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        靜電場中高斯定理的證明

        2013-10-10 03:23:16姜廣軍
        關(guān)鍵詞:E通電場線點(diǎn)電荷

        付 靜, 姜廣軍

        (吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院 基礎(chǔ)部,吉林 長春 130111)

        0 引 言

        高斯定理的證明一般有3種方法[1]:

        1)利用電場線模型,先從點(diǎn)電荷位于球面內(nèi)球心處的特例來證明高斯定理,然后再推廣到任意的閉合曲面。這種方法相對比較簡單,但是從特例推廣一般情況不夠嚴(yán)謹(jǐn);

        2)利用立體角的概念證明高斯定理,此方法雖嚴(yán)謹(jǐn),但要求學(xué)生具有豐富的空間想象力,難度較大;

        3)應(yīng)用電場強(qiáng)度概念和純數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明高斯定理,這種方法非常繁雜和抽象,且物理含義不清晰。

        1 電場強(qiáng)度通量的概念

        借助于電場線的圖像,引入電場強(qiáng)度通量的概念[2-4]。通過任意一曲面的電場強(qiáng)度通量如圖1所示。

        必須指出,對非閉合曲面,面法線的正方向可以取曲面的任一側(cè),對閉合曲面來說,通常規(guī)定自內(nèi)向外的方向?yàn)槊娣e元法線的正方向,所以,在電場線從曲面之內(nèi)向外穿出處,E通量為正;反之,在電場線從外部穿入曲面處,E通量則為負(fù)。

        圖1

        2 高斯定理的證明

        2.1 正點(diǎn)電荷在球面中心

        在正點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場中,通過以點(diǎn)電荷為中心、半徑為r的球面上的E通量如圖2所示。

        圖2

        利用庫侖定律,在球面上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為

        利用式(1)可求得通過該閉合球面上的E通量為:

        2.2 正點(diǎn)電荷不在球面中心(或任意閉合曲面內(nèi))

        圖3

        2.3 多個(gè)正點(diǎn)電荷在閉合曲面內(nèi)

        如圖4所示,n個(gè)電荷在閉合曲面內(nèi),根據(jù)電場強(qiáng)度疊加原理,空間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度是這n個(gè)電荷電場的矢量和

        此時(shí),通過該閉合曲面的E通量是

        圖4

        2.4 正點(diǎn)電荷在球面外

        如圖5所示,如果閉合曲面內(nèi)沒有包圍電荷,電荷在閉合曲面外面,那么進(jìn)入閉合曲面的電場線等于穿出閉合曲面的電場線,所以總的E通量為0,即

        綜合以上討論,不難得出結(jié)論,在靜電場中,通過任一閉合曲面的E通量,等于該曲面內(nèi)電荷量的代數(shù)和除以ε0,一般寫為

        圖5

        3 對高斯定理的理解[5-7]

        1)在等式左邊的積分中,E是曲面S上各處的電場強(qiáng)度。閉合曲面即為高斯面。選取高斯面時(shí),一般是根據(jù)對稱性,使曲面的法線平行于該處的E,或使法線垂直于該處的E。

        3)高斯面內(nèi)以及面外的電荷位置的改變對高斯面上的通量沒影響,但對高斯面上的電場強(qiáng)度是有影響的。

        4)在實(shí)際應(yīng)用中,高斯定理常用于電荷具有某種對稱分布時(shí)所激發(fā)的對稱的電場分布,即軸對稱、球?qū)ΨQ、面對稱。

        [1]高本領(lǐng).高斯定理的簡密推導(dǎo)[J].高校理科研究,2009,34:90.

        [2]趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2003.

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        [6]沈晴,顧學(xué)文,徐筠,等.關(guān)于推證高斯定理不同方法的討論[J].物理通報(bào),2011,40(9):18-20.

        [7]張清澤,陶宗明,陳宇.對高斯定理特性與應(yīng)用的認(rèn)識[J].高等函授學(xué)報(bào),2011,24(1):29-30.

        [8]付靜,姜廣軍,袁明霞.普通物理學(xué)中磁場安培環(huán)路定理的證明[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,33(6):709-710.

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