王福謙

(長(zhǎng)治學(xué)院電子信息與物理系，山西長(zhǎng)治046011)

為了傳輸微波功率，人們提出并實(shí)現(xiàn)了各種結(jié)構(gòu)形式的傳輸線(即特種截面同軸傳輸線)，例如，由圓柱體和正N邊形組成的同軸傳輸線，它可以與普通同軸線實(shí)現(xiàn)寬帶匹配，用它作定向耦合器比普通同軸線更便于工程設(shè)計(jì)。由于圓柱和正N邊形不屬于同一正交坐標(biāo)系，所以嚴(yán)格求解比較困難。目前文獻(xiàn)［1-3］中多報(bào)道的是特種截面?zhèn)鬏斁€特性阻抗的計(jì)算，而對(duì)其內(nèi)部TEM波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)研究還未見涉及。鑒于特種截面?zhèn)鬏斁€TEM波場(chǎng)結(jié)構(gòu)在工程上的重要性，本文擬利用數(shù)值保角變換法研究?jī)?nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線內(nèi)TEM波的分布規(guī)律，繪制出其橫截面上的場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖，并給出特性阻抗的計(jì)算公式。

1 內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線橫截面的變換

圖1為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面，其幾何結(jié)構(gòu)尺寸如圖中所示。在d/b不大時(shí)，可通過變換函數(shù)式(1)［4］，將z平面上的內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面，變換為w平面上的兩同心‘準(zhǔn)圓’，圖2中實(shí)線部分。

圖1 變換前的內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面

圖2 變換后的內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面

變換后w平面上內(nèi)‘準(zhǔn)圓’的半徑為

由圖1中的幾何尺寸，可得正四邊形的內(nèi)切圓和外接圓的幾何平均半徑為

故變換后w平面上兩同心‘準(zhǔn)圓’中外‘準(zhǔn)圓’的半徑(與圖2中圓周為灰色線的圓對(duì)應(yīng))為

經(jīng)上述數(shù)值保角變換后，z平面上的半徑為d/2的圓和內(nèi)切圓半徑為b/2的正四邊形，就映射為w平面上半徑為r1和平均半徑為r2兩同心‘準(zhǔn)圓’(見圖2)。由于在w平面上傳輸線內(nèi)導(dǎo)體的橫截面的形狀近似為兩同心圓，其內(nèi)部電磁場(chǎng)在該截面上的分布近似呈中心對(duì)稱性，故在w平面上可近似地按圓同軸傳輸線的情形來(lái)討論TEM波的分布規(guī)律，再根據(jù)變換關(guān)系最終得到內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線中TEM波的近似解。

2 TEM波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的分布

內(nèi)圓外正四邊形傳輸線中的TEM波的求解，可由靜態(tài)場(chǎng)在相同邊界條件下的解得到其電場(chǎng)在此傳輸線橫截面上的分布，乘以波動(dòng)因子e-jβz得到電場(chǎng)的解，再由麥克斯韋方程得到其磁場(chǎng)的解［5］。

設(shè)內(nèi)圓外正四邊形傳輸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為V0e-jβz，由于保角變換并不能改變內(nèi)、外兩導(dǎo)體之間的電壓，故對(duì)靜態(tài)場(chǎng)而言，變換后的近似同軸傳輸線(內(nèi)、外半徑近似為r1和r2)內(nèi)、外兩導(dǎo)體間的電壓仍為V0。

對(duì)同軸傳輸線，其中的電場(chǎng)分布是徑向的［6］，大小與半徑成反比。即

式中er為同軸傳輸線橫截面上的徑向單位矢，A為與電場(chǎng)幅值有關(guān)的常數(shù)。

其中

因此，內(nèi)圓外正四邊形同軸線中的TEM波的電場(chǎng)強(qiáng)度為其中|w|為w平面上場(chǎng)點(diǎn)的矢徑大小。

式(4)中的雅可比橢圓函數(shù)用傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)為［7］2)。對(duì)應(yīng)于將

其中上述表達(dá)式及數(shù)據(jù)代入式(4)，且z=x+iy，有

其中

β為沿傳播方向ez上的相位常數(shù)，對(duì)于TEM模，波數(shù)為工作頻率)，ex、ey為圓內(nèi)外正四邊形同軸傳輸線橫截面上沿橫、縱軸方向的單位矢。

