金宏平，陳建國

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機械工程系，湖北十堰442002）

傳統(tǒng)的硬度值用最大壓入載荷與壓頭卸載后的殘余壓痕表面積之比來表示，其測量方法相對簡單、高效，使得其在工程實際中得到廣泛應(yīng)用，并且衍生出很多種硬度的測量方式。但是，其測量精度受到試樣的制備方法、表面粗糙度、測試設(shè)備和測試條件（包括載荷保持時間、加載速度、壓痕間距和試樣表面的處理等）以及計算方法等因素的影響，導(dǎo)致其準(zhǔn)確性較低，尤其是其殘余壓痕尺寸較大。因此，其主要用于較大尺寸的試樣的硬度測量，對于微小構(gòu)件和薄膜材料的硬度測量就無能為力。

壓痕方法是利用壓痕儀在加載和卸載過程中采集載荷和位移信息，如圖1a所示，在此基礎(chǔ)上根據(jù)相應(yīng)的理論和方法計算壓痕的投影接觸面積，由此計算材料的壓痕硬度值。壓痕硬度定義為最大載荷與接觸面積的投影之比。由于可以采用不同的方法來計算壓痕的投影接觸面積，因此壓痕硬度的評價方法各具優(yōu)缺點。目前，在計算壓痕面積的方法中應(yīng)用最廣的是Oliver-Pharr方法[1]，由于其快捷方便，且易于實現(xiàn)，是現(xiàn)有商品化納米壓痕儀中所采用的壓痕投影接觸面積的計算方法。

圖1 壓痕的載荷—位移曲線和堆積/沉陷圖

Oliver[2]等通過研究拋物面形狀壓頭的接觸深度hc、壓入深度hm和卸載后的殘余壓痕深度hr的關(guān)系，根據(jù)彈性理論，提出了接觸深度的計算公式：

式中：Fm是最大載荷；S為卸載斜率；β是與壓頭形狀有關(guān)的參數(shù)，對于球形壓頭，β＝0.75。

假定球壓頭是剛性的，根據(jù)球形壓痕的幾何形狀，其投影接觸面積：

式中：ac為接觸半徑；R為球形壓頭的半徑。

根據(jù)壓痕硬度的定義，H的計算公式為

對于常規(guī)的彈塑性材料，其Fm和S 永遠是正值，從式（1）可以看出，接觸深度hc總是小于hm，即在壓痕接觸邊沿總是呈現(xiàn)材料沉陷狀態(tài)，如圖1b右邊所示。然而，在實際工程應(yīng)用中并非都如此，例如對于比較軟的材料，在壓痕接觸邊沿可能會出現(xiàn)材料堆積，如圖1b 左邊所示，此時接觸深度hc就會大于壓入深度hm。此時如果還采用式（1）來計算接觸深度，就會產(chǎn)生很大的誤差。因此，基于Oliver-Pharr方法獲得的投影接觸面積用來計算硬度的壓痕儀只適用于材料沉陷的情況。但是，由于該方法簡單、方便，不少學(xué)者仍然采用該方法用于壓痕硬度的研究[3-4]。

在利用壓痕方法獲得材料的壓痕硬度時，接觸區(qū)域的幾何形狀的精確確定非常重要。但是由于在接觸區(qū)域邊沿會發(fā)生材料堆積/沉陷現(xiàn)象，因此，直接測量殘余壓痕的面積比較困難[5-6]。Bolshakov和Pharr[7]在對尖壓頭的壓痕實驗進行分析時發(fā)現(xiàn)，如果忽略壓痕邊沿的材料堆積現(xiàn)象，真實的接觸面積就會被低估60%。對于球壓頭，由于存在明顯的彈性變形到塑性變形的轉(zhuǎn)變區(qū)間，堆積/沉陷會發(fā)生明顯的變化，使得實際接觸深度和壓入深度之間存在一定的差別[8]。在彈性接觸變形階段，接觸邊沿的材料總是處于沉陷狀態(tài)，根據(jù)Hertz 接觸理論，其接觸深度等于總的壓入深度的一半。但是，當(dāng)試樣發(fā)生彈塑性變形后，由于受到材料的力學(xué)性能和壓入深度等的影響，在接觸邊沿會出現(xiàn)材料堆積或沉陷現(xiàn)象。由于產(chǎn)生堆積/沉陷的原因比較復(fù)雜，不適合用彈塑性變形理論來進行理論分析，因此，下面將采用有限元方法對其進行詳細分析。

