張永立，苗志宏，姚青梅，劉麗英

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動化學(xué)院，天津 300222；2.天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津 300222；3.中國人民武裝警察部隊學(xué)院，河北廊坊 065000）

參數(shù)時變的線性、非線性結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題一直是科學(xué)研究的前沿問題，吊車系統(tǒng)是一種典型的非線性、強耦合，欠驅(qū)動系統(tǒng)，是動力學(xué)、數(shù)學(xué)和控制理論三大基礎(chǔ)學(xué)科的有機結(jié)合體，在現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展過程中起到了舉足輕重的作用。作為一種應(yīng)用廣泛的起重、吊裝、運輸機械設(shè)備，吊車種類繁多，包括各種起重機械，如工業(yè)用的天車、電動葫蘆、龍門吊車，建筑業(yè)用的塔吊以及龍門式機械手等等。吊車系統(tǒng)存在變負荷、變繩長等時變參數(shù)，其負載的防擺問題也一直是人們關(guān)注的關(guān)鍵控制問題，長期以來得到了廣泛的重視并成為非線性控制領(lǐng)域的研究熱點之一。解決好吊車的防擺等關(guān)鍵控制問題，對當(dāng)前的工業(yè)發(fā)展和保證安全生產(chǎn)具有重要的意義。

針對特色作物病蟲治理示范和稻水象甲疫情防控，集中技術(shù)力量和物資，通過建設(shè)防控技術(shù)核心示范點，并在核心示范區(qū)設(shè)立低毒主推農(nóng)藥防治展示，強化技術(shù)培訓(xùn)，提高防治技術(shù)的普及率、到位率、入戶率。在病蟲防治的重要適期，各地通過電視專題節(jié)目、培訓(xùn)會、現(xiàn)場會、宣傳資料、標(biāo)語、墻報、宣傳車等各種有效形式，做好對基層農(nóng)技干部、農(nóng)民技術(shù)員、廣大農(nóng)戶的技術(shù)培訓(xùn)、宣傳和防治動員工作。

對于固定繩長的情況，吊車的數(shù)學(xué)模型為非線性時不變系統(tǒng)，這種情況的抗擺控制比較容易，相關(guān)的控制方法也有很多。文獻［1］采用輸入整形（Input Shaping）的控制方法來進行防擺控制；文獻［2］討論了模糊滑模控制在吊車防擺控制中的應(yīng)用。此外，涉及到的控制方法還有反饋控制［3-4］，增益調(diào)度［5］，模糊控制［6］等等。馬博軍等提出一種基于能量分析的控制方法和一種基于臺車運動規(guī)劃的自適應(yīng)控制策略，并對緊急情況下的制動控制器設(shè)計進行了深入研究［7-9］。焦辰輝采用基于變論域自適應(yīng)模糊控制理論針對當(dāng)前研究中存在的問題，結(jié)合模糊滑?？刂婆c變論域自適應(yīng)模糊控制理論設(shè)計了一種新的自適應(yīng)模糊滑模控制器［10］，變論域自適應(yīng)模糊控制的引入使得控制器結(jié)構(gòu)簡單、起重機的定位與防擺更加快速、準(zhǔn)確且無超調(diào)，保證了控制系統(tǒng)對系統(tǒng)參數(shù)變化和外界干擾的強魯棒性，并在仿真和實物實驗上得到了驗證。近來，人們對三維吊車的研究中新技術(shù)與高級算法的融合非常明顯。比如文獻［11］研究了基于傳感空間三維定位技術(shù)的塔吊防撞監(jiān)控系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)；文獻［12］提出了一種基于視覺的反饋控制方法；文獻［13］提出了一種虛擬仿真器來訓(xùn)練塔吊司機，等等。此外，文獻［14］中介紹控制器設(shè)計方法與文獻［15］提出的仿真方法對三維吊車的控制器設(shè)計與仿真也具有一定的幫助和指導(dǎo)意義。

