雷博 肖國(guó)春 吳旋律

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,電力設(shè)備電氣絕緣國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

(2012年7月10日收到;2012年9月18日收到修改稿)

1 引言

隨著全球化能源危機(jī)的不斷加劇,利用風(fēng)能、光伏發(fā)電等可再生能源的分布式發(fā)電系統(tǒng)得到了廣泛的關(guān)注.在這些分布式發(fā)電系統(tǒng)中,逆變電路作為可再生能源與電網(wǎng)之間的“連接橋梁”起到了重要的作用[1],得到了廣泛的應(yīng)用.數(shù)字控制技術(shù)的發(fā)展,使得目前在實(shí)際工程應(yīng)用中三相逆變電路一般工作在數(shù)字控制脈寬調(diào)制(PWM)模式下[2].同時(shí),由于數(shù)字控制中一拍延時(shí)的引入,對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及動(dòng)態(tài)特性會(huì)產(chǎn)生較大的影響[3,4].對(duì)數(shù)字控制三相逆變電路的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行準(zhǔn)確的建模分析是非常必要的.

已有許多學(xué)者對(duì)單相全橋無(wú)源逆變電路的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析[5?13],同時(shí)觀測(cè)到豐富的非線性現(xiàn)象,如邊界碰撞分岔[5?7,11]、倍周期分岔[8?10]以及Hopf分岔[8,10,12,13].文獻(xiàn)[5—7]建立了一階數(shù)字控制單相全橋電路工作在DC-DC狀態(tài)下的離散迭代映射,并提出了可以提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的改進(jìn)延時(shí)反饋策略.文獻(xiàn)[9]通過(guò)分析一階數(shù)字控制單相全橋逆變電路的非線性行為,提出了慢變穩(wěn)定性定理.文獻(xiàn)[11]分析了一階數(shù)字控制單相全橋逆變電路在對(duì)稱(chēng)PWM調(diào)制下的邊界碰撞分岔現(xiàn)象.但文獻(xiàn)[5—7,9]目前并沒(méi)有對(duì)與數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)定性密切相關(guān)的一拍延時(shí)的影響進(jìn)行分析.同時(shí),文獻(xiàn)[5—11]在推導(dǎo)系統(tǒng)的離散迭代模型時(shí),直接利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行分析.當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)高于2階時(shí),由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的元素與狀態(tài)變量有關(guān)并且無(wú)法解析表達(dá),無(wú)法解析描述系統(tǒng)每個(gè)狀態(tài)變量與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系.這時(shí),通常需要借助計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算循環(huán)描點(diǎn)才能表示出系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為的關(guān)系[8?10].文獻(xiàn)[12,13]在考慮了數(shù)字控制系統(tǒng)延時(shí)的情況下,通過(guò)解析表達(dá)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中各個(gè)元素,對(duì)單相全橋無(wú)源逆變器建立了數(shù)學(xué)模型,分析了LC型濾波器以及LC L型濾波器單相無(wú)源逆變電路系統(tǒng)中復(fù)雜行為的內(nèi)在機(jī)理,得到了其參數(shù)的穩(wěn)定范圍的解析表達(dá)式并準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象.這些工作加深了對(duì)單相全橋逆變電路的理解,但均集中在單相系統(tǒng)中.同時(shí),上述工作中的慢尺度不穩(wěn)定現(xiàn)象在一個(gè)工頻周期內(nèi)是同時(shí)發(fā)生的.而在三相逆變系統(tǒng)中,系統(tǒng)可能會(huì)產(chǎn)生局部的振蕩現(xiàn)象.在考慮一拍數(shù)字延時(shí)以及解析表達(dá)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中元素的前提下,對(duì)數(shù)字控制三相逆變電路利用離散迭代模型分析其局部振蕩行為的工作迄今為止未見(jiàn)報(bào)道.

本文針對(duì)一種數(shù)字控制三相逆變電路,通過(guò)解析表達(dá)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中元素、考慮數(shù)字控制中的一拍計(jì)算、控制延時(shí)并考慮到三相電路中的不平衡因素,建立了系統(tǒng)的離散迭代模型.利用本文提出的離散迭代模型,系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為之間的關(guān)系可以得到直觀的解析描述.進(jìn)一步,本文提出了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔、倍周期分岔以及鞍階分岔的解析判別式.利用本文提出的離散迭代模型及不穩(wěn)定行為判別式,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了本文研究系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象及穩(wěn)定邊界.同時(shí),對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的局部振蕩現(xiàn)象進(jìn)行了分析,得出了這種現(xiàn)象產(chǎn)生的物理機(jī)理及產(chǎn)生條件.最后,通過(guò)Simulink仿真以及電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性.

