段林珊，劉培玉，謝方方

（1.山東師范大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 濟(jì)南250014；2.山東省分布式計(jì)算機(jī)軟件新技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南250014）

0 引 言

聚類是人類最基本的認(rèn)識活動之一，也是圖像處理、模式識別、數(shù)據(jù)挖掘等眾多研究領(lǐng)域的一項(xiàng)重要研究內(nèi)容。所謂聚類，就是按照事物所具有的某些特征和屬性，把具有相似特征和屬性的事物聚集成同一類，屬性特征差別大的另分一類，最終聚類結(jié)果使得各個類之間的屬性和特性等相似度盡可能小，而聚類結(jié)果中已經(jīng)聚好的類與類之間相似度盡可能大。聚類分析應(yīng)用領(lǐng)域很廣泛，近年來隨著其不斷發(fā)展，已經(jīng)被卓有成效地應(yīng)用在數(shù)據(jù)挖掘及分析、圖像處理、模式識別等領(lǐng)域的聚類分析當(dāng)中［1］。

傳統(tǒng)的聚類分析，在進(jìn)行聚類分類之時，會有一個明確的分類界限沒有模糊性信息在其中，并且是按照事先設(shè)定好的原則和要求來將事物進(jìn)行分類的，但在實(shí)際應(yīng)用中，有大量的聚類問題在進(jìn)行聚類分析的時候并沒有完全明確的分類界限，即所謂的模棱兩可，比如對移動客服回訪滿意程度進(jìn)行評價，有非常滿意、比較滿意、滿意、不滿意等類別，諸如此類的事物，它們的特征和屬性在進(jìn)行分類時存在著一定的中介性和模糊不確定性，即事物之間沒有明確的分類界限。

鑒于此類問題，模糊性理論由美國計(jì)算機(jī)與控制專家扎德教授提出來了，之后對于其研究迅速展開，并被應(yīng)用于聚類問題，形成了模糊聚類分析方法。模糊聚類分析，就是用模糊理論對海量以及重要數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立樣本屬性類別的不確定性描述，已經(jīng)被廣泛并且有效地應(yīng)用于海量數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)建模、模式識別、圖像處理等重要領(lǐng)域 具有重要的理論與實(shí)際應(yīng)用價值，完全可以比較客觀地反映現(xiàn)實(shí)世界。隨著各種應(yīng)用的不斷發(fā)展，由于模糊聚類算法具有廣泛的適用性，因此對其研究與日俱增并取得了一定的理論成果和實(shí)踐成效，其中，模糊C均值聚類［2，3］算法是目前的聚類算法當(dāng)中應(yīng)用領(lǐng)域最為廣泛的，它是一種無導(dǎo)師即無監(jiān)督學(xué)習(xí)的一種聚類算法，也是一種基于目標(biāo)函數(shù)的聚類分析法［4］。已廣泛應(yīng)用于生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、目標(biāo)識別、地理等領(lǐng)域。該算法針對聚類中心設(shè)定隸屬度函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)和相關(guān)閾值，通過計(jì)算樣本點(diǎn)對于各個聚類中心的隸屬度函數(shù)自動對樣本進(jìn)行分類。

模糊C均值聚類 （FCM）算法具有應(yīng)用范圍廣泛、使用方便、設(shè)計(jì)簡單等優(yōu)點(diǎn)，可以用于解決尋求全局最優(yōu)解問題，但是它也存在不足之處：該算法無法自動確定初始聚類數(shù)，需要根據(jù)先驗(yàn)知識進(jìn)行人為確定輸入，并且在進(jìn)行確定之時還沒有明確的準(zhǔn)則可以遵循，具有盲目性，這樣，初始聚類數(shù)過大或過小都會影響算法產(chǎn)生聚類的效果；此外，傳統(tǒng)的FCM算法忽略了不同樣本分類貢獻(xiàn)的不均衡性，把樣本屬性貢獻(xiàn)視為等同的，因而可能會影響分類結(jié)果準(zhǔn)確度。FCM的這些不足之處會使算法陷入局部最優(yōu)，降低算法收斂速度。

針對上文提到的FCM的不足之處，國內(nèi)外研究學(xué)者已經(jīng)對其進(jìn)行了相關(guān)的改進(jìn)和研究，很多學(xué)者將進(jìn)化理論中的思想運(yùn)用到FCM中，以期得到全局最優(yōu)。文獻(xiàn) ［5］運(yùn)用人工免疫細(xì)胞模型來生成聚類初始值，文獻(xiàn) ［6］將遺傳算法結(jié)合到FCM算法中解決局部最優(yōu)問題，文獻(xiàn) ［7］運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法解決此弊端。