實際上，吊車系統(tǒng)本質(zhì)上是一個強非線性的系統(tǒng)，固定繩長只是人們?yōu)榱撕喕惴ǘ扇〉囊环N假設(shè)，很多情況要求吊車在繩長快速變化的情況下完成各種起重、運輸動作。當(dāng)繩長快速變化時，繩長和擺角具有較強的耦合性，這種情況下用假設(shè)繩長不變的算法來進行防擺控制效果不佳。目前，對將繩長作為可變參數(shù)的吊車防擺控制方法的討論很少。吊車系統(tǒng)在運動過程中由于負載、繩長、狀態(tài)等參數(shù)的變化，會引起模型參數(shù)的實時變化，這對防擺控制造成了困難。本文針對這一難題，首先，采用坐標(biāo)變換的方法建立了三維吊車的數(shù)學(xué)模型［16］。其次，采用分離變量的方法將吊車系統(tǒng)分成防擺控制系統(tǒng)和繩長控制系統(tǒng)。其中防擺控制系統(tǒng)為平衡控制，繩長控制系統(tǒng)可以根據(jù)實際情況來設(shè)定繩長、繩長變化速度、繩長變化加速度的變化規(guī)律。因為繩長、繩長變化速度、繩長變化加速度是隨時間變化的參數(shù)，因此可以將吊車防擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型簡化成時變非線性系統(tǒng)，進一步將該系統(tǒng)在平衡點處進行線性化，就會得到三維吊車的時變線性系統(tǒng)；然后，根據(jù)這個時變線性模型，設(shè)計了變增益LQR控制器來進行防擺控制，該方法在倒立擺控制系統(tǒng)中得到成功應(yīng)用［17-20］。變增益LQR控制的關(guān)鍵是實時計算線性系數(shù)矩陣，并求解代數(shù)黎卡提方程，進而得到實時變化的最優(yōu)反饋增益。該系統(tǒng)的時變系數(shù)矩陣是由繩長的變化而引起的，因此，反饋增益也是隨繩長的變化而變化，從而實現(xiàn)了變繩長防擺控制。仿真實驗結(jié)果證明：變增益LQR控制方法具有較強的自適應(yīng)性，當(dāng)繩長快速縮短（提升負載）時防擺效果尤其明顯，有效地提高了控制性能。

1 動力學(xué)建模

1.1 工程中常用的歐拉角定義方法

如圖1所示，固定坐標(biāo)系為oxyz，以ox為固定軸將oyz旋轉(zhuǎn)ψ角生成固連于剛體的動坐標(biāo)系ox′y′z′，然后再以oy′為固定軸將ox′z′旋轉(zhuǎn)θ角生成固連于剛體的動坐標(biāo)系ox″y″z″，最后以o-z″為固定軸將ox″y″旋轉(zhuǎn)φ角生成固連于剛體的動坐標(biāo)系ox?y?z?，這里角ψ稱為進動角，角θ稱為章動角，角φ稱為自轉(zhuǎn)角。這種歐拉角的取法易于理解，在結(jié)構(gòu)上便于實現(xiàn)，因此在工程上經(jīng)常如此來定義空間角度。此外，角速度是矢量，角速度的方向是根據(jù)右手螺旋定則確定的，即：從上往下看旋轉(zhuǎn)面，將右手4指圍成圈，拇指伸直，4指方向與旋轉(zhuǎn)方向相同，拇指方向即為角速度方向，也就是順時針旋轉(zhuǎn)，角速度向下；逆時針旋轉(zhuǎn)，角速度向上。

1.2 三維吊車建模

綠色、健康生產(chǎn)理念已深入人心，為滿足人們的健康飲食要求，需要針對常見蔬菜病蟲害問題，加強監(jiān)管，采取科學(xué)的防治措施，減少病蟲害的影響，以為社會供應(yīng)更加健康、營養(yǎng)的蔬菜。

圖1 一種歐拉角定義示意圖Fig.1 Schematic diagram for a kind of Euler angles

圖2 三維吊車系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Simplified structure of the three dimensions crane