利用離散迭代模型,本文建立了數(shù)字控制三相逆變電路中系統(tǒng)參數(shù)以及系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為之間解析聯(lián)系,揭示了三相逆變系統(tǒng)的耦合關(guān)系,發(fā)現(xiàn)了局部振蕩現(xiàn)象,指出了局部振蕩的產(chǎn)生條件,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了系統(tǒng)參數(shù)和局部振蕩起始點(diǎn)之間的關(guān)系,同時(shí)簡(jiǎn)化了利用離散迭代模型對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定行為預(yù)測(cè)的過(guò)程,有利于實(shí)際工程應(yīng)用.

2 電路工作原理及離散迭代模型建立

數(shù)字控制三相逆變電路的主要功能是對(duì)逆變電流的穩(wěn)定控制,保證逆變電流符合設(shè)計(jì)要求.逆變電路以固定的開(kāi)關(guān)頻率 fs運(yùn)行,逆變電流頻率為f,角頻率為ω.電路由主電路部分以及數(shù)字控制部分組成,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.主電路部分由直流側(cè)電壓源E、三相逆變逆變器和三相阻感負(fù)載Ra,Rb,Rc及La,Lb,Lc構(gòu)成.數(shù)字控制部分由采樣環(huán)節(jié)、三相靜止坐標(biāo)系到兩相同步坐標(biāo)系的正變換及反變換環(huán)節(jié)、數(shù)字控制器、歸一化環(huán)節(jié)、限幅器及數(shù)字PWM發(fā)生器組成.系統(tǒng)采取了兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的逆變電流反饋環(huán)的控制方式,其中電流環(huán)采取的是比例(P)控制器.圖1中,CM環(huán)節(jié)代表電流采樣環(huán)節(jié);θs是給定逆變相位;idref和iqref是兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的給定值,是一個(gè)直流信號(hào);ia,ib,ic分別為三相逆變電流;ia,ib,ic結(jié)合θs通過(guò)三相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換公式(DQ變換)得到兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的逆變電流id,iq;kpd,kpq分別為d軸與q軸下的比例系數(shù);d軸以及q軸的輸出信號(hào)分別為vdx以及vqx;vdx,vqx結(jié)合θs通過(guò)兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到三相靜止坐標(biāo)系變換公式(DQ反變換),進(jìn)行歸一化及限幅環(huán)節(jié)得到三相的控制信號(hào)vax,vbx,vcx;其中ksat為歸一化系數(shù),其大小為1/(2E).在每個(gè)開(kāi)關(guān)周期的起始階段,系統(tǒng)通過(guò)采樣、計(jì)算各個(gè)電氣量,利用數(shù)字PWM發(fā)生器產(chǎn)生占空比信號(hào)以驅(qū)動(dòng)S1—S6運(yùn)行.

圖1 數(shù)字控制三相逆變電路系統(tǒng)

本文采用的數(shù)字控制雙極性正弦脈沖調(diào)制(SPWM)策略如圖2所示.上下兩個(gè)橋臂工作在互補(bǔ)狀態(tài),即若上管導(dǎo)通則下管關(guān)閉,反之亦然.各個(gè)橋臂的開(kāi)關(guān)狀態(tài)分別由控制信號(hào)vax,vbx,vcx與三角載波的大小關(guān)系決定.由于數(shù)字控制中的采樣計(jì)算延時(shí)[3,4],第n個(gè)開(kāi)關(guān)周期的占空比狀態(tài)dan,dbn和dcn由第(n?1)個(gè)開(kāi)關(guān)周期的控制信號(hào)vax(n?1),vbx(n?1),vcx(n?1)決定,占空比信號(hào)的值為0或者1.當(dāng)dna=1時(shí)代表S1開(kāi)通S4關(guān)閉,dna=0時(shí)代表S1關(guān)閉S4開(kāi)通;當(dāng)dnb=1時(shí)代表S3開(kāi)通S6關(guān)閉,dna=0時(shí)代表S3關(guān)閉S6開(kāi)通;當(dāng)dnc=1時(shí)代表S5開(kāi)通S2關(guān)閉,dnc=0時(shí)代表S5關(guān)閉S2開(kāi)通.

