林德旺

【關(guān)鍵詞】《圓的對(duì)稱性》 概念

課堂教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）02A-

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在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，我們往往會(huì)在不經(jīng)意間“遭遇”各種意料之外的情形。正確處理情理之中與意料之外的生成，不僅促使學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解更加透徹，也凸顯了學(xué)生在課堂教學(xué)活動(dòng)中的主體地位，幫助學(xué)生在探究活動(dòng)中獲得更為全面的發(fā)展。

一、合情引入——從實(shí)際需要起始

數(shù)學(xué)概念的建立過程，是建立在學(xué)生對(duì)一類事物的具體感知基礎(chǔ)上的，只有積累了足夠的感性體驗(yàn)，并以問題導(dǎo)向?yàn)橹敢瑤椭鷮W(xué)生從中抽象出其本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念才能清晰地烙在學(xué)生的腦海中。在教學(xué)實(shí)踐中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容緊密相連，便于學(xué)生進(jìn)行抽象思考的具體場(chǎng)景，使學(xué)生感到抽象的必要性，認(rèn)識(shí)到概念建立的有效價(jià)值。

如，在教學(xué)人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《圓的對(duì)稱性》一課的導(dǎo)入階段，筆者首先出示了趙州橋的圖片，以簡(jiǎn)短的語(yǔ)言向?qū)W生介紹了趙州橋的歷史淵源，讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲望。同時(shí)，結(jié)合趙州橋的具體形狀，讓學(xué)生形象地感知跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）、拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離），為學(xué)生對(duì)概念的理解建立一個(gè)具體的表象。接著筆者提出探究活動(dòng)的起始問題：現(xiàn)有一艘貨船，已知船長(zhǎng)8米，船寬4米，能否從橋下通過呢？以經(jīng)過實(shí)際情境包裝下的問題引發(fā)學(xué)生思考。

師：如果你是船長(zhǎng)，你打算怎樣確定能否安全通過？

生：我要知道橋拱最高的地方離水面有多少米，防止貨船的最上面擦到橋拱。

生：還有船身的寬度要比橋墩的跨度小。

……

最后筆者讓學(xué)生動(dòng)手操作，進(jìn)一步拉近學(xué)生與學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的距離，組織學(xué)生在一系列的實(shí)踐活動(dòng)中思考并探究——

1.畫一畫：在一張半透明的紙上畫一個(gè)圓，并通過圓心O作一條直徑。

2.折一折：將圓沿著直徑折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.連一連：將圓O的直徑標(biāo)為AB，作出弦CD并與AB相垂直，垂足為E。

4.想一想：思考弧AC與弧AD之間有什么關(guān)系？弧BC與弧BD之間又有什么關(guān)系？

從“小步快進(jìn)”中，讓學(xué)生在觀察、操作和小組合作交流中，逐步形成對(duì)垂徑定理的具體感知，以在操作過程中的問題指向引領(lǐng)學(xué)生不斷思考，從而拉動(dòng)學(xué)生的思維一步步地前行。

二、合理形成——確定抽象表達(dá)

概念的形成過程，往往是建立在數(shù)學(xué)符號(hào)的具體表達(dá)上的。數(shù)學(xué)符號(hào)兼具簡(jiǎn)明性和直觀性，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象思維的過程中，及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥和指導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生通過自我探究和感悟，透析概念背后蘊(yùn)含的具體內(nèi)涵，了解并列和從屬關(guān)系下事物之間的聯(lián)系和區(qū)別，使得概念的形成更為牢固。運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言，幫助學(xué)生明確表達(dá)概念的內(nèi)涵和外延，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念中的概括性和濃縮性，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。同時(shí)，讓學(xué)生真正掌握概念符號(hào)的意義，學(xué)會(huì)運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)概念定義進(jìn)行描述，能夠促進(jìn)學(xué)生壓縮思維過程，使得思考更為順暢。

如，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)垂徑定理進(jìn)行理解時(shí)，教師具有針對(duì)性地對(duì)下面幾點(diǎn)進(jìn)行了點(diǎn)撥：

（一）適當(dāng)提煉，方便記憶

垂徑定理可以通過“兩個(gè)條件”和“三個(gè)結(jié)論”進(jìn)行記憶和理解，為了避免學(xué)生形成機(jī)械式記憶，教師以圖表的樣式，引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)。

讓學(xué)生對(duì)垂徑定理進(jìn)行剖析，挖掘其中的內(nèi)涵，教師適當(dāng)點(diǎn)撥，最終形成下表：

（二）依托圖形，公式記憶

以一般對(duì)圖形中字母的規(guī)范用法，對(duì)半徑、弦心距及弓高的關(guān)系進(jìn)行記憶，使得學(xué)生在應(yīng)用知識(shí)中提取相關(guān)記憶內(nèi)容時(shí)，能即時(shí)在腦海中浮現(xiàn)出相關(guān)圖形的信息。如在記憶弓高時(shí)，結(jié)合兩種不同情況下弓高的計(jì)算公式，學(xué)生能迅速在腦中提取圖形（如右圖）：