由于堆積/沉陷與材料的彈性模量與屈服強度之比E/σy、硬化指數(shù)n以及壓入深度hm等有關(guān)，因此，下面通過對加載和卸載過程進行詳細分析，以獲得材料性能和壓入深度對球壓痕堆積/沉陷的影響規(guī)律，為評價壓痕硬度的準(zhǔn)確性提供依據(jù)。

1 有限元模型

由于在壓痕試驗中，存在接觸非線性、材料彈塑性變形的非線性和幾何變形的非線性，而ABAQUS軟件在非線性仿真計算方面有著比較精確和快速的優(yōu)勢，因此采用ABQAUS 6.11軟件對壓痕接觸過程進行有限元仿真分析。

在采用ABAQUS有限元軟件進行分析時，為提高效率、減少工作量，將模型簡化為軸對稱結(jié)構(gòu)，并設(shè)置為大變形模式。在分析中采用圓柱坐標(biāo)，徑向坐標(biāo)為r，軸向坐標(biāo)為z，如圖2a所示。球形壓頭的直徑為1.588 mm（標(biāo)準(zhǔn)的洛氏硬度計球壓頭）。當(dāng)試樣的半徑與接觸半徑之比大于100時，邊界的約束對壓痕區(qū)域的應(yīng)力分布不受影響[9]，因此定義圓柱試樣的直徑為20 mm，高度為10 mm。由于球形壓頭的彈性模量遠遠大于被壓材料的彈性模量，為了節(jié)省計算時間和提高計算效率，在ABAQUS中采用解析剛體來模擬球形壓頭。在試樣底部施加水平約束，防止試樣在z軸上的運動，但其可以在r方向上運動。通過對壓頭施加位移來驅(qū)動壓頭的移動，根據(jù)壓頭上的反作用力來獲得壓入載荷。

圖2 壓痕模型圖和網(wǎng)格單元圖

為獲得一般性的結(jié)論，在仿真中采用的材料模型具有各向同性硬化特性，其本構(gòu)關(guān)系為

式中：E為彈性模量；σy為屈服強度；n為硬化指數(shù)；σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；K為強度系數(shù)，根據(jù)連續(xù)性條件，K＝σy（E/σy）n。

在仿真分析中，為了獲得比較全面的結(jié)論，選擇了96種不同材料的參數(shù)以保證能覆蓋工程中常用的材料，其彈性模量和屈服強度比的范圍為25～1000。泊松比對壓痕試驗的載荷—位移曲線影響比較小[10]，而且大分部的工程材料的泊松比近似等于0.3，因此泊松比 ν取0.3。硬化指數(shù)n分別取0、0.1、0.3和0.5。為獲得壓入深度對壓痕的堆積/沉陷的影響，分別采用4種不同的壓入深度進行仿真，其壓入深度分別為0.01mm、0.015mm、0.02mm和0.025mm。

由于壓痕是局部變形，而且所關(guān)心的是接觸區(qū)域附近的變形狀況，因此，將接觸區(qū)域劃分成比較小的網(wǎng)格，以便能更精確的獲得接觸過程的形貌。在接觸區(qū)域附近采用三節(jié)點單元，而遠離接觸區(qū)域的單元采用4節(jié)點，總共劃分成9725個單元，如圖2b所示。壓頭外表面與試樣的上表面設(shè)置為接觸對，由于壓頭的剛度大于試樣的剛度，因此，壓頭的外表面設(shè)置成主面，試樣的上表面設(shè)置成從面。在仿真分析中，假定壓頭與試樣接觸表面之間無摩擦[10]。