圖2 數(shù)字SPWM調(diào)制策略示意圖

2.1 控制電路離散迭代模型描述

根據(jù)兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到三相靜止坐標(biāo)系變換關(guān)系,vax,vbx,vcx三相控制信號(hào)之和為0,所以三個(gè)占空比信號(hào)也只有兩個(gè)自由度.本文中選取a相及b相占空比作為狀態(tài)變量.由于逆變電流是正弦信號(hào),系統(tǒng)是一個(gè)周期時(shí)變系統(tǒng).但由于 fs遠(yuǎn)大于 f,同時(shí)系統(tǒng)采用數(shù)字控制,在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)只進(jìn)行一次電氣量的采樣、計(jì)算及占空比信號(hào)的載入,通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)分析[14],可以認(rèn)為在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)三相逆變電流是恒值.由于數(shù)字系統(tǒng)中的采樣保持過(guò)程,根據(jù)系統(tǒng)的控制原理可以直接得出系統(tǒng)控制部分的離散迭代方程.

設(shè)iden,iqen和vdxn,vqxn分別是第n個(gè)開(kāi)關(guān)周期d軸和q軸下誤差信號(hào)以及控制器輸出信號(hào);kdp,kqp分別是d軸和q軸下的比例控制參數(shù);設(shè)ian,ibn,icn,θsn分別代表第nTs時(shí)刻三相逆變電流和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)同步角的采樣值.得出da和db的離散迭代方程為

根據(jù)三相關(guān)系,得到dcn與dan,dbn的關(guān)系為

通過(guò)(1)式可以得到系統(tǒng)占空比的迭代方程,具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄1.

2.2 主電路離散迭代模型描述

根據(jù)基爾霍夫電流定律,三相電流之和為0,三相電流只有兩個(gè)自由度.選取其中兩相逆變電流i=[iaib]T作為狀態(tài)變量.設(shè)AT,BET,(T=000,111,100,110,101,010,011,001)是系統(tǒng)在不同拓?fù)湎碌臓顟B(tài)矩陣.從圖3中可以看出,當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí),只有直流側(cè)電壓的狀態(tài)發(fā)生改變,令A(yù)T=A.A和BET的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄2.同時(shí),為了方便描述,定義θa=0,θb=?2π/3和θb=2π/3.

系統(tǒng)主電路部分在各個(gè)拓?fù)錉顟B(tài)下的狀態(tài)方程為

在系統(tǒng)第n個(gè)開(kāi)關(guān)周期的運(yùn)行過(guò)程中,根據(jù)dan,dbn和dcn的大小關(guān)系,結(jié)合圖2和圖3,系統(tǒng)將會(huì)演化出6種不同的拓?fù)湫蛄薪Y(jié)構(gòu),如圖4所示.

由于系統(tǒng)采用的是對(duì)稱(chēng)SPWM調(diào)制策略,系統(tǒng)可能的拓?fù)湫蛄袨門(mén)000→Tα→Tβ→T111→Tβ→Tα→T000.其中[α,β]有[100,110],[100,101],[010,110],[010,011],[001,101]和[001,011]6種可能性.

結(jié)合(2)式,對(duì)拓?fù)湫蛄羞M(jìn)行分段積分.積分結(jié)果表明,系統(tǒng)在這六種可能拓?fù)湫蛄兄械碾x散迭代方程是相同的,可以表示為

其中

系統(tǒng)離散迭代模型的推導(dǎo)過(guò)程及BEa,BEb和BEc的具體表達(dá)形式見(jiàn)附錄3.

圖3 三相逆變器拓?fù)錉顟B(tài)示意圖 (a)T000;(b)T100;(c)T010;(d)T001;(e)T111;(f)T011(g)T101;(h)T110

根據(jù)(1)和(3)式可以得出系統(tǒng)的離散迭代方程,其中數(shù)字控制部分由于一拍延時(shí)作用,得到的是各相獨(dú)立的“標(biāo)量化”離散迭代方程,但是主電路迭代模型(3)式直接使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行分析,無(wú)法得出各相逆變電流之間、逆變電流與系統(tǒng)參數(shù)、逆變電流與各相占空比之間的解析關(guān)系.利用矩陣A的特征值和特征向量,可以描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[15],同時(shí)利用文獻(xiàn)[12,13]中提出的方法,對(duì)此離散迭代方程進(jìn)行標(biāo)量化描述.

