邱先強(qiáng) （中國(guó)地質(zhì)大學(xué) （北京）能源學(xué)院，北京 100083）

邱偉 （中石化中原石油工程有限公司井下特種作業(yè)公司，河南 濮陽(yáng) 457001）

宮紅茹，陳艷春 （中石化中原油田分公司采油五廠，河南 濮陽(yáng) 457001）

底水氣藏是指在氣藏儲(chǔ)層中位于含氣邊界之內(nèi)有地層水。氣井最 “怕水”，見水氣井會(huì)導(dǎo)致氣相滲透率急劇下降，產(chǎn)量大幅降低。人們普遍認(rèn)為，如果氣井的配產(chǎn)超過(guò)了井的臨界產(chǎn)量，那么該井必定見水，并且很快見水。因此，在設(shè)計(jì)合理產(chǎn)量時(shí)總以臨界產(chǎn)量作為一個(gè)約束條件，控制其小于臨界產(chǎn)量，以實(shí)現(xiàn)無(wú)水開采。與一般液體滲流規(guī)律不同，由于真實(shí)氣體黏度低，流動(dòng)性好，其流動(dòng)規(guī)律一般符合高速非達(dá)西滲流規(guī)律。針對(duì)這一點(diǎn)，筆者從Dupuit臨界產(chǎn)量計(jì)算公式的推導(dǎo)出發(fā)，推導(dǎo)出了在考慮真實(shí)氣體高速非達(dá)西滲流下的臨界產(chǎn)量方程并給出了其求解方法。

1 達(dá)西滲流下Dupuit臨界產(chǎn)量計(jì)算公式

Dupuit在解決地下水工程問題時(shí)，首先提出 “臨界產(chǎn)量”這一概念［1］。將該臨界產(chǎn)量的計(jì)算公式應(yīng)用于底水驅(qū)氣藏之中，得到氣井臨界產(chǎn)量計(jì)算公式為［2］：

式中：qsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下的氣井產(chǎn)量，m3/d；Kg為氣層的滲透率，D；Δρwg為水氣密度差，kg/m3；h為氣層有效厚度，m；b為氣井射開厚度，m；Bg為氣體體積因數(shù)，1；μg為氣層氣體黏度，mPa·s；re為氣井排泄半徑，m；rw為氣井井筒半徑，m；g為重力加速度，m/s2，一般取g＝9.807m/s2。

式 （1）的適用條件為：穩(wěn)定滲流；均質(zhì)地層；忽略因毛管力而引起的氣水過(guò)渡帶；氣水密度及黏度為常數(shù)；滲流服從達(dá)西滲流規(guī)律。

2 考慮高速氣體非達(dá)西滲流下臨界產(chǎn)量計(jì)算公式

真實(shí)氣體的高速非達(dá)西滲流用Forchheime方程描述為［3～5］：

式中：p為壓力，Pa；μ為流體黏度，Pa·s；v為滲流速度，m/s；ρ為流體密度，kg/m3；r為徑向滲流半徑，m；K為滲透率，D；β為描述孔隙介質(zhì)紊流影響的系數(shù)，稱為速度系數(shù)，m－1。

其中常用的速度系數(shù)β計(jì)算公式為：

式中，滲透率K的單位為mD。

2.1 基本假設(shè)條件［6］

①忽略毛細(xì)管力而引起的氣水過(guò)渡帶；②氣層均質(zhì)，氣水密度及黏度為常數(shù)；③氣體滲流為等溫滲流；④真實(shí)氣體，存在高速滲流，服從非達(dá)西穩(wěn)定滲流規(guī)律。

2.2 計(jì)算模型建立

在前面的假設(shè)條件下，參照李傳亮［7］采用一種簡(jiǎn)單的推導(dǎo)過(guò)程。在徑向r處取一微元體，相應(yīng)與某產(chǎn)量qsc下形成的水錐高度在r處為z，如圖1所示。其徑向上的滲流速度表示為：

圖1 氣井臨界產(chǎn)量流動(dòng)微元示意圖

把式（4）代入式（2）中得到：

認(rèn)為在r處的壓力增量與氣 －水界面上升增量存在如下關(guān)系（即向上的壓差dp與氣 －水界面上升dz的重力平衡）：

把式（6）代入式（5）中得到：

式中：ρg為氣體密度，kg/m3。

由式（7）可整理得（并轉(zhuǎn)化為SI實(shí)用單位制）：

2.3 計(jì)算模型求解

建立的上述微分方程為非齊次，很難通過(guò)分離變量得到解析解，因此一般采用數(shù)值解法。筆者采用四階龍格－庫(kù)塔法［8］，并采用試算法求臨界產(chǎn)量qsc，具體采用如下步驟進(jìn)行迭代：① 試算時(shí)，任意設(shè)定一個(gè)qsc值（如qsc＝0.5×104m3/d），代入式（8）中；② 用四階龍格 －庫(kù)塔法求式（8）及內(nèi)邊界條件z（rw）＝h－b，劃定步長(zhǎng)，向前迭代直到算出z（re）的值；③如果算出的z（re）值滿足外邊界條件，即z（re）≈0，則該qsc值即為所求；④如果算出的z（re）≠0，可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)另選一個(gè)較大或較小的qsc值再代到式（8）中進(jìn)行試算，直到有一個(gè)qsc滿足z（re）≈0即可。