以圖表或圖形的方式，在幫助學(xué)生理解識(shí)記的過程中提供“扶手”的作用，使得學(xué)生學(xué)有依托、記有憑借。同時(shí)教師有意識(shí)地拉伸了概念建立的過程，幫助學(xué)生經(jīng)歷在教師引導(dǎo)下的“二次發(fā)現(xiàn)”，便于學(xué)生梳理自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使得新知與舊知之間能夠建立聯(lián)系，形成知識(shí)脈絡(luò)，避免死記硬背。

三、意外生成——促進(jìn)深化理解

在實(shí)際探究過程中，因?yàn)閷W(xué)生的個(gè)性體驗(yàn)和多樣化認(rèn)知基礎(chǔ)，他們會(huì)提出各種旁逸斜出的問題，給出各種彰顯另類的想法。教師要尊重學(xué)生思維的獨(dú)特性，挖掘他們表達(dá)背后所經(jīng)歷的觀察、猜想和思考過程，為課堂上的有效生成搭建合理的框架，在各種糾偏和拓展中深化學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解。

在貨船通過橋洞的問題情境中，有學(xué)生提出疑問：如果考慮該貨船上的貨物，比如船上搭載的貨物高度為2米，則應(yīng)該怎樣進(jìn)行思考與解答？

師：他的問題你們聽懂了嗎？

生：我聽懂了！我認(rèn)為這個(gè)問題提得很好，貨船上裝載貨物是很常見的現(xiàn)象。

生：我覺得這才是一個(gè)很好的生活實(shí)際問題。

師：是啊！帶著數(shù)學(xué)的眼光到生活中觀察、思考，真好！那么，這樣一來，貨船在水中就會(huì)……

生：往下沉一點(diǎn)。

師：也就是水面與船面的距離也發(fā)生了變化，吃水量更多了。在通過橋洞之前，我們?cè)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)貨箱底與水平面持平，根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)，請(qǐng)你算一算，這艘貨船能順利通過嗎？

……

教師首先給予提問的學(xué)生高度的贊揚(yáng)，這個(gè)具有現(xiàn)實(shí)化氣息的問題，具有很深刻的挖掘價(jià)值。教師敏銳地把握了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中生成的價(jià)值，避免了課堂上由教師唱獨(dú)角戲的現(xiàn)象，吸引全體學(xué)生的參與，擴(kuò)大了課堂對(duì)話面，讓學(xué)生體驗(yàn)到課堂教學(xué)進(jìn)程中自身的能動(dòng)性，激發(fā)了學(xué)生獨(dú)立思考、全面思考的熱情。同時(shí)從課堂教學(xué)實(shí)際出發(fā)進(jìn)行統(tǒng)籌，將生成的變化進(jìn)行調(diào)整，在本課的最后總結(jié)測(cè)試階段再次予以出示，使得整節(jié)課首尾呼應(yīng)，渾然一體。

四、別樣變式——提升靈活運(yùn)用

在數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用階段，教師應(yīng)充分利用變式，變換問題的表面特征如角度、層次、背景等，突出問題的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，以問題的漸進(jìn)性逐步培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提升學(xué)生對(duì)于概念掌握的深刻程度。同時(shí)，為避免機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和自身需要，進(jìn)行有針對(duì)性的編排，在變化中反復(fù)多維理解，保持練習(xí)的新鮮感，激起學(xué)生練習(xí)的熱情。

在教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了以階梯狀層次分布的練習(xí)題組，幫助學(xué)生由淺入深地掌握本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

層次一：如圖①，在⊙O中，△ABC是一個(gè)頂角為40°的等腰三角形，求∠B的度數(shù)。

層次二：如圖②，⊙O的直徑有AD、BE、CF，且∠1=∠2=∠3。弦AB、CD、EF相等嗎？為什么？

層次三：如圖③，點(diǎn)A、B、C、D均在⊙O上，已知AB=DC，試證明AC=BD。

通過調(diào)整圖中三角形的形狀、位置和個(gè)數(shù)，讓學(xué)生在變化中體會(huì)不變，幫助學(xué)生熟練運(yùn)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能應(yīng)用垂徑定理等解決有關(guān)問題。為了讓學(xué)生擺脫單純紙面練習(xí)的枯燥和單調(diào)，筆者進(jìn)一步加強(qiáng)了習(xí)題與生活之間的貫通聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)實(shí)際運(yùn)用中的靈活變通——

層次四：在生活中我們經(jīng)常要確定圓形的圓心。有這樣一個(gè)工具（如圖⑤），MN所在的直線與AB相互垂直且平分AB，用這個(gè)工具最少只要兩次就能找到圓心，你能說明其中的數(shù)學(xué)道理嗎？

層次五：如圖⑥，張強(qiáng)家圓形餐桌上的玻璃碎了。要配與一塊原來的圓形玻璃一樣大小的坡璃，張強(qiáng)應(yīng)該帶哪一塊玻璃去商店呢？請(qǐng)說明理由。

開展概念教學(xué)時(shí)，兼顧“合情合理”和“出乎意料”，使得學(xué)生在概念的建立與運(yùn)用過程中，既讓概念的學(xué)習(xí)過程扎實(shí)而穩(wěn)固，同時(shí)又充滿各種驚奇和挑戰(zhàn)。在兩者的平衡之間行走，概念教學(xué)就可以擺脫呆板單一的教學(xué)套路。

（責(zé)編 林 劍）