☉浙江省杭州市余杭高級中學(xué) 曹鳳山（特級教師）

筆者曾從學(xué)生“學(xué)”的角度，對數(shù)學(xué)解題的感受、認識等做過專題調(diào)查，調(diào)查報告《數(shù)學(xué)解題——想說愛你不容易——關(guān)于高中生數(shù)學(xué)解題的調(diào)查分析》發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第5期，后被中國人大《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》（原《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》）轉(zhuǎn)載、被知網(wǎng)等收錄，被不少同行參考、引用.本文換一個角度，從教師“教”的角度看，解題教學(xué)——想說愛你不容易.

“中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解題能力”（波利亞），從現(xiàn)實需要看，解題教學(xué)的重要性毋須贅言.對于解題教學(xué)，雖有眾多大家、名師諸多成功的實踐與經(jīng)典研究，但如何搞好解題教學(xué)仍然沒有公式可循.一千個讀者就有一千個哈姆雷特！一千個數(shù)學(xué)老師就有一千個解題教學(xué)的模式.

這里簡錄以解題教學(xué)為主的一節(jié)課，通過具體的案例和課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，就解題教學(xué)中一些問題談?wù)勛约旱乃伎寂c實踐，以作引玉之磚.為便于表達對解題教學(xué)的一些認識，分成幾個段落.

例題 （2012年浙江高考理科第17題）設(shè)a∈R，若x>0時，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=_____.

一、選好題才有好效果

課堂例題就像磨刀石，只有好的磨刀石才能更快、更好地磨出鋒利的刀刃.本文簡錄的是高三第一輪復(fù)習(xí)接近尾聲的一節(jié)課，筆者以“三個二次”為核心，選擇了兩道2012年的高考題（浙江省理科第17題、北京理科第14題），其中第一題學(xué)生充分參與，老師詳盡分析，第二題做課上反饋演練.不同教學(xué)階段有不同的選題考慮，這里主要考慮了以下幾個方面：

1.體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識，重心在思維.不在細枝末節(jié)上做文章，解題過程中突出知識的系統(tǒng)性、網(wǎng)絡(luò)化、組織良好，突出提升思維能力的主題.

2.具有一定挑戰(zhàn)性.試題新穎，兩題都沒有套路，解題過程蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而思想方法是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是高三復(fù)習(xí)過程中提升學(xué)生思維能力的必選項、著力點.

3.適合的就是最好的.適合學(xué)生的知識儲備，適合學(xué)生的解題基礎(chǔ)，適合學(xué)生的解題需要，題不在難，有意則靈.

4.以質(zhì)取勝，體現(xiàn)通性通法.題不在多，有法則行，不追求一節(jié)課做題的數(shù)量，以高質(zhì)量的試題實現(xiàn)“一題多解”、“多題一解”.法不在巧，變化則靈，凸顯通性通法的重要作用，體現(xiàn)思維的高度參與.

5.完整體現(xiàn)解題的全過程，有效檢驗、提升學(xué)生的解題技能.學(xué)生學(xué)有所思、所悟，解透一題通解一類，對解題有更深的理解，對解題程序有更熟練的操作，特別是強化學(xué)生比較薄弱的方面，如審題、目標意識以及反思能力.

二、練熟解題程序，體驗解題成功與失敗歷程

解題教學(xué)一定要有學(xué)生充分參與的過程，思路的產(chǎn)生不能玩“魔術(shù)”，要讓學(xué)生體驗.課堂生成與預(yù)設(shè)要相輔相成，要結(jié)合具體情境，通過適時的有針對性的啟發(fā)、引導(dǎo)，適度的歸納、概括，幫助學(xué)生體驗“審題——制訂計劃——實施——反思”的過程；落實學(xué)生先行，教師斷后的教學(xué)模式，引導(dǎo)、調(diào)動學(xué)生的“正能量”參與解題，充分暴露、展示不同層次的思維模式、不同的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生對解題的關(guān)鍵點、基本的數(shù)學(xué)思想方法的運用等做必要的歸納、反思，讓學(xué)生體驗審題對思路的決定作用，反思對模式積累的催化作用，注重由特殊案例提升到解題經(jīng)驗，改變解題教學(xué)“掐頭、去尾、燒中段”的做法，改良為“虎頭、豹尾、將軍肚”的解題教學(xué)模式.