設(shè)λA1,λA2為矩陣A的特征值,數(shù)字控制三相逆變器主電路中a,b兩相的標(biāo)量化離散迭代方程為

同時(shí),根據(jù)三相之間的關(guān)系,得到c相的表達(dá)式為

(4)式的推導(dǎo)過(guò)程以及函數(shù) δ,Γχ1χ2χ3(χ1,χ2,χ3=1,2,3)及 φvsy1y2(y1,y2=a,b)的定義詳見(jiàn)附錄4.

圖4 第n個(gè)開(kāi)關(guān)周期系統(tǒng)可能的拓?fù)淝闆r (a)dan＞dbn＞dcn;(b)dbn＞dan＞dcn;(c)dcn＞dan＞dbn;(d)dan＞dcn＞dbn;(e)dbn＞dcn＞dan;(c)dcn＞dbn＞dan

結(jié)合(1a),(1b),(4a)和(4b)式,可以得出在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下采用P控制、各相為阻感負(fù)載時(shí)的數(shù)字控制三相逆變電路的標(biāo)量化離散迭代模型.系統(tǒng)共含有4個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量,ia,ib,da,db.在下一節(jié)將通過(guò)分析系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣特征值來(lái)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為以及穩(wěn)定特性進(jìn)行分析.

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 系統(tǒng)的穩(wěn)定特性

通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)分析[14],結(jié)合(1)和(4)式,令dbn可以求出系統(tǒng)的平衡點(diǎn).根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)關(guān)頻率和工頻頻率之間的關(guān)系,系統(tǒng)共有 fs/f個(gè)平衡點(diǎn).需要注意的是,求解平衡點(diǎn)的方程是超越方程,需要利用牛頓下山法等數(shù)值算法進(jìn)行求解.系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分別設(shè)為,,和(0＜l≤fs/f),設(shè)l為系統(tǒng)平衡點(diǎn)序列的序號(hào).

系統(tǒng)在第l個(gè)平衡點(diǎn)的雅克比矩陣可以寫(xiě)為

根據(jù)(5)式,得出了系統(tǒng)在第l個(gè)平衡點(diǎn)的特征方程為

其中,F0—F3具有解析的表達(dá)式,其具體參數(shù)表達(dá)式詳見(jiàn)附錄5.同時(shí),根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)λJ1—λJ4為(6)式的根,系統(tǒng)的特征方程同樣可以描述為

隨著系統(tǒng)控制參數(shù)的增大變化,系統(tǒng)的特征根會(huì)穿出單位圓,系統(tǒng)會(huì)發(fā)生不穩(wěn)定行為.當(dāng)系統(tǒng)中有一對(duì)共軛虛根穿出單位圓,而余下的特征根在單位圓內(nèi),系統(tǒng)會(huì)發(fā)生Hopf分岔[14];當(dāng)有一個(gè)特征值等于1,而其他特征值在單位圓內(nèi),系統(tǒng)會(huì)發(fā)生鞍結(jié)分岔;當(dāng)一個(gè)特征根等于?1,而其他特征值在單位圓內(nèi),系統(tǒng)會(huì)發(fā)生倍周期分岔[16?19].

根據(jù)系統(tǒng)控制規(guī)律,kdp和kqp均大于0.在表1所示的系統(tǒng)參數(shù)下,在系統(tǒng)的每個(gè)平衡點(diǎn)處,以系統(tǒng)控制kdp和kqp為變量,可以對(duì)(8)式所代表的三個(gè)邊界曲線bH,bS和bP在第一象限繪制出一組曲線.通過(guò)三條曲線之間的關(guān)系,可以預(yù)測(cè)出系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生的不穩(wěn)定現(xiàn)象,以及各種不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生時(shí)的邊界控制參數(shù).

根據(jù)表1中參數(shù)定義,依據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)分析,在一個(gè)工頻周期內(nèi),系統(tǒng)共含有300個(gè)平衡點(diǎn).在系統(tǒng)的300個(gè)平衡點(diǎn)上,根據(jù)(8)式代表的三種分岔行為判別式,分別繪制三種邊界曲線.根據(jù)三種邊界曲線之間的穩(wěn)定性關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn),在這個(gè)數(shù)字控制三相逆變器系統(tǒng)中,系統(tǒng)只會(huì)發(fā)生Hopf分岔,而不會(huì)發(fā)生其他的分岔類(lèi)型.

