錢向東 程玉瑤

（河海大學力學與材料學院，南京 210098）

眾所周知，持續(xù)時間與振幅、頻譜共稱為描述地震地面運動特性的三大要素［1－2］.在幾十年的研究和實踐中，各國已普遍將振幅和頻譜特征考慮到結(jié)構抗震設計中，在地震危險性分析和地震動參數(shù)區(qū)劃中也都反映了振幅和頻譜特征.然而，盡管地震持時的重要性毋容置疑，但直到目前，并沒有像振幅和頻譜那樣在地震工程中得到充分考慮，幾乎在所有的工程抗震設計中均沒有考慮持續(xù)時間的影響.其主要原因，一是對持時沒有公認的定義，二是沒有形成廣泛適用的持時預測方程.

關于地震動持續(xù)時間的定義，一般認為可以從2條途徑來考慮［7］.其一是震源斷層破裂持續(xù)時間（震源持時），即震源釋放能量的持續(xù)時間；其二是地面運動持續(xù)時間，即觀測點晃動持續(xù)的時間.顯然，前者是地震學中的持時，后者才是對工程抗震有直接意義的地面運動持續(xù)時間，即地震工程學中的持時.從20世紀70年代起，通過對地面運動加速度記錄進行處理，選擇強震段時間進行考慮，進一步給出了所謂強震持續(xù)時間.由于強震時間段的選擇標準和累計方式的不同，各國學者對持續(xù)時間給出了幾十種定義［3－6］，長期沒有形成統(tǒng)一、公認的定義.Bommer J J和Martinez－Pereira A 把已有的各種持時定義歸納為4 種類型［5］，即括號持時（bracketed duration）、一致持時（uniform duration）、重要持時（significant duration）和結(jié)構響應持時（structural response duration）.近年來，由于其穩(wěn)定性和反映了地震動的能量特性，重要持時受到了較多的關注.持時定義方面的最新進展是Snaebjornsson J Th 和Sigbjornsson R 用Heaviside階梯函數(shù)概括性地將括號持時、一致持時和重要持時的定義分別給出了統(tǒng)一的數(shù)學表達式［8］.

關于持時的估計和預測，類似于其它地震動參數(shù)，主要根據(jù)衰減關系建立經(jīng)驗型預測方程.文獻［2，11］總結(jié)了1964～2010年發(fā)表的289個峰值加速度（PGA）預測方程和188個譜坐標（spectral ordinates）預測方程.然而同期發(fā)表的持時（duration）預測方程卻非常少［12］，采用的地震記錄比較局限，考慮的影響因素也不夠全面.近年來，隨著地震動數(shù)據(jù)庫的建立和不斷完善，特別是美國NGA 計劃（The‘Next Generation of Ground－Motion Attenuation Model’project）的實施［13］，以及基于位移的抗震設計的需要［14］，對地震動持續(xù)時間預測方程的研究提供了基礎數(shù)據(jù)和新的動力.Justin J Kempton和Jonathan P Stewart［16］、Julian J Bommer，Peter J Stafford 和John E Alarcón［18］、Saman Yaghmaei－Sabegh，Zhila Shoghian和M Neaz Sheikh［12］等相繼提出了全面考慮各類影響因素、更具代表性和適用性的持時預測方程.

本文主要介紹各類持時定義的數(shù)學表達式和最新的持時預測方程，以供進一步開展相關研究參考.

1 持時定義的數(shù)學表達

在各類持時定義中，根據(jù)采用的幅值（加速度或Arias強度）控制條件——閾值是絕對值還是相對值，把持時分為絕對持時和相對持時.

1.1 括號持時

括號持時是最簡單的強震持時定義，把一次地震記錄的加速度絕對值首次和最后一次達到或超過規(guī)定值（閾值）所經(jīng)歷的時間定義為持時.

絕對括號持時的數(shù)學表達式為

式中t滿足以下方程：

其中：H（·）為Heaviside函數(shù)；a（t）為地震加速度記錄；a0為加速度閾值，通常取為0.05g.

相對括號持時的數(shù)學表達式為

式中t滿足以下方程：

其中：H（·）和a（t）的同上；α0是介于0～1之間的系數(shù)，通常取為0.05；PGA為地面運動加速度峰值.