本文利用模擬退火算法具有與初始值和初始狀態(tài)無關(guān)以及全局最優(yōu)的特點(diǎn)，運(yùn)用模擬退火算法來確定FCM初始聚類數(shù)，并根據(jù)樣本屬性對分類貢獻(xiàn)差異設(shè)定加權(quán)值，提出一種基于模擬退火算法的樣本加權(quán)FCM算法 （SASWFCM），并經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性和優(yōu)越性。

1 模糊C均值聚類算法

模糊C均值聚類算法是根據(jù)隸屬度大小來確定一個事物是否屬于一個類別，與傳統(tǒng)的沒有明確分類界限的硬劃分方法大不相同，它采用模糊隸屬度來劃分，具有比較可觀的聚類效果。它是針對聚類中心設(shè)定隸屬度函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)和相關(guān)閾值，通過計(jì)算樣本點(diǎn)對于各個聚類中心的隸屬度函數(shù)自動對樣本進(jìn)行分類。

文獻(xiàn) ［8］中對模糊C均值聚類算法有一個詳細(xì)的描述，算法具體過程如下：假設(shè)一個樣本空間為X＝｛x1，x2，……xn｝，將此樣本空間X分成m類，m需是大于1的一個正整數(shù) ，隸屬度函數(shù)用一個模糊矩陣來表示，矩陣中u＝（uij），uij為第i個樣本屬于第j類的隸屬度大小。為此定義

其中，第j個聚類的中心點(diǎn)用cj來表示，xi－cj稱為樣本xi到某一個聚類中心cj的歐式距離。從式 （1）可以分析出，如果樣本點(diǎn)xi到第j個聚類中心的距離越近，則相對應(yīng)的那個隸屬度就越小，即uij越小。其中＝1，i＝1，2，3……n，j＝1，2，……m 。FCM 的目標(biāo)函數(shù)F（U，c）定義為

其中b稱為一個模糊度指數(shù)，隨著它的數(shù)值的增大，整個聚類的模糊性就越大。從式 （2）可以看出，xi－cj如果越小，則uij就會越小，則目標(biāo)函數(shù)值F就會越小。FCM聚類算法執(zhí)行過程中，需要對聚類中心值進(jìn)行多次嘗試性修改，每一次修改后進(jìn)行計(jì)算對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值F（U，c），直至最終達(dá)到滿意的聚類效果。因此，F(xiàn)CM算法可以稱之為是一個不斷優(yōu)化迭代目標(biāo)函數(shù)F（U，c），尋找最佳目標(biāo)函數(shù)值的一個過程。在算法中需要不斷修改聚類中心值，所以定義聚類中心點(diǎn)函數(shù)如下

根據(jù)以上描述內(nèi)容，確定模糊C均值聚類算法的迭代過程如下：

步驟1 事先設(shè)定模糊度數(shù)b和一個聚類類數(shù)的初始值。

步驟2 隨機(jī)性地產(chǎn)生m個聚類中心，其中0代表此時算法的迭代次數(shù)是0。

步驟3 根據(jù)式 （1）和每一次迭代產(chǎn)生的聚類中心函數(shù)來計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，再根據(jù)每一次迭代產(chǎn)生的隸屬度函數(shù)uij，進(jìn)一步更新聚類中心函數(shù)cj的值，反復(fù)進(jìn)行步驟3算法過程，直至目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最終理想的目標(biāo)函數(shù)最小值，或者等目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到低于預(yù)先給定的較小的一個閾值ε時再停止算法執(zhí)行。

從上述算法描述可以看出，傳統(tǒng)的模糊C均值聚類算法，設(shè)定初始簇的數(shù)目也就是聚類個數(shù)和確定模糊指數(shù)之時，并沒有一個合理明確的準(zhǔn)則可以遵循，而是需要人為或者專家根據(jù)先驗(yàn)知識來輸入初始值，然后算法繼續(xù)執(zhí)行。這樣處理，不可避免地會造成各種誤差，會使算法收斂度和準(zhǔn)確度受到影響，甚至使算法陷入局部最優(yōu)。

