鐘志向

【關(guān)鍵詞】圖式語(yǔ)言 數(shù)學(xué)表達(dá)？搖

數(shù)學(xué)思維 習(xí)題資源

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）01A-

0041-02

數(shù)學(xué)語(yǔ)言不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維的載體，是數(shù)學(xué)交流的有力工具。數(shù)學(xué)語(yǔ)言分為：文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖式語(yǔ)言。圖式語(yǔ)言作為一種直觀的語(yǔ)言符號(hào)，它比文字語(yǔ)言的表述更簡(jiǎn)潔、比符號(hào)語(yǔ)言更直觀，具有形象具體和簡(jiǎn)單抽象的雙重特性?，F(xiàn)以北師大版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第三單元《分?jǐn)?shù)》中的“找最小公倍數(shù)”“練一練”第4題（如右圖）的教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生利用圖式語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表達(dá)和交流。

一、尋因索果，引類比聯(lián)想

文字、符號(hào)和圖式語(yǔ)言敘述的分離與結(jié)合的過(guò)程，其實(shí)就是思維活動(dòng)深入展開(kāi)的過(guò)程，分離越清楚，結(jié)合就越緊密，越能幫助學(xué)生建立與概念相關(guān)的直觀表象，感悟數(shù)與形、形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到發(fā)揮幾何直觀中利用圖形直接洞察問(wèn)題本質(zhì)之作用。

【片段一】

師：怎么解決第一小題？

生：就是求公倍數(shù)。（稍許）不，應(yīng)該是求最小公倍數(shù)才對(duì)。

（大部分學(xué)生都還在讀題時(shí)，就有一學(xué)生提出了解決問(wèn)題的思考方向，學(xué)生質(zhì)疑，該生解釋）

生：沒(méi)有相遇時(shí)爸爸媽媽是各跑各的，相遇時(shí)，說(shuō)明他倆跑的路線有了交點(diǎn)，像這樣（比劃模仿爸爸媽媽相遇的情景），這個(gè)交點(diǎn)是共同的、公有的。你們看他倆跑步的圖（用兩個(gè)手指頭畫弧線表示兩人所跑的路線），很像是相交的集合圖，公倍（因）數(shù)的圖也是這樣表示的啊。我想他倆要在起點(diǎn)處相遇，那所用時(shí)間和一圈所用時(shí)間的倍數(shù)有關(guān)，又是第一次相遇，那肯定和最小公倍數(shù)有關(guān)。

當(dāng)我們用圖解（如圖1）的形式把該生的講述表示出來(lái)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)他的思考過(guò)程所借助的“形”近似于求“最小公倍數(shù)”時(shí)所采用的圖示語(yǔ)言（圖2）?；仡櫋罢易钚」稊?shù)”教學(xué)時(shí)，教材首先要求學(xué)生用△和○分別從表格中的1～50標(biāo)出4和6的倍數(shù)，接著要求學(xué)生尋找“既標(biāo)有△又標(biāo)有○的數(shù)”，再給（最?。┕稊?shù)下定義，接著教材安排了“填一填”（圖2）利用集合圖表示50以內(nèi)6和9的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。多層次剖析活動(dòng)的展開(kāi)，學(xué)生在多種感官齊參與、多種活動(dòng)同進(jìn)行中借助圖式（圖表、集合圖）語(yǔ)言，理解、表述和記憶關(guān)于“（最小）公倍數(shù)”簡(jiǎn)潔的文字?jǐn)⑹?，在不斷深化概念理解的過(guò)程中理解求公倍數(shù)諸多方法的異同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了大數(shù)翻倍法找公倍數(shù)方法的快捷優(yōu)越性，還建立了“最小公倍數(shù)”相關(guān)的“集合圖”的表征。

6和9的最小公倍數(shù)是 。

不難看出，當(dāng)問(wèn)題情境出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生就從已有情境圖所提供的形狀特點(diǎn)、變化趨勢(shì)、相關(guān)數(shù)據(jù)等方面的已知條件出發(fā)，在迅速過(guò)濾掉用語(yǔ)言文字描述的問(wèn)題中非本質(zhì)信息后，得以闡明未明確表示的隱蔽關(guān)系，而類似的圖示表征引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生類比，自覺(jué)地把題意轉(zhuǎn)化為相近的、直觀的圖示，并聯(lián)想到構(gòu)造與之相關(guān)的幾何圖形，再到相關(guān)概念或定理及公式上，從而迅速找到解題的突破口。

在教學(xué)過(guò)程中，用知識(shí)的實(shí)際原型（形）和描述性的語(yǔ)句（文）相結(jié)合的方式，以“形”喻“義”、“義”隱于“形”，幫助學(xué)生建立關(guān)于知識(shí)的清晰圖式表征，為學(xué)生長(zhǎng)久儲(chǔ)存和快速提取數(shù)學(xué)知識(shí)提供了可能。