括號持時的定義簡單直觀，但是對于大多數(shù)地震記錄，其持時與選取的閾值有很大關系，帶有較大的主觀性；而且，該定義完全忽略了地震記錄強震段的性質(zhì)，無法考慮一條地震記錄中地震動強度的相對分布；甚至當采用絕對閾值時，有可能對兩條所含能量差異甚大的加速度記錄得出相同的持續(xù)時間.

1.2 一致持時

為了克服括號持時存在的不足，把地震記錄中加速度絕對值達到或超過閾值的時間間隔之和定義為持續(xù)時間，稱為“一致持時”.顯然，一致持時并非一個連續(xù)的時間區(qū)段，而是考慮了地震記錄有關特性的分段時間的累積，對閾值的敏感性大大降低.

絕對一致持時可以表示為

相對一致持時可以表示為

這里，H（·）為Heaviside函數(shù)；a（t）為地震加速度記錄；a0為加速度閾值，α0是介于0～1 之間的系數(shù)，通常取為0.05；PGA為地面運動加速度峰值.

比較括號持時和一致持時的定義可以看出，對于給定的閾值，絕對括號持時總是大于或等于絕對一致持時，即Dab≥Dau；同樣，對于給定的閾值，相對括號持時也總是大于或等于相對一致持時，即Drb≥Dru.

1.3 重要持時

地震加速度記錄的能量累積達到兩個不同的閾值之間的時間段稱為重要持時，也稱為能量持時.最常用的能量累積指標是Arias強度（Arias intensity），記為IA（t）.

式中，a（t）是地震加速度記錄，g 為重力加速度.

把IA（t）與IA（t）的最大值之比稱為正則化Arias強度（normalized Arias intensity），記為

式中，T 為加速度記錄a（t）的總時長.

絕對能量持時可以表示為

這里，H（·）為Heaviside函數(shù)；IA1為Arias強度的第1個閾值，通常取為0.01m／s；IA2為Arias強度的第2個閾值，通常取為0.125m／s.Bommer J J和Martinez－Pereira把這樣定義的持時稱為有效持時（effective duration）［9］.

相對能量持時可以表示為

這里，H（·）為Heaviside函數(shù)；A（t）是正則化Arias強度；A1和A2分別為第1和第2個閾值.如果取A1＝0.05，A2＝0.75，稱為70% 持時（記為Da5－75），對應于地震波體波能量的釋放；取A1＝0.05，A2＝0.95，稱為90%持時（記為Da5－95），對應于整個地震波陣的能量釋放.

由于重要持時對于閾值的選取具有比較好的穩(wěn)定性，近年來有關持時的研究主要集中在重要持時，因此，也是近年來在工程實踐中應用最多的.

2 最新的持時預測方程

作為地震地面運動的重要參數(shù)，如何正確有效地估計工程場地未來地震動的持續(xù)時間直接關系到持續(xù)時間在工程抗震設計中的應用.目前，地震地面運動參數(shù)的估計主要有3種方法［1］.第1種是通過地震烈度的估計，再利用烈度與地震動參數(shù)的對應關系進行換算；第2種是根據(jù)已有強震觀測記錄，尋求地震動參數(shù)與地震震級、震源特性、傳播介質(zhì)、場地條件等的統(tǒng)計規(guī)律，稱為衰減規(guī)律或衰減關系，建立經(jīng)驗型預測方程，再用預測方程來估算地震動參數(shù)；第3種是通過震源機制的理論分析，應用動力學原理，推算地面運動過程.從已有的文獻資料和應用情況來看，目前最常用的是第2種方法.

根據(jù)發(fā)震機理和已有的地震動衰減關系，常把地面運動持續(xù)時間表示為3部分組成［15］：

其中，D 代表場地地面運動總的持續(xù)時間，D0表示震源斷層破裂所需要的時間（震源持時），DR表示傳播途徑對持時的增加，DS表示場地條件對持續(xù)時間的延長.

一般來說D0的長短取決于斷層的破裂過程，主要與斷裂類型、應力降等有關；DR的長短取決于地震波的傳播途徑，與震源距和傳播介質(zhì)有關；DS則依賴于場地條件，主要與地質(zhì)、地形情況和土的類別有關.

