趙新華，張高嫄，莊寶玉，楊祥龍

(1. 天津大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市城市規(guī)劃設(shè)計研究院，天津 300201；3. 天津市津能濱海熱電有限公司 300451)

隨著社會經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展與人民生活水平的日益提高，水資源已逐漸成為城市進(jìn)步與發(fā)展的限制性因素．而作為城市重要基礎(chǔ)設(shè)施的供水管網(wǎng)，其安全可靠地運(yùn)行是人民正常生產(chǎn)生活的最重要保障．在供水管網(wǎng)性能評價的研究中，學(xué)者們大多著眼于管網(wǎng)的水力安全性能，常常忽視了管網(wǎng)的水質(zhì)可靠度問題．當(dāng)管網(wǎng)發(fā)生爆管、漏損等水力事故時，影響范圍僅局限于事故管段及周邊管段；而當(dāng)管網(wǎng)某處水質(zhì)出現(xiàn)異常時，其下游管網(wǎng)所有用戶都將受到影響．可見，管網(wǎng)水質(zhì)問題與水力相比，影響范圍更大，且發(fā)生事故后更難處理．因此，從水質(zhì)角度出發(fā)研究管網(wǎng)的可靠性評價方法更有意義和價值．筆者提出了一種基于路徑熵思路的管網(wǎng)水質(zhì)評價方法，推導(dǎo)了以余氯指標(biāo)表征的管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵計算公式，定義了水質(zhì)最大熵與水質(zhì)相對熵并建立了計算模型，為供水管網(wǎng)水質(zhì)評價與安全評估提供了理論依據(jù)．

1 管網(wǎng)水質(zhì)指標(biāo)

水在配水管網(wǎng)中的流動與停留，會受到來自管道的物理、化學(xué)以及生物污染．為了更好地研究管網(wǎng)中水質(zhì)的變化規(guī)律，首先應(yīng)該選擇具有代表性的水質(zhì)指標(biāo)來表征管網(wǎng)水質(zhì)的安全性．常用的管網(wǎng)水質(zhì)評價指標(biāo)包括余氯、濁度、細(xì)菌總數(shù)、水齡等．許多試驗研究表明，管網(wǎng)水的濁度、水溫、pH 值、微生物均可影響水中余氯的衰減[1]，而余氯又對管網(wǎng)水中微生物的再生長起控制作用[2]，故余氯是評價管網(wǎng)水質(zhì)生物和化學(xué)穩(wěn)定性的重要指標(biāo)；我國城市凈水廠絕大多數(shù)采用氯消毒，按國家住建部要求各水司都設(shè)有管網(wǎng)余氯在線監(jiān)測系統(tǒng)，可實時獲得管網(wǎng)余氯數(shù)據(jù)．因此筆者采用余氯作為表征水質(zhì)安全可靠性的指標(biāo)．

下面介紹一下管網(wǎng)中余氯衰減公式與節(jié)點(diǎn)余氯計算方法[3]．

1.1 余氯衰減公式

水在配水管網(wǎng)中通常會受到來自管道的二次污染，因此氯在水的輸配過程中呈現(xiàn)出一種衰減的趨勢，且通常采用一級反應(yīng)來描述這個衰減過程，即

式中：t為反應(yīng)時間，h；k0為反應(yīng)速率常數(shù)；c0為t＝0時刻的余氯質(zhì)量濃度，mg/L；ct為t時刻的余氯質(zhì)量濃度，mg/L．

1.2 節(jié)點(diǎn)余氯計算方法

當(dāng)管網(wǎng)中某節(jié)點(diǎn)有多條上游管段時，該節(jié)點(diǎn)余氯濃度為上游管段匯入節(jié)點(diǎn)混合前(即管段終端)余氯濃度的流量加權(quán)，計算式為

式中：U(j)為節(jié)點(diǎn)j的上游節(jié)點(diǎn)的集合；cj為節(jié)點(diǎn)j的余氯質(zhì)量濃度，mg/L；ci為節(jié)點(diǎn)i的余氯質(zhì)量濃度，mg/L；qij為ij管段流量，L/s；cij為ij管段的終端余氯濃度(即經(jīng)ij管段水流匯入節(jié)點(diǎn)j混合前的余氯濃度)，mg/L．