2 仿真結(jié)果分析

2.1 E/σy 對堆積/沉陷的影響

在球形壓痕接觸過程中，堆積/沉陷的演變與彈性和塑性變形的程度有很大關(guān)系，即與彈性模量和屈服強度之比E/σy有很大聯(lián)系。當(dāng)E/σy為0時，壓痕接觸為純彈性變形過程，接觸邊沿表現(xiàn)為沉陷現(xiàn)象，根據(jù)Hertz 接觸理論，在完全彈性狀態(tài)下，沉陷量與壓入深度的比值s/hm為-0.5。卸載后，其彈性變形完全恢復(fù)。當(dāng)E/σy為∞，壓痕接觸為剛塑性變形，在接觸邊沿附近呈現(xiàn)明顯的堆積現(xiàn)象，此時接觸深度將明顯大于壓入深度。

圖3是hm/R為0.0126時的加卸載后的壓痕形貌。材料為6種不同的彈塑性材料，其E/σy為25、60、100、250、666.7和1000，其硬化指數(shù)n為0。為了便于比較，將壓痕的徑向位移和軸向位移分別用球半徑和壓入深度進行歸一化。

圖4 E/σy 對堆積/沉陷的影響

圖3 E/σy 對壓痕形貌的影響

從圖3a中可以看出，在加載過程中，當(dāng)材料的E/σy為25時，在壓痕周圍呈現(xiàn)明顯的沉陷現(xiàn)象。隨著E/σy增加，沉陷減小，繼而出現(xiàn)堆積現(xiàn)象，當(dāng)E/σy為1000時，在壓痕邊沿產(chǎn)生大量的材料堆積。這是因為當(dāng)E/σy比較小時，在壓痕區(qū)域，彈性變形部分比較大，而塑性變形區(qū)域比較小，因此出現(xiàn)比較明顯的沉陷現(xiàn)象。而當(dāng)E/σy比較大時，接觸區(qū)域的塑性變形部分較大，使得接觸邊沿部分更易出現(xiàn)材料堆積。

在卸載后，由于彈性恢復(fù)，壓痕形狀發(fā)生明顯變化。圖3b所示為E/σy對卸載后的壓痕形狀的堆積/沉陷的影響。當(dāng)E/σy為25時，被壓材料的彈性恢復(fù)比較明顯，殘余壓痕深度很小。但是對于E/σy為1000的材料，其塑性變形占主要部分，因此其彈性恢復(fù)比較小。從圖中還可以看出，不管加載狀態(tài)下的壓痕處于堆積或沉陷狀態(tài)，卸載后，壓痕周圍都是呈現(xiàn)材料堆積現(xiàn)象。

歸一化的堆積/沉陷量s/hm與E/σy的變化關(guān)系如圖4所示。在加載階段，隨著E/σy增加，塑性變形量也隨之增加，導(dǎo)致材料的沉陷量減小，因此s/hm增加。當(dāng)E/σy約為400時，s/hm為0，此時無堆積/沉陷現(xiàn)象發(fā)生。當(dāng)E/σy大于400，s/hm變?yōu)檎?，即出現(xiàn)材料堆積現(xiàn)象。卸載后，s/hm均大于0，且隨著E/σy增加而增大。

從上面的分析中可以看出，堆積/沉陷與彈性變形和塑性變形量有關(guān)，即受E/σy決定；由于彈性恢復(fù)，壓痕形狀在加載狀態(tài)和卸載狀態(tài)下有很大的差別，尤其是E/σy比較小時，差別更明顯。

