☉湖北省武漢市第十六中學(xué) 盧勝光

在生活中經(jīng)常經(jīng)過(guò)建筑的走廊的“拐角”處來(lái)回搬運(yùn)一些物品，看似十分簡(jiǎn)單的事情，卻隱含著頗有意義的數(shù)學(xué)背景.下面我們就把它設(shè)計(jì)成一些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行一些探討.

問(wèn)題1：某廠房?jī)?nèi)有一個(gè)水平直角型走廊，如圖1所示，兩過(guò)道的寬度分別為3m、2m，有一根長(zhǎng)5m的金屬棒（粗細(xì)忽略不計(jì)）能否水平通過(guò)直角走道？

分析與解答：不失一般性，設(shè)直角型走道的寬分別為a、b，如圖1，以直線OA、OB分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求過(guò)點(diǎn)P（a，b）的直線被兩坐標(biāo)軸所截線段AB長(zhǎng)的最小值.

圖1

所以5m長(zhǎng)的金屬棒可以水平通過(guò)直角走廊.

問(wèn)題2：某建筑物內(nèi)有一水平直角型走廊如圖2所示，兩過(guò)道的寬度均為2m，有一個(gè)水平截面為矩形的設(shè)備的寬為1m，長(zhǎng)為5m，問(wèn)該設(shè)備能否水平經(jīng)過(guò)該過(guò)道？

圖2

分析與解答：我們還是來(lái)討論問(wèn)題的一般性，設(shè)過(guò)道的寬度均為λ m，矩形長(zhǎng)AB=am，寬BC=bm（這里b＜λ＜a），以直線OB、OA分別為x軸、y軸建立坐標(biāo)系，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求以M（λ，λ）點(diǎn)為圓心，半徑為b的圓的切線被兩坐標(biāo)軸的正半軸所截線段AB長(zhǎng)的最小值.

因?yàn)锳B與圓（x-λ）2+（y-λ）2=b2相切，由圓心（λ，λ）到直線AB距離等于半徑，得

因?yàn)閎＜λ，當(dāng)λ∈R+時(shí)，-λt2+4bt-2λ＜0，

問(wèn)題3：設(shè)病床的長(zhǎng)和寬分別為p，q（規(guī)定），病房走廊寬度為l，拐角處成直角，如圖3.為了保證病人能躺在病床上進(jìn)入手術(shù)室，寬度l最窄應(yīng)是多少？說(shuō)明理由.

圖3

再設(shè)t=sinα+cosα.

分析與解答：如圖4，以∠AOB的角平分線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

圖4

所以長(zhǎng)為10m的竹桿可平行通過(guò)該“拐角”走廊.

上述幾個(gè)問(wèn)題，將實(shí)際背景融入到了高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，反映了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，是開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的好素材.若能結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼?，在?shí)際應(yīng)用中滲透，將有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).