2 信息熵在供水管網(wǎng)中的應(yīng)用

熵原本用來描述熱力學(xué)第二定律，1948 年Shannon[4]提出了信息熵的概念，用于表征信源的不確定性．他利用信息與事件發(fā)生概率互為倒數(shù)的關(guān)系，定量地度量了在某個概率空間下事件發(fā)生的不確定性，其表達(dá)式為

式中：S為信息熵；K為任意正常數(shù)，通常取值為 1；pi為事件在i(1，2，3，…，n)情況下的發(fā)生概率．

其中，概率函數(shù)pi滿足

式中pi(i＝1，2，3，…，n)構(gòu)成了整個概率空間．

隨著信息熵的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，Awumah等[5-6]于1990 年首次將信息熵應(yīng)用于給水管網(wǎng)冗余度和可靠度的計算中，但他所定義的概率空間中概率事件并不是相互獨(dú)立的．Tanyimboh 等[7-8]提出了更為合理的系統(tǒng)熵的概念，介紹了利用路徑的思路求解管網(wǎng)最大熵的方法，并對熵在管網(wǎng)水力可靠度和優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用進(jìn)行了研究[9-10]．文獻(xiàn)[11]系統(tǒng)闡述了路徑熵的計算模型．在這些研究中，研究者大多以信息熵作為量化指標(biāo)從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)冗余性和管段流量分配均勻性兩方面入手對管網(wǎng)的可靠性進(jìn)行評價，但忽略了水質(zhì)因素對于管網(wǎng)可靠性的影響．文獻(xiàn)[12]曾提出過水質(zhì)熵的概念，但未給出水質(zhì)熵的物理意義，也缺乏熵值計算公式的推導(dǎo)過程．筆者利用路徑方法重新定義了水質(zhì)熵的計算模型，并對水質(zhì)熵進(jìn)行了詳細(xì)而系統(tǒng)的推理與闡述．

3 水質(zhì)熵的定義

3.1 路徑方法

Tanyimboh 等[7]在求解管網(wǎng)最大熵時已經(jīng)利用了路徑的概念，文獻(xiàn)[11]曾闡述過路徑熵的概念，即稱度量水流對路徑選擇不確定性程度的信息熵為路徑熵，文中闡述的路徑熵僅考慮了管網(wǎng)中的流量分配，本質(zhì)上反映的是管網(wǎng)的水力性能，而忽略了水質(zhì)性能.筆者將僅考慮水力性能的路徑方法拓展到水質(zhì)評價中，以此構(gòu)成如下概率空間建立了管網(wǎng)水質(zhì)熵模型．

3.2 概率空間

根據(jù)節(jié)點(diǎn)余氯式(2)可知，節(jié)點(diǎn)匯入總流量與節(jié)點(diǎn)余氯濃度的乘積等于各上游管段流量與該管段終端余氯濃度乘積之和．若將此概念擴(kuò)展到路徑概念中，即可得到以下結(jié)論：節(jié)點(diǎn)路徑流量之和與節(jié)點(diǎn)余氯濃度的乘積等于各路徑流量與該路徑終端余氯濃度乘積之和．用公式表示為

基于此理論基礎(chǔ)，定義概率空間為

由式(5)可推知關(guān)系

因此，上述定義的概率事件滿足關(guān)系式(4)．基于上述概率空間與信息熵的表達(dá)式(3)，定義節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵公式為

3.3 節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵計算公式的推導(dǎo)

由式(8)可知，節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵的計算需已知該點(diǎn)所有路徑的路徑流量，但在實際管網(wǎng)的分析計算中只能獲取類似管段流量這類較為宏觀的數(shù)據(jù)，根本無法獲得微觀上的路徑流量．故式(8)只能作為定義式而不能對節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵進(jìn)行求解．因此，對節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵的計算公式進(jìn)行了如下推導(dǎo)．

如圖 1 所示，設(shè)a1、a2、a3分別為j的上游節(jié)點(diǎn)，從水源點(diǎn)到a1、a2、a3的路徑數(shù)分別為k、m和n-m-k個．每個路徑均有各自的路徑流量和路徑終端余氯濃度，即a1、a2、a3分別對應(yīng)著各自的集合，即

圖1 節(jié)點(diǎn)關(guān)系示意Fig.1 Schematic diagram of nodes relationship

基于路徑流量性質(zhì)的推導(dǎo)[11]，有關(guān)系為

將式(9)帶入式(8)分別計算a1、a2、a3的水質(zhì)熵，可得

設(shè)管道內(nèi)余氯衰減服從一級反應(yīng)動力學(xué)方程(2)，即

設(shè)ca1j、ca2j、ca3j分別為管段a1,j、a2,j、a3,j末端余氯質(zhì)量濃度，將節(jié)點(diǎn)余氯計算式(3)推廣到路徑，可知