表1 系統(tǒng)參數(shù)表

3.2 局部振蕩行為分析

對(duì)比(9)式中各個(gè)等式,當(dāng)kqp與kdp相等時(shí),等于0,同時(shí)也是與系統(tǒng)平衡點(diǎn)序號(hào)l的無(wú)關(guān)量.但是,當(dāng)kqp與kdp不相等時(shí),會(huì)隨著系統(tǒng)平衡點(diǎn)序列號(hào)l(0＜l≤fs/f)而做周期性的變化,顯然,其變化周期為工頻周期的兩倍.由此,預(yù)測(cè)系統(tǒng)在kdp不等于kqp的情況下,在一個(gè)工頻周期內(nèi),系統(tǒng)的穩(wěn)定性不一致,會(huì)出現(xiàn)局部不穩(wěn)定現(xiàn)象.根據(jù)之前分析,由于此系統(tǒng)在表1所示參數(shù)下,只會(huì)發(fā)生Hopf分岔,所以此時(shí)系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)局部振蕩現(xiàn)象;而當(dāng)kdp=kqp的情況下,系統(tǒng)在一個(gè)工頻周期內(nèi)的穩(wěn)定性一致,系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí),將會(huì)產(chǎn)生的是全局振蕩現(xiàn)象.下面就kdp與kqp的不同關(guān)系對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.

根據(jù)控制器參數(shù)定義,kdp和kqp均大于0.根據(jù)3.1分析結(jié)果,在表1所示參數(shù)下,系統(tǒng)在300個(gè)平衡點(diǎn)上均只會(huì)發(fā)生Hopf分岔.同時(shí)考慮計(jì)算方法原理[20],為了避免數(shù)值計(jì)算誤差,以ksatkdp為橫坐標(biāo),以ksatkqp為縱坐標(biāo),從第15個(gè)平衡點(diǎn)開(kāi)始每隔15個(gè)平衡點(diǎn),畫(huà)出此時(shí)系統(tǒng)第一象限中的bH曲線組,如圖5所示.

如圖5所示,由于系統(tǒng)的特征方程(6),及相應(yīng)的Hopf分岔邊界條件(8a)中與平衡點(diǎn)序列號(hào)l相關(guān),所以不同的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定范圍有所不同.同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定特性具有對(duì)稱(chēng)性,對(duì)稱(chēng)周期為工頻周期的一半.對(duì)于某一特定的控制參數(shù),在系統(tǒng)一部分平衡點(diǎn)處系統(tǒng)穩(wěn)定,而在其他平衡點(diǎn)處系統(tǒng)不穩(wěn)定,系統(tǒng)就會(huì)產(chǎn)生局部振蕩現(xiàn)象.

根據(jù)圖5所示,當(dāng)控制參數(shù)ksatkdp=0.5(kdp=100),ksatkqp=0.95(kqp=190)時(shí),將會(huì)在第45—90平衡點(diǎn)處及195—240平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象,而在工頻周期的其他部分,系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

根據(jù) (9)式中各式定義,當(dāng) kdp=kqp時(shí),和平衡點(diǎn)序列號(hào) l無(wú)關(guān),則系統(tǒng)的特征方程(6)及系統(tǒng)穩(wěn)定邊界條件(8)中各式與系統(tǒng)平衡點(diǎn)無(wú)關(guān).此時(shí),若系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象,那么這種不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)將在一個(gè)工頻周期內(nèi)的所有平衡點(diǎn)同時(shí)發(fā)生.定義此時(shí)求取穩(wěn)定邊界的方程為

此時(shí),系統(tǒng)只有一個(gè)控制參數(shù)ksatkdp,同樣從第15個(gè)平衡點(diǎn)開(kāi)始,以15為步進(jìn),給出(10)式的根的分布情況如圖6所示.從圖6上可以看出,不同平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)(10)式的根相同,與之前推論符合.