3 氣井產(chǎn)量小于臨界產(chǎn)量時(shí)的水錐形狀

3.1 達(dá)西滲流下的水錐形狀

從Dupuit產(chǎn)量模型中可得到水錐高度z為［2］：

式中：qg為氣井產(chǎn)量，m3/d。式（9）表明了水錐高度z隨徑向r的變化規(guī)律。

3.2 高速非達(dá)西滲流下的水錐形狀

在給定產(chǎn)量qsc下，通過(guò)式（8）及其邊界條件求出的數(shù)值解，便可得到函數(shù)z＝f（r）在［rw，re］上的近似解，即水錐高度z隨地層徑向距離r變化的分布。

4 實(shí)例計(jì)算分析

某氣層厚度20m，氣體平均黏度0.0161mPa·s，體積因數(shù)0.00663，氣層的滲透率0.0075D，孔隙度為0.15，排泄半徑為400m，井半徑為0.1m，射孔段長(zhǎng)度5m，地層條件下氣體的平均密度為65.23kg/m3，氣水密度差為920kg/m3。

4.1 臨界產(chǎn)量計(jì)算結(jié)果

應(yīng)用式 （1）計(jì)算Dupuit臨界產(chǎn)量為：

應(yīng)用式（8）及其邊界條件，把求解該計(jì)算模型的方法寫于計(jì)算機(jī)Visual Basic程序。為了使數(shù)值解趨于精確，劃步長(zhǎng)Δr為0.05m。劃的網(wǎng)格數(shù)為（re－rw）/Δr＝8000。試算得到高速非達(dá)西滲流下的臨界產(chǎn)量qsc2＝0.72×104m3/d。

可以看到，在真實(shí)氣體高速非達(dá)西流下的臨界產(chǎn)量要小于達(dá)西滲流下Dupuit臨界產(chǎn)量。這是因?yàn)樵诟咚贇饬飨?，流體的慣性阻力不可忽略，氣流的阻力增大，特別是在井底附近的壓力梯度很大，底水更容易突破。

4.2 水錐形狀高度模擬結(jié)果

圖2是在產(chǎn)量qsc2＝0.72×104m3/d下計(jì)算得到的水錐高度的分布。從圖2可以看出，由于在氣井井底附近壓力梯度很大，在這區(qū)域內(nèi)水錐高度急劇上升，在r＝rw處，z值達(dá)到最大；在同樣的產(chǎn)量下，非達(dá)西滲流下的水錐高度比達(dá)西滲流下的要略高，前者的水錐形狀在后者的上方，底水突破得更為嚴(yán)重。

圖2 底水氣藏水錐形狀

5 結(jié) 論

1）應(yīng)用前面的臨界產(chǎn)量的推導(dǎo)方程，兩種模型下計(jì)算出的產(chǎn)氣量都偏小，這仍需要進(jìn)行深入的研究，并在實(shí)際的工作中要注意到這一點(diǎn)。

2）在真實(shí)氣體高速流動(dòng)下，流體的慣性阻力不可忽略，要考慮非達(dá)西效應(yīng)。

3）在高速非達(dá)西穩(wěn)定滲流的Forchheime方程基礎(chǔ)上，建立底水氣藏高速非達(dá)西滲流下的臨界產(chǎn)量是一種新的嘗試，并通過(guò)算例計(jì)算證明了其合理性。

［1］李傳亮 .修正Dupuit臨界產(chǎn)量公式 ［J］.石油勘探與開發(fā)，1993，20（4）：56～59.

［2］黃炳光，劉蜀知，唐海，等 .氣藏工程與動(dòng)態(tài)分析方法 ［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2004.

［3］李曉平 .地下油氣滲透力學(xué) ［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2007.

［4］Huang H，Ayoub J.Applicability of the Forchheimer equation for Non－Darcy flow in porous media［J］.SPE102715，2006.

［5］趙曉燕，姚軍，崔傳智 .考慮真實(shí)氣體PVT動(dòng)態(tài)的高速非達(dá)西滲流模型 ［J］.石油鉆探技術(shù)，2009，37（2）：78～80.

［6］張烈輝，朱水橋，王坤 .高速氣體非達(dá)西滲流數(shù)學(xué)模型 ［J］.新疆石油地質(zhì)，2004，25（2）：165～168.

［7］李傳亮 .油藏工程原理 ［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2005.

［8］李慶揚(yáng)，王能超，易大義 .數(shù)值分析 ［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008 .

［編輯］ 蕭 雨