三、滲透共性的引導(dǎo)，啟發(fā)問題個性、解法的形成發(fā)現(xiàn)

出示題目，學(xué)生自己讀題（不干擾學(xué)生自己讀題，不幫助學(xué)生讀題.本題題干相對短小，學(xué)生用時不多）.適時給出提示語，給學(xué)生做出反應(yīng)、思考的時間.

師：這是什么問題？求什么？你能猜測到結(jié)果是什么形式嗎？（目的：引導(dǎo)學(xué)生確定問題范疇，調(diào)動相關(guān)知識，強調(diào)目標意識、問題意識，進入問題情境）

生眾：三次不等式，也有學(xué)生說“三個二次”，求參數(shù)；結(jié)果應(yīng)該是一個（或者兩個）常數(shù).

師：用你的語言如何具體表述這個問題？你能聯(lián)想到什么？有現(xiàn)成的方法嗎？（目的：不僅強調(diào)審題的重要性，還要給出審題可以操作的方法.心理學(xué)研究表明，問題的表述對怎樣解決問題有極大的影響.對審題跟進提醒，引導(dǎo)學(xué)生從文字、符號、圖形等多角度審題，通過觀察、對比、分析、判斷，聯(lián)想、調(diào)動所學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生深入理解問題情境，對解題過程做出合理的預(yù)測，初步醞釀、設(shè)計從已知到目標的可能途徑，誘導(dǎo)好“念頭”的出現(xiàn)）

學(xué)生自己獨立思考、探究，動手解題.巡視發(fā)現(xiàn)，因為是上一年的高考試題，有學(xué)生已經(jīng)知道答案，但是，詳細的解題方法、策略，深層次的思考還沒有，解題方法不完整，還有部分學(xué)生找不到思路.

生1：我是根據(jù)實數(shù)運算的符號法則，降次，轉(zhuǎn)化為一個一次、一個二次不等式，分以下兩種情況：

師：生1同學(xué)注意到了關(guān)系式的符號，運用轉(zhuǎn)化思想，把高次化低次、不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，再通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值的問題，思路很流暢，可是解不出，問題出在哪兒呢？（審題表面化，考慮了問題的轉(zhuǎn)化，模仿套路的痕跡比較明顯，但是，對題目理解上出現(xiàn)偏差）

回到原點，再次讀題，同學(xué)們對條件的形式、含義和生1同學(xué)的理解一致嗎？（目的：引導(dǎo)學(xué)生再次審題，從條件的形式、代數(shù)意義、幾何意義等方面讀題，養(yǎng)成“慢審、快做”的習(xí)慣，優(yōu)秀的解題者一半時間審題，一半時間做題，但有些學(xué)生可能“下筆千言，離題萬里”.以上提示語問法不同、角度各異，但基本上都指向?qū)忣}、啟發(fā)解題思路）

生2：生1的理解不對.x＞0時均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，意思不一定是x＞0時兩個因式的值一直是正數(shù)或者是負數(shù)，只要兩個因式同號.下面求解還沒有寫好.

師：對關(guān)系式的理解不一樣，哪個是正確的？

全體：后一個！

師：對，后一個，注意關(guān)鍵詞，若x＞0時均有……，讀對題是解對題的必要條件！解給出的問題而不是你認為的問題！不然肯定是“出師未捷身先死”??！審題，就要讓試題自己講出“真實的情況”，繼續(xù)！

生3：我沒有看成兩個因式乘積，我理解的是函數(shù)值符號問題，就是兩個函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）的每一點上函數(shù)值符號一致，這樣必須有相同的零點.

