函數(shù)問(wèn)題中的工具作用以及向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系、三角恒等變換公式之間的內(nèi)在聯(lián)系.知識(shí)之間的聯(lián)系這條明線是由數(shù)學(xué)思想方法這條暗線串聯(lián)起來(lái)的，三角恒等變換的核心內(nèi)涵就是轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)是“做”出來(lái)的，在本階段的教學(xué)中，要突出教師的導(dǎo)向性作用，既要使用顯性而明確的語(yǔ)言概括出數(shù)學(xué)活動(dòng)背后的數(shù)學(xué)思想，還要構(gòu)造一些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練，以增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)，并在“做”中不斷積累經(jīng)驗(yàn).

1.向量思想

兩角差的余弦公式是一個(gè)基礎(chǔ)命題，如果由單位圓的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行圖形建構(gòu)和變換來(lái)論證，其中的“單位圓”會(huì)對(duì)理論構(gòu)建提出“嚴(yán)謹(jǐn)性”的質(zhì)疑.《課程標(biāo)準(zhǔn)》建議用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示作為論證兩角差的余弦公式的基礎(chǔ).這樣既突出向量在解決三角函數(shù)問(wèn)題中的工具作用，又解決了幾何論證的直觀性與數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性的矛盾.教學(xué)過(guò)程中可將兩種方法進(jìn)行對(duì)比，孰優(yōu)孰劣，一目了然.但要注意課堂時(shí)間的控制，一定不要在幾何論證上深挖洞.

2.轉(zhuǎn)化與化歸思想

三角恒等變換蘊(yùn)含的公式繁多，每個(gè)公式又有不同的形態(tài)，這些看似零散的公式可用轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，升華成一個(gè)有規(guī)律的系統(tǒng)的知識(shí)鏈條.在處理三角恒等變換問(wèn)題時(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸具體體現(xiàn)在尋求已知與未知、條件與結(jié)論、新知與舊知的內(nèi)在聯(lián)系，化復(fù)角為單角，化未知為已知，化“異名”為“同名”，化切、割為弦，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，降維等.其實(shí)質(zhì)都是利用分析與綜合建立已知與未知的聯(lián)系.練習(xí)是學(xué)好三角恒等變換的必要環(huán)節(jié)，在學(xué)生“做”的過(guò)程中明確指出數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生邊“做”邊感悟，“做”后反思感悟.