同時，上述算法描述中目標(biāo)函數(shù)和聚類中心函數(shù)在處理各種樣本各維屬性特征或者數(shù)據(jù)屬性時并無區(qū)別，即將樣本各屬性特征或者數(shù)據(jù)屬性對最終聚類結(jié)果的貢獻(xiàn)程度視為等同的，這樣處理，可能會夸大某些孤立點(diǎn)或者噪聲數(shù)據(jù)對分類的作用，也會縮小對某些重要屬性的貢獻(xiàn)，也會導(dǎo)致聚類準(zhǔn)確度有所下降。

2 基于模擬退火的樣本加權(quán)FCM算法

2.1 基于模擬退火的FCM算法

模擬退火算法［9－11］是一種很好的求解大規(guī)模組合優(yōu)化問題的算法，基于求解全局最優(yōu)問題與物理固體退火具有相似性，該算法參數(shù)設(shè)計(jì)上采用的是物理領(lǐng)域的參數(shù)，假設(shè)溫度T時粒子趨于平衡的概率是e－ΔE／（kT），其中，k是波爾茲曼常數(shù)，內(nèi)能改變量用ΔE來表示，E代表溫度T時刻的內(nèi)能，該算法基于Metropolis準(zhǔn)則，可以進(jìn)行控制溫度由高到低的過程，

模擬退火算法原型進(jìn)行演變應(yīng)用在實(shí)際問題當(dāng)中時，把內(nèi)能變量E模擬為求解問題當(dāng)中的目標(biāo)函數(shù)值f，在實(shí)際問題當(dāng)中找到一個變量來對應(yīng)原型當(dāng)中的控制參數(shù)，即溫度T，按照上述方法和過程，就可以運(yùn)用模擬退火算法來解決各種大小規(guī)模的組合優(yōu)化問題：在算法開始迭代時，事先確定一個初始解、確定一個控制參數(shù)的初始值記為T，然后對每一次迭代過程的當(dāng)前狀態(tài)解進(jìn)行隨機(jī)擾動，以產(chǎn)生一個新的解，然后計(jì)算這兩次迭代最終的目標(biāo)函數(shù)差值，根據(jù)此差值與預(yù)先設(shè)定的很小的閾值比較情況，再判斷是否接受該新解，這樣逐次進(jìn)行迭代計(jì)算分析，并逐步衰減控制參數(shù)T的值，直到滿足算法終止條件，再輸出當(dāng)前狀態(tài)解為問題所尋求的最優(yōu)解。

模擬退火算法是基于金屬退火的機(jī)理而建立起來的一種隨機(jī)算法，它能夠通過控制溫度的變化過程來實(shí)現(xiàn)大范圍的粗略搜索與局部的精細(xì)搜索［12］。它是近年來發(fā)展起來的一種新的隨機(jī)搜索方法，與傳統(tǒng)隨機(jī)搜索策略相比而言，它具有很多優(yōu)勢：第一，它在算法過程中是對每一次迭代當(dāng)前狀態(tài)解進(jìn)行隨機(jī)擾動來產(chǎn)生新解，并以一定的概率接受或者舍棄新解，同時模擬退火算法利用實(shí)際物理固體退火過程的自然機(jī)理進(jìn)行隨機(jī)搜索。這樣在迭代過程中使得目標(biāo)函數(shù)值變 “好”，由于模擬退火算法是在整個解的鄰域范圍內(nèi)取值的隨機(jī)性，可以避免使算法陷入局部最優(yōu)解而最終獲得全局最優(yōu)解，使得獲得全局最優(yōu)解的可能性增大。第二，模擬退火算法輸入輸出的耦合程度較低。在利用該算法求解優(yōu)化問題時，求得的最優(yōu)解與算法的初始值和迭代次數(shù)無關(guān)。此外，模擬退火算法是一種具有較好的收斂性的全局優(yōu)化算法，已被理論上證明，該算法收斂于全局最優(yōu)解的概率可以達(dá)到 “1”［13］。