根據(jù)坐標(biāo)變換原理，將臺車、吊繩和負載所在的固連坐標(biāo)系o′x′y′z′變換到固定坐標(biāo)系ox0y0z0。設(shè)臺車在固定坐標(biāo)系ox0y0z0中的坐標(biāo)為 （x，y，0），負載質(zhì)心在固連坐標(biāo)系o′x′y′z′中的坐標(biāo)為（0，0，-l），那么，負載質(zhì)心在固定坐標(biāo)系ox0y0z0中的坐標(biāo)（x c，y c，zc）為

即：

其中x為n維狀態(tài)向量，u為m維無約束控制輸入，設(shè)該系統(tǒng)的平衡點為x=0，u=0。

其次，設(shè)oxy平面為零勢能面，系統(tǒng)的總勢能為V=-mglcosψcosθ。

在平衡點ψ=0，θ=0作近似，sinψ≈ψ，sinθ≈θ，cosψ≈1，cosθ≈1，可以得到

1.3 三維吊車的分離變量模型

其中，

式（3）-式（7）為三維吊車的數(shù)學(xué)模型，其中式（3）和式（5）分別為吊車x，y方向上的輸入動態(tài)方程，式（4）和式（6）為擺角ψ，θ的動態(tài)方程，式（7）為繩長動態(tài)方程。如果將繩長、繩長變化速度、繩長變化加速度作為設(shè)定參數(shù)，可以由繩長控制系統(tǒng)來設(shè)定，那么，根據(jù)式（3）-式（6），取q=［x，ψ，y，θ］T就可以得到吊車的防擺控制系統(tǒng)的動態(tài)方程

如圖2所示，三維吊車主要由橋架、臺車、吊繩和負載組成。臺車可以在oxy平面上自由平移。負載通過柔性吊繩與臺車相連。建立如圖2所示的坐標(biāo)系，l表示吊繩長度，即從起擺動點到負載質(zhì)心的距離，由于工程實際中負載的質(zhì)量遠遠大于吊繩的質(zhì)量，因此，這里不考慮吊繩的質(zhì)量，并假設(shè)吊繩沒有柔性彎曲，負載沒有自轉(zhuǎn)；m表示負載的質(zhì)量；M x，M y分別表示x，y方向上運動的等效質(zhì)量。由于臺車沿x方向運動時，臺車與橋架一起運動，所以M x主要是臺車與橋架的質(zhì)量和，而M y主要為臺車的質(zhì)量；ψ表示吊繩在oxz平面上的投影與z軸負方向所成的角，θ表示吊繩與oxz平面的夾角；若在如圖2所示的右手坐標(biāo)系中，約定由y軸正端看，順時針旋轉(zhuǎn)的進動角為正，由x軸正端看，逆時針旋轉(zhuǎn)的章動角（即進動角）為正，那么，此三維吊車系統(tǒng)的進動角為ψ，章動角為-θ，這里自旋角為0；f x，f y和f l分別表示沿x，y和l方向上的拖動力；這里忽略軌道摩擦力和空氣阻力。（x c，yc，zc）表示負載質(zhì)心坐標(biāo)。

基準(zhǔn)低碳混凝土配比為m(水泥)∶m(礦粉)∶m(粉煤灰)∶m(砂)∶m(石子)=165∶149∶16∶760∶1120，用水量以達到混凝土初始坍落度為(80±10)mm時為準(zhǔn).其中煅燒高嶺土粉以基準(zhǔn)樣礦粉總質(zhì)量的10%，20%，30%和40%取代礦粉，詳見表5.

這里Sψ，Cψ，Sθ，Cθ分別表示sinψ，cosψ，sinθ，cosθ。

根據(jù)線性系統(tǒng)理論，如果（A（t），B（t））可控，那么系統(tǒng)（12）的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。通常針對線性定常系統(tǒng)，采用LQR控制器，即線性二次調(diào)節(jié)器可以達到較好的控制效果。但是如果控制對象為時變系統(tǒng)，如果只用某平衡點處的線性化模型來構(gòu)建LQR控制器，勢必會產(chǎn)生很大的誤差，因此本文設(shè)計了一種變增益LQR控制來實現(xiàn)對時變系統(tǒng)的控制。眾所周知，計算機控制過程是一種采樣、運算、控制輸出的過程，整個控制過程可以看成是若干個控制周期（或者稱為采樣周期）組成的，在每個采樣周期內(nèi)都會得到一個系數(shù)矩陣對（A（ti），B（ti）），由此，來逐點設(shè)計LQR控制器，就會得到一個時變的反饋增益矩陣