2.1 Kempton－Stewart模型

2006年，美國學者Justin J Kemptona和Jonathan P Stewar在分析已有持時預測方程后，認為以往的持時預測方程主要存在以下不足［16］：①反映震級對震源持時影響的函數(shù)形式大多數(shù)采用缺少物理機制的表述；②普遍采用震中距代替場地至震源的最短距離（closest site－source distance）；③很少采用能量積分，不能有效地獲得地面運動長周期部分的持續(xù)時間；④場地條件對持時影響的研究還不盡如人意；⑤大多不考慮斷層破裂方向的影響，唯一考慮這種影響的模型所用的數(shù)據(jù)庫現(xiàn)已過時；⑥都是采用最小二乘回歸分析法，對每條記錄賦予的權重相同，不能恰當?shù)乜紤]同一次地震中不同記錄之間的相互關系（可能會導致某個特定地震的持時異常地偏大或偏?。?

他們采用類似于Abrahamson N A 和Silva W J提出的回歸函數(shù)，建立回歸模型.以最新采集到的149次地震的1 829條強震記錄為樣本，這些記錄來自包括美國加州、日本、土耳其、中國臺灣等區(qū)域活動構造的全球性強震數(shù)據(jù)庫，充分考慮了震級、震源距、場地條件（包括淺層地質(zhì)條件和深層構造）以及近斷層參數(shù)的影響，還區(qū)分板塊內(nèi)和板塊外地震得到的強震記錄，采用混合效應回歸分析法，給出了相對能量持時的預測方程為

其中，（Drs）ij表示i處發(fā)生地震在j 處產(chǎn)生的持續(xù)時間；M 表示震級，一般取為矩震級Mw，否則當M＞6時取為面波震級MS、當M＜6時取為近震震級ML；rij表示j 處場地與i震源的距離（震源距）（km）；β表示震源處的剪切速度，一般取3.2km／s；Vs30表示場地表面以下30m 土層中剪切波的平均速度（m／s）.ηi和εij分別代表板塊外地震與板塊內(nèi)地震記錄對應的誤差項.

文中針對Da5－75、Da5－95、Dv5－75、Dv5－954 種持時定義分別給出了回歸系數(shù).采用90% 能量持時（Da5－95）定義時，回歸系數(shù)b1＝2.79，b2＝0.82，c2＝0.15，c4＝3±0.82，c5＝0.004 1±0.000 8.

該模型與其他重要持時模型一樣，反映了持續(xù)時間隨震級的增大而急劇增長、隨震源距的增大而適度增長，這種規(guī)律在震級M＝5～7.6和至震源的最短距離r＝0～200km 范圍內(nèi)都是非常有效的.該模型還反映了持續(xù)時間隨場地剪切波速Vs30的增大而減小.另外，該模型還給出了場地深層構造和近斷層對預測方程的校正.反映了場地深層構造的影響趨勢，當震源位于場地覆蓋層之下時，持續(xù)時間隨覆蓋層深度Z1.5（地表至剪切波速為1.5km／s的巖層的深度）的增大而減??；當震源不在場地覆蓋層之下時，持續(xù)時間隨覆蓋層深度Z1.5的增大而增長.克服了當震級M＞6和震源距r＜20km 時的超報現(xiàn)象.

2.2 Bommer－Stafford－Alarcón模型

英國學者Julian J Bommer，Peter J Stafford 和John E Alarcón認為［17］，盡管預測方程（12）能夠很好地反映各種因素的影響，但其表達式不夠簡潔.他們對預測方程（12）的第一項（有關震源因素）進行處理，得到了等效的非常簡單的線性函數(shù).綜合其他因素后，給出了相對能量持時的預測方程為

式中，Drs為相對能量持時，可以是Da5－95、也可以是Da5－75；Mw為矩震級；Rrup為場地至震源的最短距離（km），同式（12）中的rij；Vs30為場地表面以下30m 土層中剪切波的平均速度（m／s）；Ztor為破裂面頂部深度（depth to the top of rupture）（km）.而c0、m1、r1、r2、h1、v1、z1為回歸系數(shù).