2.2 n 對堆積/沉陷的影響

圖5反映了硬化指數(shù)對壓痕形貌的影響。從圖5a中可以看出，在加載過程中，隨著n的增加，堆積減小，沉陷增加。這是因為n的增加，材料抵抗變形的能力增加。當(dāng)E/σy比較大時，即材料比較軟時，n的影響更加明顯。當(dāng)E/σy比較小時，n的影響也相對減弱。在卸載狀態(tài)下，n的增加，彈性恢復(fù)也相應(yīng)增加，如圖5b所示。

圖6所示為硬化指數(shù)n與s/hm的關(guān)系。從圖中可以看出，隨著n的增加，堆積減小，沉陷增加。特別是當(dāng)E/σy比較大時，加載和卸載的材料堆積/沉陷量受硬化指數(shù)n的影響更加明顯。

圖5 n 對壓痕形貌的影響

圖6 n 對堆積/沉陷的影響

2.3 hm/R 對堆積/沉陷的影響

圖7為理想彈塑性材料（n=0）的歸一化壓入深度hm/R與壓痕形貌之間的關(guān)系。為更清楚地反映材料的堆積/沉陷關(guān)系，繪制了2種不同材料E/σy為100和E/σy為1000的壓痕形貌。從圖7a中可以看出，在加載過程中，隨著hm/R 增加，由于材料的塑性變形量增加，導(dǎo)致沉陷減小而堆積量增加。

圖7b為卸載后的壓痕形貌。從圖中可以看出，隨著壓入深度的增加，由于塑性變形區(qū)域也隨之增加，因此其彈性恢復(fù)程度減小，而且殘余壓痕總是呈現(xiàn)一定程度的堆積。

圖8為加載和卸載狀態(tài)下的堆積/沉陷量與壓入深度之間的關(guān)系。從圖中可以看出，由于彈性恢復(fù)，加載狀態(tài)和卸載狀態(tài)下的壓痕形貌呈現(xiàn)很大的差別，特別是E/σy比較小的材料?？梢姸逊e/沉陷與壓入深度有很大的關(guān)聯(lián)。

圖7 hm/R 對壓痕形貌的影響

圖8 hm/R 對堆積/沉陷的影響

從圖4和圖8中可以看出，材料的彈性特性和壓入深度對壓痕的堆積/沉陷現(xiàn)象有相似的影響，增加hm/R 相當(dāng)于增加E/σy。事實上它們都與接觸的彈性和塑性變形量有關(guān)。當(dāng)E/σy和hm/R 比較小時，彈性變形占主要部分，隨著它們的增加，塑性變形也隨之增加。根據(jù)Johnson 提出的球接觸的等效應(yīng)變Eac/（σyR）用來描述材料的變形，采用此變量來分析壓痕形貌與E/σy和hm/R的關(guān)系。

圖9為等效應(yīng)變Eac/（σyR）與堆積/沉陷的關(guān)系。從圖中可以看出，對于理想彈塑性材料，在加載階段，s/hm與Eac/（σyR）呈線性關(guān)系，而在卸載階段，s/hm與Eac/（σyR）呈二次曲線關(guān)系。當(dāng)Eac/（σyR）約為70時，加載階段的s/hm約為0?？梢?，可以用等效應(yīng)變Eac/（σyR）來描述E/σy和hm/R 對堆積/沉陷的影響。

圖10為材料的等效應(yīng)變和硬化指數(shù)對堆積/沉陷的影響。從圖中可以看出，在加載階段，隨著n的增加，堆積減小。而在卸載階段，沉陷隨n的增加而增加。

根據(jù)圖10 b所示的三維曲面圖，采用多項式函數(shù)進行擬合，擬合公式為

式中：a（i＝1～10）為擬合的常數(shù)，其值如表1所示。

由于s和ac均與接觸深度hc相關(guān)，如果已知材料的力學(xué)性能參數(shù)（E、σy、n），根據(jù)式（5）就可以計算出接觸深度hc，如表2所示。從表中可以看出，根據(jù)式（5）計算的接觸深度hc與仿真得到的hc的誤差不超過6%。