基于模擬退火算法具有描述簡單、使用靈活、運(yùn)用廣泛、運(yùn)行效率高和較少受到初始條件約束等優(yōu)點(diǎn)，是用來解決大規(guī)模組合優(yōu)化問題通用而又行之有效的算法之一，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于大量需要優(yōu)化的場合，比如決策控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、機(jī)器學(xué)習(xí)等算法中的局部最優(yōu)問題都用到了模擬退火算法。模糊C均值聚類算法實(shí)際可以看作是一個優(yōu)化問題，也可以采用模擬退火算法對其進(jìn)行優(yōu)化。模糊C均值聚類算法需要人為根據(jù)先驗(yàn)知識輸入初始聚類數(shù)，這樣會導(dǎo)致結(jié)果陷入局部最優(yōu)，使最終聚類效果受影響。鑒于此，本文采用模擬退火算法來求得FCM算法初始的聚類類數(shù)，改進(jìn)算法的局限性，從而使算法跳出局部最優(yōu)解，達(dá)到全局最優(yōu)解。用模擬退火算法確定FCM聚類算法初始聚類數(shù)的具體步驟描述如下：

步驟1 假定初始目標(biāo)函數(shù)值為F，F(xiàn)CM算法在進(jìn)行聚類初始時對其聚類數(shù)目賦予一個初始解為S，每一個目標(biāo)函數(shù)值F值的迭代次數(shù)記為P；

步驟2 對于r＝1，2……r，P每迭代一次都按照步驟（3）～步驟 （6）順序執(zhí)行一次；

步驟3 對每一次迭代過程中產(chǎn)生的解S進(jìn)行隨機(jī)擾動處理，產(chǎn)生的新的狀態(tài)解記為S′；

步驟4 用當(dāng)前解S作為FCM算法中的初始聚類數(shù)生成聚類中心；

步驟5 定義目標(biāo)函數(shù)為

式中：vi、vj——第i類第j類的聚類中心。計(jì)算增量Δf′＝f（S′）－f（S）；

步驟6 若Δf′＞0，則將S′作為當(dāng)前狀態(tài)下的新解，否則 就 以e（－Δf′／F）大 小 的 概 率 接 受 S′ 作 為 當(dāng) 前 狀 態(tài) 下得新解；

步驟7 如果兩次迭代過程中目標(biāo)函數(shù)差值小于預(yù)先設(shè)定的閾值，即滿足了最終算法的終止條件，則將當(dāng)前狀態(tài)下得解輸出作為問題最終的最優(yōu)解，算法結(jié)束。

2.2 樣本加權(quán)FCM算法

傳統(tǒng)的FCM算法在進(jìn)行聚類分析時，把每一個樣本的各種屬性特征對最終聚類結(jié)果的貢獻(xiàn)視為等同的或者均勻的，而這在實(shí)際應(yīng)用中是有很大的局限性的。因?yàn)閷?shí)際生活中樣本各維屬性特征對聚類貢獻(xiàn)不可能等同。

傳統(tǒng)FCM聚類算法這樣處理，必然會導(dǎo)致有些重要的樣本屬性特征結(jié)構(gòu)就很難被發(fā)現(xiàn)，另外樣本中的噪聲點(diǎn)以及孤立點(diǎn)對分類的貢獻(xiàn)就被夸大化了。

為解決此問題，本文擬對FCM聚類算法中目標(biāo)函數(shù)和聚類中心函數(shù)根據(jù)樣本屬 性特征對分類貢獻(xiàn)程度進(jìn)行合理加權(quán)處理，盡可能使得算法在分類準(zhǔn)確數(shù)和準(zhǔn)確度上有更大的提高。

受熱力學(xué)中熵定義的啟發(fā)，它是表示信息的無序度，熵值越大，信息越有效。在這里定義類似于熵的一個量Ei來衡量uij即第i個樣本屬于第j類的隸屬度的有效度。定義權(quán)重wi來表示第i個樣本點(diǎn)對聚類數(shù)據(jù)評價的影響和貢獻(xiàn)程度

其中定義FCM目標(biāo)函數(shù)為

聚類中心函數(shù)變?yōu)?/p>

式 （7）和式 （8）是進(jìn)行加權(quán)處理后的目標(biāo)函數(shù)和聚類中心函數(shù)，將其應(yīng)用于FCM聚類算法中。

2.3 基于模擬退火的樣本加權(quán)FCM算法

模糊C均值聚類算法初始聚類數(shù)需要人為根據(jù)先驗(yàn)知識確定的問題通過使用模擬退火算法來確定一個最優(yōu)解，改進(jìn)了算法，避免算法陷入局部最優(yōu)。

對于樣本或者數(shù)據(jù)的屬性特征對分類貢獻(xiàn)存在差異的問題，本文對其進(jìn)行加權(quán)處理應(yīng)用于模糊C均值聚類算法中。

