周 娟， 江 輝， 李 鵬

(湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410082)

基于WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的發(fā)電商電量分配模型

周 娟， 江 輝， 李 鵬

(湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410082)

電力市場(chǎng)中，發(fā)電商需要合理分配發(fā)電量以追求總利潤(rùn)最大、風(fēng)險(xiǎn)最小。以最壞情況風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(WCVaR)作為風(fēng)險(xiǎn)度量因子，建立了發(fā)電商在保證一定的期望收益率下WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值最小的發(fā)電量分配模型，并對(duì)其在實(shí)時(shí)平衡市場(chǎng)、日前市場(chǎng)和中、遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)的發(fā)電量分配比例及有效前沿進(jìn)行了仿真測(cè)驗(yàn)。結(jié)果表明，所提出的電量分配模型能較真實(shí)地反映發(fā)電商所面臨的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的本質(zhì)特性，表明了理論分析的正確性和模型的有效性，從而為發(fā)電商的投標(biāo)決策和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估提供了新思路。

電力市場(chǎng)； 發(fā)電商； 最壞情況風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值； 發(fā)電量分配； 風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估

電力市場(chǎng)化改革為發(fā)電商提供了多種多樣的子市場(chǎng)。因此，發(fā)電商如何使自己的風(fēng)險(xiǎn)最小，使利潤(rùn)最大(或保證一定的利潤(rùn)水平)，牽涉到發(fā)電商的競(jìng)價(jià)策略問(wèn)題[1，2]。

基于均值-方差理論，Markowitz(1952)指出投資者將從兩個(gè)方面決定其投資取向：①?gòu)挠薪?jīng)驗(yàn)的觀察者或主觀經(jīng)驗(yàn)中分析投資參數(shù)；②基于收益和風(fēng)險(xiǎn)的平衡點(diǎn)選擇投資組合[3]。文獻(xiàn)[4～6]都是采用傳統(tǒng)的均值-方差模型來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，但隨著電力市場(chǎng)的不斷發(fā)展，其局限性日益暴露。近年來(lái)提出了計(jì)量收益損失程度的下方風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量方法，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR(value-at-risk)和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR(conditional value-at-risk)[7，8]，理論上優(yōu)于均值方差計(jì)量方法。文獻(xiàn)[9]基于VaR方法研究電價(jià)的波動(dòng)，并用CVaR估計(jì)電力公司的次日購(gòu)電損失。文獻(xiàn)[10]基于CVaR研究發(fā)電商的資產(chǎn)分配問(wèn)題，建立了三個(gè)風(fēng)險(xiǎn)-利潤(rùn)模型。文獻(xiàn)[11]以CVaR為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，綜合考慮風(fēng)險(xiǎn)和期望收益率，建立了新的發(fā)電商均值-CVaR投標(biāo)組合優(yōu)化模型。均值-方差理論和VaR風(fēng)險(xiǎn)分析都是基于概率論基礎(chǔ)上的投資組合選擇模型，都是建立在隨機(jī)變量分布已知情況下。若不知或只知道變量的分布屬于某集合等情況，文獻(xiàn)[12]提出最壞情景分析，將WCVaR概念引入到投資組合理念中。文獻(xiàn)[13]放寬了隨機(jī)變量服從特定分布的假設(shè)條件，通過(guò)魯棒性分析得到投資策略，但其忽略了資產(chǎn)收益的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。文獻(xiàn)[14]建立了基于WCVaR理論的新的3個(gè)最優(yōu)組合模型，并在隨機(jī)變量混合分布的條件下將模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化，建立了3個(gè)相應(yīng)的發(fā)電資產(chǎn)組合分配模型。

WCVaR放寬了對(duì)分布的要求，可計(jì)算僅已知部分概率分布信息情況，更能反映市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的本質(zhì)特性。本文建立了基于WCVaR理論的最優(yōu)組合模型，并將其應(yīng)用到發(fā)電商發(fā)電量分配的研究中，算例分析表明了理論的正確性和模型的有效性,對(duì)發(fā)電商的投標(biāo)決策和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估具有一定的指導(dǎo)性。

1 CVaR和WCVaR簡(jiǎn)介

1.1 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR

設(shè)X為投資組合可行集，X∪Rn，令f(x，y)為損失函數(shù)。其中，x∈X為n維投資組合方案向量，y∈Rm為m維隨機(jī)變量，表示市場(chǎng)的隨機(jī)因素(如市場(chǎng)利潤(rùn)率)。假設(shè)y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(y)，對(duì)于確定的y∈Rn，由y引起的損失f(x，y)是R上服從某一分布的隨機(jī)變量，其不超過(guò)臨界值α的分布函數(shù)為

Ψ(x，α)=∫f(x，y)≤αp(y)dy

(1)

對(duì)于給定的置信水平β，VaR和CVaR的計(jì)算式分別為

VaRβ(x)=min{α∈R；Ψ(x，α)≥β}

(2)

CVaRβ(x)=E[f(x，y)|f(x，y)≥αβ(x)]=

(3)