根據(jù)參數(shù)定義,(10)式在正半軸最小的實(shí)根即為使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大控制參數(shù)取值.通過(guò)精確的計(jì)算,此系統(tǒng)在kdp=kqp的條件下的穩(wěn)定邊界為

對(duì)比圖5,圖中所有的穩(wěn)定邊界交匯于一點(diǎn),這點(diǎn)坐標(biāo)下的控制參數(shù)是0.7390395(kdp=dqp=147.8079),滿(mǎn)足于(11)式關(guān)于kdp=kqp情況下穩(wěn)定邊界的判斷.當(dāng)系統(tǒng)控制參數(shù)不滿(mǎn)足(11)式時(shí),系統(tǒng)將會(huì)在整個(gè)工頻周期內(nèi)同時(shí)發(fā)生不穩(wěn)定振蕩現(xiàn)象.

圖6 kd p=kq p時(shí),穩(wěn)定邊界方程根的分布情況

4 仿真和實(shí)驗(yàn)

根據(jù)圖1,給出系統(tǒng)相應(yīng)的Simulink仿真電路圖如圖7所示.整個(gè)仿真系統(tǒng)采用連續(xù)仿真,同時(shí)利用比較模塊以及延時(shí)模塊模擬了數(shù)字控制系統(tǒng)的采樣保持、計(jì)算延時(shí)過(guò)程.

假設(shè)3認(rèn)為，對(duì)于成長(zhǎng)期企業(yè)，碳信息披露會(huì)顯著緩解企業(yè)的融資約束。為了檢驗(yàn)假設(shè)3，對(duì)處于成長(zhǎng)期的288個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行多元回歸。表5的假設(shè)3部分列示了碳信息披露對(duì)成長(zhǎng)期企業(yè)融資約束影響的估計(jì)結(jié)果。結(jié)果顯示：（1）CFAt-1的系數(shù)在1%的水平下顯著為正 （系數(shù)為0.0013，t值為2.79），表明成長(zhǎng)期的重污染企業(yè)普遍面臨較強(qiáng)的融資約束；（2） CFAt-1×CDI的系數(shù)在1%的水平下顯著為負(fù) （系數(shù)為-0.2435，t值為-2.91），表明碳信息披露對(duì)成長(zhǎng)期企業(yè)融資約束的緩解效應(yīng)顯著。假設(shè)3檢驗(yàn)通過(guò)。

代入控制參數(shù)kdp=100,kqp=190,仿真結(jié)果如圖8所示.圖8中出現(xiàn)了局部振蕩現(xiàn)象,局部振蕩周期為工頻周期一半,振蕩起始、終止點(diǎn)與理論分析一致,證明了理論分析的有效性及精確性.

代入控制參數(shù)kdp=kqp=150,系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖9所示.圖9中出現(xiàn)了全局振蕩現(xiàn)象,證明了理論分析的有效性及精確性.

圖7 數(shù)字控制三相逆變系統(tǒng)仿真電路圖

圖8 kd p=100,kq p=190時(shí)系統(tǒng)仿真結(jié)果

圖9 kd p=kq p=150時(shí)系統(tǒng)仿真結(jié)果

圖10 kd p=100,kq p=190時(shí)試驗(yàn)波形

圖11 kd p=kq p=150時(shí)試驗(yàn)波形

對(duì)三相系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為進(jìn)行試驗(yàn)研究,以驗(yàn)證理論分析的正確性.實(shí)驗(yàn)電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與圖3相同,系統(tǒng)參數(shù)選取如表1所示.分別選取控制參數(shù)kdp=100,kqp=190;kdp=kqp=150,進(jìn)行試驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10及圖11所示.實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Simulink仿真結(jié)果相似.由于沒(méi)有考慮逆變器死區(qū)作用以及開(kāi)關(guān)管的損耗等,實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了一定的誤差.

5 結(jié)論

本文針對(duì)數(shù)字控制三相逆變電路系統(tǒng),對(duì)其在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系比例控制下的一種局部振蕩行為進(jìn)行了分析.通過(guò)解析表達(dá)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中元素,建立了系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)變量離散迭代方程,從而得到了三相逆變電流之間和逆變電流與各相占空比、系統(tǒng)參數(shù)之間的內(nèi)在物理聯(lián)系.進(jìn)一步,本文針對(duì)高階系統(tǒng),提出了一種運(yùn)動(dòng)行為解析判別式,揭示了三相逆變系統(tǒng)的耦合關(guān)系以及運(yùn)動(dòng)行為的內(nèi)在物理機(jī)理,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍以及不穩(wěn)定現(xiàn)象.