采用90%能量持時（Da5－95）定義時，回歸系數(shù)c0＝－2.239 3±0.805 1，m1＝0.936 8±0.122 3，r1＝1.568 6±0.148 9，r2＝－0.195 3±0.021 9，h1＝2.5，v1＝－0.347 8±0.027 4，z1＝－0.036 5±0.020 2.

該模型是Kempton－Stewart模型的改進，能夠用于估計矩震級Mw＝4.8～7.9、至震源的最短距離100km 以內(nèi)的地震動持時.

除了相對能量持時外，他們還給出了閾值為0.025 g、0.050 g、0.100 g 時絕對括號持時Dab和一致持時Dau的預測方程和相應的回歸系數(shù).

2.3 Sabegh－Shoghian－Sheikh模型

伊朗學者Saman Yaghmaei－Sabegh，Zhila Shoghian等在分析總結(jié)已有持時預測方程的基礎上，結(jié)合伊朗現(xiàn)有的地震觀測資料，提出了一個適用于伊朗的區(qū)域性持時預測模型［12］.由于在伊朗的地震記錄中并不能提供諸如斷裂類型、應力降、破裂面頂部深度等震源參數(shù)，采用距震源最短距離R、矩震級Mw和場地條件S3個獨立的參數(shù)建立了相對能量持時的回歸方程：

式中，Drs為相對能量持時，可以是Da5－95、也可以是Da5－75；對應于巖石、高密土或軟巖、硬土、軟土，場地條件參數(shù)S 分別取3、2、1、0；a1、a2、a3、a4、b1、b2為回歸系數(shù)；ηi 和εij分別代表板塊外地震與板塊內(nèi)地震記錄對應的誤差項.

根據(jù)伊朗地震記錄（至2007年）數(shù)據(jù)庫中的286條記錄，采用混合效應回歸分析，給出了回歸系數(shù).采用90%能量持時（Da5－95）定義時，回歸系數(shù)a1＝0.07、a2＝0.236、a3＝0.16±0.01、a4＝－0.021±0.011、b1＝1.24、b2＝1.02.

該模型的形式也比較簡單，預測的結(jié)果與伊朗的觀測數(shù)據(jù)非常吻合，可應用于伊朗活動構造區(qū)的地震動持時估計，并推廣應用于類似的構造區(qū)域.

3 總論與展望

1）Heaviside階梯函數(shù)的引入，使得括號持時、一致持時和重要持時的定義均有了明確的數(shù)學表達式，為持時的計算和經(jīng)驗型預測模型的回歸分析提供了統(tǒng)一、方便的數(shù)學工具.

2）與峰值加速度（PGA）和譜坐標（spectral ordinates）預測方程相比，持時的預測方程相對較少，除了持時的效應機理和影響因素非常復雜外，主要是各國現(xiàn)行的抗震設計規(guī)范中均沒有要求采用地震持時作為地震動參數(shù).

3）本文介紹的持時預測模型充分考慮了震級、距震源最短距離以及場地條件等影響持時的關鍵因素，特別地Kempton－Stewart模型和Bommer－Stafford－Alarcón模型以Vs30代替場地類型參數(shù)S 表示場地條件，更加精確地反映場地條件的影響.

4）本文介紹的持時預測模型在利用現(xiàn)有地震記錄進行回歸分析時，采用混合效應回歸分析法，充分考慮到板塊間和板塊內(nèi)地震的不同影響.

5）本文介紹的持時預測模型為改進和進一步開展持時預測模型的研究，提供了基本的表達形式和回歸分析方法.

6）隨著地震動數(shù)據(jù)庫的不斷完善和全球地震數(shù)據(jù)庫建立，特別是美國NGA 計劃（The“Next Generation of Ground－Motion Attenuation Model”project）的實施與引領，以及基于性能或位移的抗震設計的發(fā)展需要，必將引起研究者對地震動持續(xù)時間的廣泛關注和研究興趣，提出更多的持時預測模型，滿足各國家或地區(qū)地震安全評價和工程抗震設計的需要.

7）隨著持時預測模型的深入研究，可以設想在不遠的將來，地震動持續(xù)時間的影響必將在地震安全評價和工程抗震設計中加以考慮.

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