基于模擬退火的樣本加權(quán)FCM算法 （SASWFCM）的步驟描述如下：

步驟1 利用模擬退火算法按照3.1中所描述的步驟確定FCM算法中初始聚類數(shù)，初始化聚類中心、權(quán)重指數(shù)wi和閾值ε，t＝0。

步驟2 根據(jù)式 （1）計(jì)算第i個樣本在第j個聚類中的隸屬度函數(shù)uij。

步驟3 根據(jù)式 （8）更新聚類中心，記錄t時刻的隸屬度，t＝t＋1。

步驟4 根據(jù)式 （7）更新目標(biāo)函數(shù)值F（U，c），如果相對于上次的目標(biāo)函數(shù)值改變量小于閾值ε，則算法停止，否則轉(zhuǎn)到步驟3。

該算法中閾值ε需要事先確定為很小很小的正整數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證本文提出的SASWFCM算法的有效性，實(shí)驗(yàn)采用UCI數(shù)據(jù)集作為測試對象，在Matlab實(shí)驗(yàn)環(huán)境下進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)分析，對傳統(tǒng)FCM算法、普通樣本加權(quán)FCM算法以及本文提出的基于模擬退火的樣本加權(quán)模糊－C均值聚類算法在聚類準(zhǔn)確數(shù)和聚類準(zhǔn)確度上進(jìn)行了比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的SASWFCM算法在聚類準(zhǔn)確數(shù)和準(zhǔn)確率上比傳統(tǒng)FCM算法及普通樣本加權(quán)FCM聚類算法都要高，具有更好的效果。

3.1 UCI數(shù)據(jù)集描述

本文是采用 UCI數(shù)據(jù)集中的Diabetes、Horse colic、Glass數(shù)據(jù)集來進(jìn)行算法性能的比較。數(shù)據(jù)源信息見表1。

表1 數(shù)據(jù)源信息

3.2 UCI數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)性能比較

表2給出了在UCI的3個數(shù)據(jù)集上，模糊C－均值（fuzzy C－means，F(xiàn)CM）聚類算法［14］，普通樣本加權(quán) FCM聚類算法以及SASWFCM算法在聚類準(zhǔn)確數(shù)目方面效果對比情況。

表2 FCM、樣本加權(quán)FCM、SASWFCM聚類準(zhǔn)確數(shù)比較

從表2實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，SASWFCM算法較之FCM以及普通樣本加權(quán)FCM算法，聚類準(zhǔn)確數(shù)目更多一些。在Diabetes數(shù)據(jù)集上SASWFCM算法的準(zhǔn)確數(shù)531比傳統(tǒng)FCM算法多很多，與普通樣本加權(quán)FCM算法基本等同高出一點(diǎn)點(diǎn)。在Horse colic、Glass上情況也類似。

表3給出了在UCI的3個數(shù)據(jù)集上，模糊C－均值（fuzzy C－means，F(xiàn)CM）聚類算法，普通樣本加權(quán)FCM聚類算法以及SASWFCM算法聚類準(zhǔn)確度效果對比情況。

表3 FCM、樣本加權(quán)FCM、SASWFCM聚類準(zhǔn)確度比較

從表3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出本文提出的SASWFCM算法在聚類準(zhǔn)確度方面較之FCM算法和普通樣本加權(quán)FCM算法都有所提高，具有實(shí)際應(yīng)用價值。

4 結(jié)束語

本文以模糊C均值聚類算法為研究背景，利用模擬退火算法實(shí)現(xiàn)簡單、求最優(yōu)解可靠性高的優(yōu)點(diǎn)，來解決FCM初始聚類數(shù)需要根據(jù)先驗(yàn)知識人為確定的不足。根據(jù)不同樣本對聚類貢獻(xiàn)不等的情況，對FCM算法中目標(biāo)函數(shù)和聚類中心函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)合理加權(quán)處理，提出一種基于模擬退火的樣本加權(quán)FCM算法 （SASWFCM）。通過相關(guān)實(shí)驗(yàn)分析表明該算法能夠避免人為確定初始聚類數(shù)帶來的誤差，不會使算法陷入局部最優(yōu)，且在樣本正確聚類數(shù)和正確聚類度方面較傳統(tǒng)FCM以及普通樣本加權(quán)FCM算法具有一定的優(yōu)越性，是一種有效地具有實(shí)際價值的聚類算法。

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