根據(jù)節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵定義式(8)可知

將式(9)～式(15)帶入式(16)，經(jīng)數(shù)學(xué)整理可得到j(luò)點(diǎn)的水質(zhì)熵計算公式為

在評分標(biāo)準(zhǔn)上，2018年全國職業(yè)院校導(dǎo)游技能大賽規(guī)程中規(guī)定，參賽選手總分為100分，其中導(dǎo)游知識測試占10%，自選景點(diǎn)講解占35%，現(xiàn)場導(dǎo)游詞創(chuàng)作與講解占30%，導(dǎo)游英語口語測試占10%，才藝運(yùn)用占15%，并規(guī)定了現(xiàn)場導(dǎo)游詞創(chuàng)作與講解的評分標(biāo)準(zhǔn)及要求（見表1）。在評分標(biāo)準(zhǔn)中，對于導(dǎo)游詞的創(chuàng)作和講解基本上占據(jù)了同等分值，甚至還超了兩分，可見創(chuàng)作的重要性。選手在即興講解比賽中，是提前半小時抽取題目的，也就是說，比賽的準(zhǔn)備時間只有30分鐘，創(chuàng)作的難度可想而知。然而，即興講解詞的創(chuàng)作并不是無章可循。

將式(17)改寫為水質(zhì)熵一般形式為

4 計算模型

根據(jù)推導(dǎo)所得的節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵計算式(18)可知，節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵計算包括2 部分：一部分是節(jié)點(diǎn)本身水質(zhì)熵值計算；另一部分是上游節(jié)點(diǎn)熵值的繼承．故根據(jù)計算公式建立如下管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵計算模型，該模型易于計算機(jī)程序化的實現(xiàn)，有利于大型復(fù)雜管網(wǎng)的水質(zhì)熵計算．圖 2 將該模型計算過程以流程方式清晰、直觀地表達(dá)出來．

圖2 水質(zhì)熵計算模型流程Fig.2 Flow chart of water quality entropy calculation

5 水質(zhì)最大熵

Jaynes[13]于 1957 年提出了最大熵原理，即概率分布越均勻，事件發(fā)生的不確定性越大，此時熵值最大．本文將路徑余氯含量平均分配時的水質(zhì)熵定義為水質(zhì)最大熵，即在理想狀態(tài)下，節(jié)點(diǎn)從每個路徑獲得氯的概率相同．基于Tanyimboh 等[7]對單水源管網(wǎng)最大熵的推導(dǎo)，可知路徑余氯含量平均分配的情況下，節(jié)點(diǎn)從每個路徑獲得余氯含量的概率相同，此時節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵只與路徑數(shù)NPj有關(guān)，因此對水質(zhì)最大熵進(jìn)行求解的公式為

6 管網(wǎng)水質(zhì)可靠度

管網(wǎng)水質(zhì)熵反映的是管網(wǎng)現(xiàn)有運(yùn)行狀態(tài)下余氯含量分配的均勻程度，而水質(zhì)最大熵反映的是在理想狀態(tài)下余氯含量均勻分配時的不確定性．因此利用相對水質(zhì)熵來評價管網(wǎng)水質(zhì)可靠度．相對水質(zhì)熵計算公式為

水質(zhì)可靠度能夠反映管網(wǎng)實際運(yùn)行狀態(tài)下的余氯分配情況與理想狀態(tài)均勻分配情況的差距．Rj越接近 1，表示管網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)越接近理想狀態(tài)，即節(jié)點(diǎn)從各路徑獲取氯的不確定性越大，水質(zhì)越可靠；反之則越不可靠，有很大改進(jìn)的空間．