以往針對(duì)全橋逆變器,利用非線性理論進(jìn)行建模分析的工作主要集中在單相領(lǐng)域,同時(shí)它們的不穩(wěn)定現(xiàn)象在一個(gè)工頻周期內(nèi)是同時(shí)發(fā)生的.通過(guò)本文對(duì)三相系統(tǒng)的研究,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會(huì)發(fā)生有別于單相系統(tǒng)的局部的振蕩現(xiàn)象.本文針對(duì)這種局部振蕩現(xiàn)象,進(jìn)行了理論分析,得出當(dāng)D軸比例系數(shù)與Q軸比例系數(shù)超出一定范圍且兩者不相等時(shí),就會(huì)發(fā)生這種局部振蕩現(xiàn)象.本文得到了控制參數(shù)與局部振蕩點(diǎn)關(guān)系的解析表達(dá)式,并準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了產(chǎn)生局部振蕩的起始、結(jié)束點(diǎn).最后,通過(guò)Simulink仿真以及電路實(shí)驗(yàn)證明了理論分析的正確性及有效性.

附錄A1

根據(jù)三相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化公式:

通過(guò)由此得到系統(tǒng)的誤差信號(hào),設(shè)為iden和iqen,可以表達(dá)為

根據(jù)兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到三相靜止坐標(biāo)系變換公式及圖1所示控制框圖,得到vyxn(y=a,b,c)三相控制信號(hào)為

由于三相控制信號(hào)由DQ反變換得來(lái),則三相控制信號(hào)之和為0.

結(jié)合圖3,可以得到dyn(y=a,b,c)的表達(dá)式為

結(jié)合(A7)和(A8)式,可以分別得出三相系統(tǒng)控制部分的離散迭代方程表達(dá)式.

附錄A2

A和BET在8種拓?fù)錉顟B(tài)下的表達(dá)式為

其中α1,α2和α3可以表達(dá)為

其中:

附錄A3

對(duì)(2)式進(jìn)行積分,設(shè)積分起始時(shí)間為ton,結(jié)束時(shí)間為toff,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為T(mén)t,積分結(jié)果為

如圖7所示,系統(tǒng)可能的拓?fù)湫蛄袨門(mén)000→Tα→Tβ→T111→ Tβ→ Tα→T000.其中 [α,β]有 [100,110],[100,101],[010,110],[010,011],[001,101]和[001,011]六種可能性.在第n個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi),設(shè)占空比最大相為g相,最小相為s相,另一相為m相,通過(guò)代入相應(yīng)參數(shù)對(duì)(C1)進(jìn)行迭加,得到:

其中φEg,φEm和φEs為

可以分六種情況討論(C3)和(C4)的表達(dá)式變化,在此以[α,β]=[100,110]時(shí)為例進(jìn)行分析.此時(shí)占空比最大的為a相,最小的為c相,則

對(duì)于其他5種情況,均可以寫(xiě)出相應(yīng)的BEa,BEa和BEa表達(dá)式.根據(jù)附錄1中定義,發(fā)現(xiàn)在六種情況下BEa,BEa和BEa的表達(dá)式相同,于是重新定義BEa,BEb和BEc:

附錄A4

根據(jù)文獻(xiàn)[12,13]中的方法,同樣定義κ,ρ為系統(tǒng)矩陣A的特征向量矩陣及其逆矩陣,并可描述為

定義λAχ1,λAχ2為矩陣A的特征值.

定義函數(shù)ε(χ1,χ2,χ3):

其中χ1,χ2和χ3定位了矩陣κ,ρ元素的位置.

設(shè) ξ 為任意常數(shù),定義 δξχ2χ3:

其中r定位了向量δr(N,ξ)的位置.

則 eξA可以表述為

定義 ?1,?2和 ?3

定義函數(shù)Γrlq:

附錄A5

根據(jù)參數(shù)定義,同時(shí)考慮系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)頻率相對(duì)工頻頻率較高,設(shè)可以得出在第 l個(gè)平衡點(diǎn)的表達(dá)式為

同樣可以得出:

將(1)式對(duì)ia,ib分別求偏導(dǎo),可以得出1,2)在第l個(gè)平衡點(diǎn)的表達(dá)式為

根據(jù)系統(tǒng)在第l個(gè)平衡點(diǎn)的雅克比矩陣(5),可以得出F3—F0的表達(dá)式為

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