師：打斷一下，怎么出現(xiàn)的函數(shù)？不是不等式問題嗎？（讓思維過程看得見，充分暴露思維過程是學(xué)生學(xué)會思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的必然途徑，特別是在一個轉(zhuǎn)折點、關(guān)鍵點上）

生2：因為……因為……每個不等式都對應(yīng)一個函數(shù)，不是可以轉(zhuǎn)化嗎？

師：很好，從不同的角度去推敲！不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，繼續(xù)！

師：好！分解問題、數(shù)形結(jié)合是重要的解題思想，從不同角度理解條件是審題的重要形式、解題的突破口之一，也是找到“好念頭”的捷徑.

答案出來了，有學(xué)生表示還可以優(yōu)化.

圖1

教室內(nèi)一片贊賞之聲！

師：很好！問題的求解要像生2同學(xué)一樣力求完善、直觀，函數(shù)、方程、不等式聯(lián)動，同時充分發(fā)揮了圖形的優(yōu)勢，數(shù)形結(jié)合，分類討論，讓我們看到了數(shù)學(xué)思想方法的威力！

圖2

師：很好，改變條件的形式，換個角度理解問題，避開了分類討論.

圖3

生5：老師，還可以再更簡潔，只要再深入挖掘“個性”！

同學(xué)們的興趣再次被激發(fā)，怎么再挖掘“個性”呢？

教室內(nèi)一片掌聲！

不過，有學(xué)生提出，保證f（1）≥0，f（2）≥0就能保證x＞0時均有f（x）≥0嗎？邏輯上明顯有缺陷！

師：好，根據(jù)題型特征我們可以選擇“個性化”的解題方法，思維靈活，體現(xiàn)了特殊性存在于一般性之中的哲學(xué)思想，解客觀題不妨試試特殊值法，當然也要注意邏輯的嚴密性.

不過也有同學(xué)提出為什么恰好取x=2呢？

生6：開始老師不就是讓我們猜測結(jié)果是什么形式嗎？因為結(jié)果是求a的值，只有一個未知數(shù)，只要建立一個方程就可以了.

師：真有才！充分考慮目標的意義，對解題的方向會起到很好的啟發(fā)作用，不能僅僅把目標當成未知數(shù)，它也是已知條件之一，是試題的“個性”之一.當然，為什么只取到2呢，要靠一點運氣，不過，我們試驗一般會取比較特殊的數(shù)，比如0，1，2等，再說了，我們是天之驕子一定會有好運氣的，只要想得到，一定做得到！

我們發(fā)現(xiàn)，只要換個角度問題就可能得到解決，往往就是沒有找到合適的角度.再次讀這道題，a=1時顯然不成立，它明顯的特征是一個三次不等式，或者說三次函數(shù)問題，我們在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時反復(fù)接觸過三次函數(shù)以及它的圖像、性質(zhì)，能不能直接通過三次函數(shù)的視角求解呢？我們猜想三次函數(shù)圖像會有什么特點？

圖4

四、適時引導(dǎo)反思、歸納，讓學(xué)生積累個體成功經(jīng)驗

師：相當漂亮！對問題理解的透徹，解起來就得心應(yīng)手！上面已經(jīng)給出了不少好的解法，同學(xué)們也許還有其他想法，時間關(guān)系，暫告一段落，課下繼續(xù)探討！反思一下我們這道題的求解歷程，從不懂到懂，從不會到會，從復(fù)雜到簡單，我們經(jīng)歷了什么？對我們以后解題有什么借鑒意義？（引導(dǎo)學(xué)生做好解題反思，而不僅僅是找到答案，這也是解題與解題教學(xué)不同之處.解題關(guān)心結(jié)果，而解題教學(xué)關(guān)心解題的全過程，只要反思審題操作性的方法、解題突破口的發(fā)現(xiàn)、解法優(yōu)劣及原因等）

學(xué)生七嘴八舌：審題、從不同角度看條件、改變條件的結(jié)構(gòu)形式、畫個圖，把待求納入已知考慮、找到它的“個性”、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等.