由此可得Lagrange數(shù)L=T-V，在廣義坐標(biāo)x，y，l上所受的外力分別為f x，f y，f l。在廣義坐標(biāo)ψ，θ上所受的外力為零。得到

傳統(tǒng)的家校共育一般有以下幾種方式：家長會、家訪、家長到訪。這些家校共育形式雖然有利于學(xué)校與家長的溝通，但是也存在著一些弊端。比如，家長會針對的是普遍的問題，家訪雖然針對的是學(xué)生的個體問題，但是實施起來難度較大，因為學(xué)生居住分散，教師時間有限，精力有限，無法滿足所有家長的需求。此外，家長忙于工作，無法隨時來校交流，無法及時了解學(xué)生在校情況，無法開展具有針對性的家庭教育。而在互聯(lián)網(wǎng)背景下，家校共育在形式與內(nèi)容上都有了一定的改進。

其中，

式（11）就是三維吊車系統(tǒng)的分離變量模型，這里沒有考慮負載質(zhì)量的時變性，如果忽略繩長的變化，那么式（11）就是典型的線性定常系統(tǒng)。

楚心晴看這情形，極像當(dāng)今朝堂形勢，心中不由得想起皇后的話來：“妹子，那大將軍若是還有忠君愛國之心，你就拔了他們君臣之間的那根刺。若是沒有，那姐姐求你，為百姓的太平日子，拔了危害朝堂的那根刺！”

2 變增益LQR控制方法

考慮系統(tǒng)

保險管理的三個階段是一個前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣的系統(tǒng)。投保策劃決定了出險后事件的定責(zé)情況、理賠范圍、免賠金額等。保險合同的履行是進行保險理賠的前提。保險理賠階段將損失定量化，以獲得賠付達到轉(zhuǎn)移損失的目的。但是目前很多業(yè)主和承包商并沒有將三個階段很好的結(jié)合起來，投保時風(fēng)險分析不全面，合同履行時不夠重視，理賠時因承保范圍不足，部分或全部損失不能進行理賠等，最終導(dǎo)致理賠效果不佳，經(jīng)濟損失彌補未能達到最大化。

利用Lagrange方法建模，首先，根據(jù)柯尼西定理計算系統(tǒng)的總動能，即臺車與負載的動能之和

站在2018年的歲尾回望一路走來的歷程，我相信，自豪感會充斥在每一個人的心中。而面對未來，我們的任務(wù)將更加艱巨，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)、人工智能和智慧工廠等全新的詞匯出現(xiàn)在大眾視野中，學(xué)習(xí)創(chuàng)新是必不可少的，這一代人肩負著由大到強的光榮使命，站在新的轉(zhuǎn)折點上，很多企業(yè)都積極進行技術(shù)改革創(chuàng)新，抓住時代機遇。

其中R為正定對稱矩陣，P（ti）為Riccati方程（14）的解

因為該方法相當(dāng)于在每一個控制操作點上將時變系統(tǒng)定?；?，然后采用線性二次調(diào)節(jié)器（LQR）理論進行控制器設(shè)計，所以稱之為變增益LQR控制器。

變增益LQR控制器最終歸結(jié)為在線求解代數(shù)黎卡提方程（14），這樣就可以求得隨采樣時間變化的反饋增益矩陣K，實現(xiàn)逐采樣點變增益反饋控制。由于K隨系統(tǒng)狀態(tài)的變化而變化，所以該控制器的自適應(yīng)性和魯棒性有了明顯提高。廣泛用于求解代數(shù)黎卡提方程的數(shù)值算法有舒爾方法和Kleinman迭代法等，大規(guī)模實時計算和數(shù)據(jù)存儲是將這些算法應(yīng)用于實時變增益控制的主要障礙。鑒于此，本文設(shè)計了一個快速Schur算法，用C語言代碼編制程序，并在實物實驗平臺中應(yīng)用成功。

