超市費(fèi)用估算是小學(xué)數(shù)學(xué)估算教學(xué)中的一類經(jīng)典問題，但在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生提出的一個(gè)問題“為什么課堂上學(xué)的估算方法，在實(shí)際超市購物時(shí)沒法用？”引發(fā)了筆者的深思。經(jīng)過深入研究，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的估算方法過于簡化，難以實(shí)際應(yīng)用，筆者在模型思想的指導(dǎo)下，通過師生的共同努力，創(chuàng)建了超市費(fèi)用估算模型，在實(shí)際超市購物中得以應(yīng)用，效果良好。具體過程如下：

一、重建購物場景，提出問題

考慮到幾乎所有小學(xué)高年級學(xué)生都有超市購物的經(jīng)歷，應(yīng)充分利用學(xué)生已有的購物經(jīng)驗(yàn)，通過觀看購物圖片和文字，幫助學(xué)生回憶還原購物經(jīng)歷，把握與費(fèi)用估算相關(guān)的超市購物特點(diǎn)：一是一般購物時(shí)間較長，購物數(shù)量較多，需要記憶的商品價(jià)格較多；二是購物費(fèi)用的估算主要靠心算，可以發(fā)生在購物過程中，也可以在排隊(duì)結(jié)賬時(shí)。然后直接提出問題：“如何有效估算出購物費(fèi)用？”

二、簡化和求解估算模型

經(jīng)過師生的初步討論，提出需要簡化的問題，將其轉(zhuǎn)化到平時(shí)熟悉的估算問題上來，可以先根據(jù)發(fā)票上的數(shù)據(jù)來估算費(fèi)用，將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)發(fā)票金額列的數(shù)據(jù)估算總費(fèi)用。

為了解決上述問題，要求每個(gè)學(xué)生收集一張日常超市購物發(fā)票，記下發(fā)票上總金額信息后將其涂掉；上課時(shí)學(xué)生分成小組，組內(nèi)學(xué)生交換發(fā)票后，根據(jù)發(fā)票商品金額列的數(shù)據(jù)估算總金額，期間學(xué)生互相交流估算策略并進(jìn)行口算，然后與實(shí)際總金額比較。老師提問引導(dǎo)：“至少需要多少錢的估算方法是什么？”“最多需要多少錢的估算方法是什么？”“比前面兩種方法更準(zhǔn)確一點(diǎn)的估算方法是什么？”經(jīng)過討論和交流后，歸結(jié)出以下常用估算策略：（1）忽略尾數(shù)法。將小數(shù)部分忽略，累加得到至少需要多少錢；（2）進(jìn)1法。去掉小數(shù)位后，將個(gè)位加1，累加得到最多需要多少錢；（3）四舍五入法。將小數(shù)點(diǎn)后的尾數(shù)四舍五入，可以得到較為精確的估計(jì)。

為了弄清上述策略之間的數(shù)量關(guān)系，老師問：“如果知道了至少需要多少錢，能不能很快算出最多需要多少錢？”并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下推理：設(shè)發(fā)票上有3個(gè)商品金額：17.83，2.85，31.20，至少需要錢數(shù)（設(shè)為L）為17+2+31，最多需要錢數(shù)（設(shè)為H）為18+3+32，那么H=17+1+2+1+31+1=17+2+31+3=L+3，通過不完全歸納可以得到一般式：H=L+n（n是有金額的商品數(shù)，下同），類似的四舍五入法估算的錢數(shù)（設(shè)為M）為：18+3+31，那么M=17+2+31+2=L+i（i是四舍五入的商品數(shù)），也就是說只要算出L，H和M就可以方便地計(jì)算出來。

三、修正估算模型

但實(shí)際購物時(shí)，估算主要發(fā)生在獲取發(fā)票前，需要記憶的商品價(jià)格較多，師生進(jìn)一步討論后，認(rèn)為在口算估算的情況下，需要盡量減少記憶量，簡化計(jì)算，對于沒有金額標(biāo)簽的商品要邊購物邊計(jì)算金額并累加，這樣只需記住一個(gè)中間結(jié)果，計(jì)算時(shí)盡量采用整數(shù)運(yùn)算。

顯然整數(shù)比小數(shù)容易記憶和計(jì)算，采用忽略尾數(shù)法簡單易行，但對準(zhǔn)確度有一定影響，四舍五入法雖然可以得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，但需要知道小數(shù)點(diǎn)后的一位，不便記憶，能否發(fā)現(xiàn)一種只靠整數(shù)部分就能得到類似四舍五入法準(zhǔn)確度的計(jì)算方法呢？為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，老師在黑板上畫了一條數(shù)軸，數(shù)軸上有三點(diǎn)：分別是L（至少需要的錢）、H（最多需要的錢）及兩者之間的M（四舍五入法算得的錢），然后問學(xué)生：“L和H之間有哪些特殊的點(diǎn)和M比較接近？”學(xué)生憑著直覺，自然想到了中間點(diǎn)，中點(diǎn)的值推算如下：Z=■=■=L+■，Z值完全由商品金額的整數(shù)部分以及商品數(shù)決定。那中點(diǎn)假設(shè)能否保證準(zhǔn)確度呢？這需要根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證，要求學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算出每張發(fā)票Z值、M值與準(zhǔn)確值的差值，分析這些差值，發(fā)現(xiàn)二者很接近，說明Z值的準(zhǔn)確度與四舍五入法得到的M值的準(zhǔn)確度相當(dāng)，這樣就得到了一個(gè)易記、易算、準(zhǔn)確度較好的總金額估算公式。

估算公式（L+■）是根據(jù)商品金額計(jì)算的，而金額（單價(jià)×數(shù)量）本身有時(shí)并不容易計(jì)算，例如17.8×12，可以用新得到的公式計(jì)算：17×12+■=17×（10+2）+6=210；而簡單一點(diǎn)的如0.8×12，可以直接算出后去尾取整。

四、驗(yàn)證估算模型

雖然已經(jīng)根據(jù)發(fā)票數(shù)據(jù)對估算公式進(jìn)行了初步驗(yàn)證，但模型的有效性仍需在實(shí)踐中檢驗(yàn)。將模型應(yīng)用到實(shí)際購物中，需要學(xué)生掌握應(yīng)用的要領(lǐng)，在平衡考慮了可記憶性、可計(jì)算性、準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，總結(jié)形成了以下超市購物費(fèi)用估算口訣（設(shè)商品包裝上貼有金額標(biāo)簽的為A類商品，沒有貼的為B類商品）：“B類商品購時(shí)算，取整累加值牢記，A類商品取整算，A、B累加需調(diào)整，加上半數(shù)更精確”。

課后要求學(xué)生到超市實(shí)際購物，使用上述方法估算，將結(jié)果記在發(fā)票上帶回課堂，課堂上分小組使用計(jì)算器計(jì)算出估算結(jié)果與準(zhǔn)確值的差值，算得最大差值小于5，最大相對誤差是7%，并且總金額越大，相對誤差越小。同學(xué)們普遍反映估算方法簡單易行，估算結(jié)果比較準(zhǔn)確，符合實(shí)際。

五、總結(jié)反思

師生為了解決現(xiàn)實(shí)生活中常見的超市費(fèi)用估算問題，共同經(jīng)歷了提出問題、建模求解、修正、驗(yàn)證估算模型的過程，在這一過程中，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力得到了鍛煉和提高，同時(shí)也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)在生活中的作用。

（作者單位 南京市百家湖小學(xué)）