7 實例分析

選用了某市開發(fā)區(qū)單水源管網(wǎng)進(jìn)行水質(zhì)可靠性分析計算．通過EPANET 對管網(wǎng)的延時模擬，獲得不同時刻管網(wǎng)余氯分布狀況，按上述計算模型對管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行相對水質(zhì)熵計算可以得到各時刻節(jié)點(diǎn)相對水質(zhì)熵．為了更直觀地判斷管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)相對水質(zhì)熵，根據(jù)各類用戶不同用水曲線將各時刻相對水質(zhì)熵按不同權(quán)重進(jìn)行加權(quán)．相對水質(zhì)熵權(quán)重即管網(wǎng)中某節(jié)點(diǎn)在某一時刻的相對水質(zhì)熵在評價該節(jié)點(diǎn)相對水質(zhì)熵中的重要程度．由于在用水高峰時刻管網(wǎng)用水量較高，水流速度較快，水齡較短，此時用戶水質(zhì)較好；相反在用水低谷時刻，管網(wǎng)中水的停留時間過長使得水質(zhì)變差，故依此規(guī)律，繪制出各類用戶不同時刻水質(zhì)可靠度權(quán)重曲線，見圖 3．該曲線主要反映不同時刻水質(zhì)可靠度對評價該節(jié)點(diǎn)水質(zhì)可靠性的貢獻(xiàn)程度，從圖3 中可以看出，各類用戶的權(quán)重分配均與其各自用水量變化成相反趨勢，即用水高峰時刻權(quán)重較低，用水低谷時刻權(quán)重較高．

圖3 各類用戶時刻相對水質(zhì)熵權(quán)重曲線Fig.3 Relative water quality entropy-weighting curves of each user at different times

經(jīng)過各類用戶不同時刻相對水質(zhì)熵加權(quán)，計算出能夠反映整個管網(wǎng)現(xiàn)狀的節(jié)點(diǎn)相對水質(zhì)熵，用于表征各節(jié)點(diǎn)水質(zhì)可靠度，并將計算結(jié)果繪制成管網(wǎng)等水質(zhì)可靠度分布．如圖 4 所示，水廠附近用戶點(diǎn)水質(zhì)可靠度較高，且從水廠到管網(wǎng)末稍的水質(zhì)可靠度呈現(xiàn)出逐漸降低的趨勢．隨著氯在傳輸過程中輸配路徑不斷加長，路徑間阻力不同使得各路徑傳輸氯的概率分布不均，故管網(wǎng)末梢可靠度較低．此實例管網(wǎng)整體水質(zhì)可靠度較低，主要是由于設(shè)計管徑較大，管中流速較低，且水齡較長，從而使得水質(zhì)可靠度較低．因此，圖中相對水質(zhì)熵低于 0.3 的區(qū)域管網(wǎng)水質(zhì)可靠度有很大提升空間．

圖4 單水源管網(wǎng)等水質(zhì)可靠度分布Fig.4 Distribution of equal water quality reliability in single-source networks

8 結(jié) 語

利用路徑思路推導(dǎo)了管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水質(zhì)熵計算公式，介紹了求解水質(zhì)熵的計算模型，并定義了水質(zhì)最大熵與水質(zhì)相對熵的概念，最后將水質(zhì)相對熵用于評價管網(wǎng)水質(zhì)可靠度．此評價方法與管網(wǎng)余氯分布的主要區(qū)別在于，管網(wǎng)余氯分布僅能反映節(jié)點(diǎn)余氯濃度以及變化趨勢等；而水質(zhì)熵評價方法并不是以節(jié)點(diǎn)余氯濃度來表征水質(zhì)，而是從余氯傳輸路徑的角度評價管網(wǎng)的水質(zhì)狀況．

根據(jù)水質(zhì)相對熵的定義可知，Rj越接近 1，管網(wǎng)水質(zhì)越可靠，反之越不可靠．經(jīng)算例分析，管網(wǎng)水質(zhì)可靠度與管網(wǎng)冗余度和余氯含量輸配均勻程度相關(guān)．實際工況越接近理想狀態(tài)，各路徑承擔(dān)傳輸余氯任務(wù)的概率分布越均勻，管網(wǎng)水質(zhì)可靠度越高；同時，管網(wǎng)冗余度越大，即傳輸氯的路徑越多，水質(zhì)最大熵越大，此時在管網(wǎng)理想狀態(tài)下水質(zhì)可靠度越高．利用相對水質(zhì)熵來評價管網(wǎng)實際運(yùn)行狀態(tài)下傳輸余氯的路徑分配情況與理想狀態(tài)均勻分配情況的差距，依此方法能夠找到管網(wǎng)結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)，為管網(wǎng)的水質(zhì)安全輸配改造提供依據(jù)．