通過比較hc與hm之間的關(guān)系，就可以大致判斷出壓痕過程的堆積/沉陷狀態(tài)。根據(jù)接觸深度hc和接觸半徑ac之間的關(guān)系：

可計算出接觸深度ac，根據(jù)該接觸深度與實際測得的壓痕半徑相比較就可評判壓痕硬度的準(zhǔn)確性。

圖9 Eac/（σyR）與堆積/沉陷的關(guān)系

圖10 n和Eac/（σyR）與堆積/沉陷的關(guān)系

表1 擬合函數(shù)的系數(shù)

表2 擬合計算結(jié)果

3 結(jié)論

由于在壓痕接觸過程中，壓痕周圍會出現(xiàn)材料堆積/沉陷現(xiàn)象，其直接影響到接觸面積的精確確定，導(dǎo)致壓痕硬度計算的誤差。通過有限元仿真技術(shù)詳細分析了材料性能和壓入深度對堆積/沉陷的影響，得到了如下結(jié)論：

1）在加載階段，對于純彈性變形，s/hm為-0.5。隨著E/σy增加，材料的沉陷量減小。當(dāng)E/σy約為400時，無堆積/沉陷現(xiàn)象發(fā)生。當(dāng)E/σy大于400，出現(xiàn)材料堆積現(xiàn)象。卸載后，s/hm隨著E/σy增加而增大。

2）隨著n的增加，堆積減小，沉陷增加。特別是當(dāng)E/σy比較大時，加載和卸載的材料堆積/沉陷量受硬化指數(shù)n的影響更加明顯。

3）堆積/沉陷與壓入深度有很大的關(guān)聯(lián)。在加載階段，隨著hm/R 增加，沉陷減小而堆積量增加。

4）根據(jù)等效應(yīng)變與材料堆積/沉陷的擬合函數(shù)關(guān)系，可以大致判斷出壓痕過程的堆積/沉陷狀態(tài)，從而可以對所計算得到的壓痕硬度的準(zhǔn)確性可以進行評判。

[1]劉琦.基于壓痕功的微納米表層硬度檢測技術(shù)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010.

[2]W.C.Oliver，G.M.Pharr.An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments[J].Journal of Materials Research，1992，7（6）∶1564-1580.

[3]A.Rico，J.Gómez-García，C.J.Múnez，et al.Mechanical properties of thermal barrier coatings after isothermal oxidation.∶Depth sensing indentation analysis[J].Surface and Coatings Technology，2009，203（16）∶2307-2314.

[4]D.Passeri，A.Bettucci，A.Biagioni，et al.Indentation modulus and hardness of viscoelastic thin films by atomic force microscopy∶A case study[J].Ultramicroscopy，2009，109（12）∶1417-1427.

[5]J.Rodríguez，M.A.G.Maneiro.A procedure to prevent pile up effects on the analysis of spherical indentation data in elastic - plastic materials[J].Mechanics of Materials，2007，39（11）∶987-997.

[6]B.Taljat，G.M.Pharr.Development of pile-up during spherical indentation of elastic - plastic solids[J].International Journal of Solids and Structures，2004，41（14）∶3891-3904.

[7]A.Bolshakov，W.C.Oliver,G.M.Pharr.Influences of stress on the measurement of mechanical properties using nanoindentation∶Part II.Finite element simulations[J].Journal of Materials Research，1996，11（3）∶760-768.

[8]Z.H.Xu，J.gren.An analysis of piling-up or sinking-in behaviour of elastic -plastic materials under a sharp indentation[J].Philosophical Magazine，2004，84（23）∶2367-2380.

[9]M.H.Zhao.Nanoindentation∶mechanisms and applications[D].New York：Columbia University，2007.

[10]Y.T.Cheng，C.M.Cheng.Scaling approach to conical indentation in elastic-plastic solids with work hardening[J].Journal of Applied Physics，1998，84（3）∶1284-1291.