3 仿真實驗

選取吊車實驗參數(shù)M x=6.5 kg，Mv=2.5 kg，m=1 kg，l∈［0.2 m，10.2 m］，線性二次調(diào)節(jié)器的權(quán)矩陣為Q=diag［1，10，1，10，0，0，0，0］，R=diag［0.05，0.05］。根據(jù)線性系統(tǒng)可控性判據(jù)，容易驗證變繩長系統(tǒng)（11）在繩長l∈［0.2 m，10.2 m］內(nèi)變化時，系統(tǒng)是可控的。因此，針對負載快速提升和快速下降（即繩長快速收縮和快速伸長）的情況，本文采用變增益LQR控制器做了仿真實驗，并和固定繩長的LQR控制器做了對比。本文在提升和下降實驗中，固定繩長的LQR控制器的繩長參數(shù)為

假設(shè)負載從靜止?fàn)顟B(tài)迅速提升到一定高度，并移動到指定位置。在提升過程實驗中，假設(shè)吊車的初始狀態(tài)為=0 rad，吊車的最終狀態(tài)為x d=0，=0 rad，為了研究繩長變化時的防擺特性，按照梯形模式來設(shè)計繩長變化的加速度，這里假設(shè)繩長的變化規(guī)律如下：

仿真時間為30 s，仿真結(jié)果如圖3所示。從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)?shù)踯囋诳焖偬嵘匚飼r變增益LQR控制器的防擺效果明顯提高，本文重點討論變增益在時變線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。通過在吊車系統(tǒng)中仿真實驗和仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)變增益LQR控制器是可行的，且有一定的實用性。在吊車系統(tǒng)中，還可以考慮其他的可變參數(shù)（如負載質(zhì)量也是可變的）來進行變增益LQR控制器的設(shè)計，這樣會使該控制器的自適應(yīng)性進一步提高。

產(chǎn)品經(jīng)理在管理產(chǎn)品過程中都會用到一個工具——產(chǎn)品生命周期，傳統(tǒng)商品的成長軌跡遵循導(dǎo)入期、成長期、成熟期、衰退期而發(fā)展，但爆品的成長是非線性的、爆發(fā)式的增長，導(dǎo)入期之后出現(xiàn)顯著拐點效應(yīng)，從而實現(xiàn)超常規(guī)增長。這就需要爆品必須有足夠當(dāng)量的“TNT”、足夠大的勢能！

圖3 負載提升仿真結(jié)果Fig.3 Load lifting simulation results

4 結(jié) 論

本文建立了三維吊車的動力學(xué)模型，并采用變量分離的方法，將三維吊車的模型轉(zhuǎn)化為以繩長為變參數(shù)的時變線性化模型，進而采用變增益LQR控制方法設(shè)計防擺控制器，并進行了仿真實驗。仿真結(jié)果證明，變增益LQR控制方法能有效地實現(xiàn)變繩長三維吊車系統(tǒng)的防擺控制，控制性能較以固定繩長吊車系統(tǒng)模型而設(shè)計的LQR控制器明顯提高。然而，吊車系統(tǒng)的防擺控制還受其他因素的影響，比如負載的質(zhì)量、外界風(fēng)力的干擾等等，因此，針對不同系統(tǒng)參數(shù)，研究變增益LQR控制方法在吊車系統(tǒng)防擺控制中具有一定的工程應(yīng)用前景。此外，針對工業(yè)過程中類似的多變量欠驅(qū)動非線性系統(tǒng)，構(gòu)建具有普適性的變增益LQR控制器及其控制性能分析是一個有待繼續(xù)研究的問題；以工業(yè)應(yīng)用為主旨，研究變增益LQR控制方法在三維吊車系統(tǒng)中的工程實現(xiàn)也是進一步研究的內(nèi)容之一。

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