師：同學(xué)們的總結(jié)綜合起來就很全面了！我們通過這道題的求解，再次體驗到，知識要熟練、組織良好，無知便無能；審題要全面、深入，注意對已知條件（包括題型、待求、待證）從不同角度、不同形式的理解，充分把握其“個性”；改變問題的形式、意義、結(jié)構(gòu)就可能意味著一種解法的出現(xiàn)，要注意捕捉這時冒出的一些“好念頭”；我們也會體驗到，對于一些綜合性、非常規(guī)問題，數(shù)學(xué)思想方法的自覺運用絕對功不可沒，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論等.基礎(chǔ)題靠知識（扎實），中檔題靠思想（靈活），高檔題靠能力（素質(zhì)）.同時，從這道試題也可以看出高考試題的特點，知識與能力綜合考查，體現(xiàn)了“多考一點想，少考一點算”的命題理念，需要我們在解題過程中真切體會.（小結(jié)不一定都要放在下課鈴響之前，要適時、合理地給出概括，有背景、有案例，學(xué)生更容易理解，更容易納入自己的經(jīng)驗范疇）

五、強化變式練習(xí)，鞏固成果

下面再給出一道題，再一次體驗如何成功解題！

練習(xí) （2012年北京高考理科第14題）已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2，若同時滿足條件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，則m的取值范圍是______.

選題的思考：本題和例題有異曲同工之妙，對學(xué)生熟練兩個基本函數(shù)性質(zhì)，熟練基本思想方法的運用，鞏固上面例題中的一些思路、形成解題經(jīng)驗大有裨益.

學(xué)生經(jīng)過思考，速度明顯比例題加快.

生8：目標求m的取值范圍，就是拋物線f（x）=m（x-2m）（x+m+3）開口方向與對應(yīng)的根滿足的條件（m=0明顯不成立），“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，等價于，對于任意的x，對應(yīng)的點至少有一個在x軸下方，在（-∞，-4）上，有圖像在x軸上方，有圖像在x軸下方.

圖5

師：太給力了！由于時間關(guān)系，對其他解法課下再繼續(xù)探索.

通過這兩道高考題，相信每個同學(xué)對解題都有自己的感悟，也會發(fā)現(xiàn)自己在哪些方面還需要加強，希望同學(xué)們再通過以下三道課下練習(xí)題認真反思、總結(jié).

選擇課下練習(xí)題的思考：解題是學(xué)會的，不是教會的，必須在游泳中學(xué)會游泳，特別是突出思維，體現(xiàn)思想方法運用的問題，學(xué)生必須有自己的體驗，感悟，有操作程序，能設(shè)計已知到目標的合理途徑，面對高考“活而不難，巧而不怪”的特點，必須在合適的情境下選擇高質(zhì)量、符合學(xué)生實際的問題.選題知識上有一定綜合性，試題題目不追求絕對難度，主要是知識的綜合應(yīng)用、靈活應(yīng)用；體現(xiàn)基本數(shù)學(xué)思想方法的運用，這是學(xué)生解題的一塊“短板”，當知識的積累達到一定程度，學(xué)生解題能力提高的加速劑就是思想方法，它是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，特別是重要的數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等，數(shù)學(xué)思想方法的運用到復(fù)習(xí)階段必須給學(xué)生明確揭示，讓學(xué)生在運用中體驗、感悟.

1.（2012年北京高考文第14題）已知f（x）=m（x-2m）·（x+m+3），g（x）=2x-2.若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，則m的取值范圍是_________.

2.（2008年江西高考理科第12題改編）已知函數(shù)f（x）=2mx2-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若對于任一實數(shù)x，f（x）與g（x）至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_______.

3.（2011年江蘇高考第19題）已知a，b是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù).若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

（1）設(shè)a＞0，若f（x）和g（x）在區(qū)間［-1，+∞）上的單調(diào)性一致，求實數(shù)b的取值范圍；

1.［美］波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

2.羅增儒，著.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2012.

3.［英］S.Ian Robertson，著.問題解決心理學(xué)［M］.張奇，等，譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，2004.