本文中介紹的管網(wǎng)水質(zhì)可靠度評價方法能夠清晰直觀地找到管網(wǎng)水質(zhì)可靠度較低的區(qū)域，通過分析其影響因素，為管網(wǎng)有針對性的改造擴(kuò)建提供了科學(xué)的依據(jù)．管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計，以及系統(tǒng)優(yōu)化等領(lǐng)域均可將管網(wǎng)水質(zhì)熵作為目標(biāo)函數(shù)或約束條件進(jìn)行優(yōu)化計算，故水質(zhì)可靠性評價對管網(wǎng)改造優(yōu)化工作具有一定的指導(dǎo)意義．

本文中主要利用余氯表征管網(wǎng)水質(zhì)，在今后水質(zhì)可靠度的研究中還可以考慮水齡、濁度等指標(biāo)以及多種指標(biāo)相結(jié)合的方法定義水質(zhì)可靠度．同時，信息熵在供水管網(wǎng)可靠性分析中的應(yīng)用一直都忽略了管網(wǎng)水壓的重要性，其影響有待于進(jìn)一步研究．

［1］劉 淵，高 鵬. 供水管網(wǎng)中余氯衰減變化的主要影響因素分析[J]. 科技情報開發(fā)與經(jīng)濟(jì)， 2006 ，16(6)：150-151.Liu Yuan，Gao Peng. The analysis on the main factors influencing the residual chlorine decay process in watersupply pipeline[J].Sci-Tech Information Development and Economy，2006，16(6)：150-151(in Chinese).

［2］姜登嶺，倪國葳，張樹德，等. 管網(wǎng)水常規(guī)水質(zhì)指標(biāo)變化規(guī)律及其對懸浮菌生長的影響[J]. 河北理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，29(3)：126-129.Jiang Dengling，Ni Guowei，Zhang Shude，et al.Changes of turbidity，pH，chlorine residual and heterotrophic plate count(HPC)in drinking water network and its’ effect on bacterial regrowth[J].Journal of Hebei Polytechnic University：Natural Science Edition，2007，29(3)：126-129(in Chinese).

［3］閻立華，于淑華. 環(huán)狀管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)余氯量計算方法[J].沈陽建筑工程學(xué)院學(xué)報，1998，14(4)：332-335.Yan Lihua，Yu Shuhua. Calculation method for gridiron nodal points residual chlorine amount [J].Journal of Shenyang Architectural and Civil Engineering Institute，1998，14(4)：332-335(in Chinese).

［4］Shannon C E. A mathematical theory of communication[J].The Bell System Technical Journal，1948，27(3)：379-423，623-656.

［5］Awumah K，Goulter I，Bhatt S K. Assessment of reliability in water distribution networks using entropy based measures[J].Stochastic Hydrology and Hydraulics，1990，4(4)：309-320.

［6］Awumah K，Goulter I，Bhatt S K. Entropy-based redundancy measures in water-distribution networks[J].Journal of Hydraulic Engineering，1991，117(5)：595-614.

［7］Tanyimboh T T，Templeman A B. Maximum entropy flows for single-source networks[J].Engineering Optimization，1993，22(1)：49-63.

［8］Tanyimboh T T，Templeman A B. Calculating maximum entropy flows in networks[J].Journal of the Operational Research Society，1993，44(4)：383-396.

［9］Tanyimboh T T，Templeman A B. A quantified assessment of the relationship between the reliability and entropy of water distribution systems[J].Eng Opt，2000，33(2)：179-199.

［10］Setiadi Y，Tanyimboh T T，Templeman A B. Modelling errors，entropy and the hydraulic reliability of water distribution systems[J].Advances in Engineering Software，2005，36(11/12)：780-788.

［11］伍悅濱，王 芳，田 海. 基于信息熵的給水管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性分析[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2007，39(2)：251-254.Wu Yuebin，Wang Fang，Tian Hai. Entropy-based reliability analysis in water distribution systems[J].Journal of Harbin Institute of Technology，2007，39(2)：251-254(in Chinese).

［12］駱碧君. 基于可靠度分析的供水管網(wǎng)優(yōu)化研究[D]. 天津：天津大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，2010.Luo Bijun. Reliability-Based Optimization of Water Distribution Systems[D]. Tianjin：School of Environmental Science and Engineering，Tianjin University，2010(in Chinese).

［13］Jaynes E T. Information theory and statistical mechanics[J].Statistical Physics Brandeis Lectures，1957，106(4)：620-630.