二、揭示本質(zhì)，展思維過(guò)程

同一個(gè)數(shù)學(xué)思維過(guò)程用文字表述則生動(dòng)，用符號(hào)表示則簡(jiǎn)練，用圖形表達(dá)則直觀形象。

第一小題的交流討論教學(xué)片段：

師：用什么方法能讓人一目了然地了解你的解題思路？

生：用圖（如下圖）。圓圈表示操場(chǎng)，用箭頭表示爸爸媽媽的運(yùn)動(dòng)軌跡，用算式表示他倆在運(yùn)動(dòng)中相對(duì)的位置。

該生通過(guò)圖式方式呈現(xiàn)問(wèn)題情境，形象直觀地勾勒了數(shù)學(xué)研究對(duì)象，輔于廖廖文字描述，使理解不囿于圖中的具體事物，概括水平高。這里所指的“圖式”并不僅僅局限于幾何圖形，還有運(yùn)算符號(hào)、圖形以及方框、箭頭等直觀符號(hào)組合表示的圖式語(yǔ)言，甚至用文字、符號(hào)等表示出來(lái)的數(shù)量關(guān)系式等。直觀的圖式語(yǔ)言揭示了隱蔽的數(shù)量關(guān)系，架通了“相遇”和“公倍數(shù)”之間的聯(lián)系；動(dòng)態(tài)的進(jìn)程演示，讓學(xué)生的觀察、類比有了實(shí)體，具體精確計(jì)算下的猜想與分析，讓推理與證明變得“通透”，讓問(wèn)題本質(zhì)得以展現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)得以突破。

圖形化的語(yǔ)言表述形式是形象表達(dá)、顯示數(shù)量或多個(gè)數(shù)量之間邏輯關(guān)系的結(jié)構(gòu)化圖形。它雖然不能作為論證的依據(jù)，但它提供了一個(gè)思維模式，是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)。它是一種教學(xué)工具、策略或技術(shù)，通過(guò)數(shù)與形相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生建立與知識(shí)相關(guān)的圖式語(yǔ)言，并借此幫助學(xué)生由義及形、形義一體地去理解和運(yùn)用知識(shí)。教學(xué)時(shí)教師應(yīng)有意識(shí)訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生借助圖形實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間進(jìn)行合情轉(zhuǎn)換的能力，善于借助常用的圖式語(yǔ)言，如線段圖、數(shù)軸圖、集合圖、單位圓、幾何圖等，指導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖式語(yǔ)言進(jìn)行表述，在經(jīng)歷把“文”中的語(yǔ)言信息重新組織、整理、加工、補(bǔ)充進(jìn)“形”中的“再創(chuàng)造”活動(dòng)中，達(dá)到借助圖式化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)情境，化抽象文字為直觀圖示，化“無(wú)形”思維進(jìn)程為“有形”推理之作用，以獲得關(guān)于問(wèn)題本質(zhì)特性、聯(lián)系和關(guān)系的知識(shí)。

三、延伸拓廣，促模型建立

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是在不斷地抽象、概括、模式化的過(guò)程發(fā)展和豐富起來(lái)的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

在解決“請(qǐng)你再提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并嘗試解答”時(shí)，有個(gè)別學(xué)生提出“三人幾分鐘后在起點(diǎn)處相遇”。相比上題，其探討的點(diǎn)由“兩人相遇”擴(kuò)展到“三人相遇”，由“第一次相遇”擴(kuò)展到“相遇”，顯然和剛剛總結(jié)出來(lái)的解題模型條件不大相符合，問(wèn)題難度系數(shù)大了。但在沒(méi)有“幫扶”下，學(xué)生的解答效果非常好。課后，筆者就“為什么你能很快地解決這個(gè)問(wèn)題”這個(gè)話題與不同程度的學(xué)生進(jìn)行交流，孩子的回答如出一轍：兩人在環(huán)形跑道上相遇如交在一起的集合圖，說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題和公倍數(shù)有關(guān)；“8分鐘后，再8分鐘后，再8分鐘后，也就是24分鐘后三人第一次在起點(diǎn)處相遇，以后每次經(jīng)過(guò)24分鐘后三人都會(huì)相遇……從學(xué)生的回答可以看出，在這習(xí)題的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有三個(gè)方面的“?！鼻度胨麄兡X中：一是內(nèi)容層面的，即“相遇”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征；二是方法層面的，即“利用圖式分析和解決問(wèn)題”的解題思路；三是思想層面的，即從一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，在經(jīng)歷了對(duì)其解答的過(guò)程之后，能將解決它的方法和思路進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用。

知識(shí)加工越精致，形成的圖式就越合理、越牢固，就越容易產(chǎn)生遷移，越有利于變通性思維的發(fā)展。幫助學(xué)生把從代數(shù)問(wèn)題分析中抽出的圖式語(yǔ)言上升到或納入數(shù)學(xué)模型，能提高學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題快速退到最原始最簡(jiǎn)單的同構(gòu)性知識(shí)、模型，并依據(jù)已建立的與知識(shí)概念相對(duì)應(yīng)的圖示模型來(lái)解決具體問(wèn)題的本領(lǐng)。