TEM波的電場(chǎng)與磁場(chǎng)由麥克斯韋方程組相互聯(lián)系，滿足如下規(guī)律［5］

由式(6)、式(8)，得

式(6)、式(9)為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線中為TEM的波近似表達(dá)式。利用式(6)、式(9)還可求得該傳輸線的傳輸功率［8］。

圖3為利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB所繪制出的內(nèi)圓外正四邊形傳輸線橫截面上的TEM波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖。從該圖可以看出，傳輸線內(nèi)導(dǎo)體表面附近以外的電場(chǎng)在此傳輸線橫截面上的分布呈現(xiàn)出中心對(duì)稱，作出的圖與預(yù)期結(jié)果(電場(chǎng)線與磁感線垂直)基本相符，將雅可比橢圓函數(shù)展開式中所取的項(xiàng)數(shù)再多些，邊界處的場(chǎng)分布符合得會(huì)更好些。其中d=2 cm、b=4 cm。

圖3 內(nèi)圓外正四邊形傳輸線橫截面上TEM波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖圖

3 特性阻抗

傳輸線的特性阻抗Z0與單位長(zhǎng)度電容C0的關(guān)系為［9］

式中ε和μ為傳輸線內(nèi)填充介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。

經(jīng)變換式(1)、式(2)和式(3)，內(nèi)圓外正四邊形同軸線的橫截面已映射為半徑分別為r1和r2兩近似同心圓，由于映射前后傳輸線單位長(zhǎng)度的電容量保持不變，這樣就可由內(nèi)、外半徑分別為r1和r2同軸傳輸線的電容值，方便地求出此傳輸線的特性阻抗的近似值。需要說明的是，由于電荷的角效應(yīng)，外導(dǎo)體內(nèi)棱角處電荷密度小，而每邊中點(diǎn)處的電荷密度大。對(duì)變換后的圖2而言，內(nèi)圓柱導(dǎo)體與無(wú)電荷角效應(yīng)的外切圓弧之間的電容，要比其與內(nèi)切圓弧之間的電容要小。所以，對(duì)于用內(nèi)切圓和外切圓

將r1、r2的數(shù)值代入上式，得內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線單位長(zhǎng)度的電容量為的邊界尺寸取幾何平均來(lái)“逼近”變換后的多邊形外導(dǎo)體邊界，由于交替出現(xiàn)了電容增大和電容減小的情況，故對(duì)計(jì)算總平均電容來(lái)說，電荷角效應(yīng)的影響很小。因此，用本文下面將給出的方法計(jì)算出的電容值，可作為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線電容的近似值，其精確度較高。

圓同軸傳輸線單位長(zhǎng)C0度的電容為

則內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的特性阻抗為

當(dāng)傳輸線內(nèi)為真空或空氣時(shí)，上式中的電磁參量分別取 ε0和 μ0。

式(13)即為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的特性阻抗的近似計(jì)算公式。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用數(shù)值保角變換法對(duì)內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線進(jìn)行了研究，給出了該傳輸線內(nèi)TEM波的近似解析解，這種方法物理意義明確、計(jì)算簡(jiǎn)單，所得結(jié)論可用于計(jì)算該傳輸線的傳輸功率、計(jì)算其衰減常數(shù)及設(shè)計(jì)有關(guān)的有源器件等。再者，由于新的敏感材料的出現(xiàn)和生物醫(yī)學(xué)工程的發(fā)展，也需要研究各種傳輸線所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，所以，本文所得結(jié)論具有一定的和理論價(jià)值和實(shí)際意義。

［1］曾令儒.特種截面?zhèn)鬏斁€特性阻抗計(jì)算的一種方法［J］.物理學(xué)報(bào)，1982，31(6):709-721.

［2］馬西奎.偏心特種截面?zhèn)鬏斁€特性阻抗的分析計(jì)算［J］.電子科學(xué)學(xué)刊，1989，11(6):590-599.

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［4］萬(wàn)長(zhǎng)華，任偉，林為干.幾種傳輸線的場(chǎng)分布［J］.電子科學(xué)大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，21(3):265-271.

［5］沈熙寧.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.北京:科學(xué)出版社，2006:375-381.

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［7］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論［M］北京:北京大學(xué)出版社，2000:556-559.

［8］沈熙寧.電磁場(chǎng)與電磁波［M］北京:科學(xué)出版社，2006:385-386.

［9］朱滿座.數(shù)值保角變換及其在電磁理論中的應(yīng)用.［DB/OL］.(2008-12-01):http//www.cnki.net/kcms/detail/detail/aspx.100-117.