由于式(3)中含有VaR函數(shù)VaRβ(x)項(xiàng)，而VaRβ(x)的解析表達(dá)式難以求出，引入一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)Fβ(x，α)來(lái)計(jì)算CVaR，其公式為

(4)

式中，[f(x，y)-α]+為max{0，f(x，y)-α}。

通常情況下，概率密度函數(shù)p(y)的解析表達(dá)式難以得到，可以利用隨機(jī)變量y的歷史數(shù)據(jù)，或使用Monte-Carlo法模擬樣本數(shù)據(jù)來(lái)給出式(4)中積分的估計(jì)。設(shè)y1，y2，…，yq為y的q個(gè)樣本，則函數(shù)Fβ(x，α)的估計(jì)值為

(5)

在實(shí)際計(jì)算中，基于式(5)來(lái)確定資產(chǎn)的最優(yōu)組合系數(shù)向量X及相應(yīng)的VaR、CVaR值。

1.2 極壞條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值WCVaR

利用CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量因子最優(yōu)化投資組合時(shí)，必須準(zhǔn)確知道隨機(jī)變量y的密度函數(shù)p(y)。但很多時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確知道p(y)，僅知道p(y)∈P(P是個(gè)確定的函數(shù)集合)。這時(shí)，CVaR方法不再適用，文獻(xiàn)[15]提出WCVaR理論，定義為

若已知y的密度函數(shù)p(y)∈P，WCVaR是指在給定置信度下，某一資產(chǎn)組合在最差收益情景下的CVaR價(jià)值，也就是CVaR的上確界，即

(6)

研究投資組合時(shí)，可通過(guò)調(diào)整投資組合x(chóng)使CVaR達(dá)到最小，即在(x，α)∈X×R上對(duì)Fβ(x，α)進(jìn)行最小化，即

(7)

則WCVaR又可表示為

(8)

2 基于WCVaR的投標(biāo)組合優(yōu)化模型

假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)投資市場(chǎng)中，投資者有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。設(shè)隨機(jī)變量y=(y1，y2，…，yn)T≤Rn表示n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，x=(x1，x2，…，xn)∈X為投資的決策變量，其中X表示決策空間。對(duì)于隨機(jī)變量y和分布空間P(某一集合)，利潤(rùn)函數(shù)Rp(x)定義為損失函數(shù)取負(fù)數(shù)，即

Rp(x，y)=Ep[-f(x，y)]

(9)

對(duì)于給定的正數(shù)約束A1、A2和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)Agt;0，可建立三個(gè)考慮風(fēng)險(xiǎn)和利潤(rùn)關(guān)系的WCVaR模型。

模型1期望收益最大，WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值受約束

(10)

模型2WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值最小，期望收益受約束

(11)

模型3期望收益和WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值的組合優(yōu)化模型

(12)

在一定條件下改變參數(shù)A1、A2和A時(shí)，上述三個(gè)優(yōu)化模型產(chǎn)生相同的有效前沿，即在一定條件下三個(gè)模型有相同的最優(yōu)解。因發(fā)電商報(bào)價(jià)不受限制，其收益只需考慮自身報(bào)價(jià)和發(fā)電成本，收益會(huì)保持一定水平，所以會(huì)更加注重風(fēng)險(xiǎn)因素。本文采用優(yōu)化模型2來(lái)求解發(fā)電商的電能分配問(wèn)題。

3 基于WCVaR的發(fā)電商電能分配模型

發(fā)電商將年度總發(fā)電量分配到各個(gè)子市場(chǎng)時(shí)，采取不同的投標(biāo)組合策略，將會(huì)獲得不同的收益，同時(shí)也將面臨不同的風(fēng)險(xiǎn)。本文將發(fā)電商總發(fā)電量類(lèi)比為總資產(chǎn)，并將其在各類(lèi)子市場(chǎng)的收益看作投資回報(bào)。這樣，發(fā)電商的電能分配問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為金融學(xué)中的投資組合優(yōu)化問(wèn)題。本文以總期望利潤(rùn)作為約束條件，最小化風(fēng)險(xiǎn)水平，建立基于WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的電能分配模型。

定義投標(biāo)組合的收益函數(shù)R(x，y)為

R(x，y)=xTy

(13)

組合收益的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為

E[R(x，y)]=xTμ

(14)

σ[R(x，y)]=xTσ

(15)

發(fā)電商投標(biāo)組合損失函數(shù)f(x，y)為

f(x，y)=-R(x，y)=-xTy

(16)

將式(11)代入式(4)，得Fβ(x，α)的形式為

(17)

取利潤(rùn)率y的樣本值y1，y2，…，yq，則式(12)的估計(jì)式為

(18)

設(shè)虛擬變量zk(k=1，2，…，q)，令zk=[-xTyk-α]+，則zk≥0且zk≥-xTyk-α。

綜合式(8)、式(10)和式(14)，于是最小化WCVaR的發(fā)電商投標(biāo)組合優(yōu)化模型就轉(zhuǎn)化為由線(xiàn)性函數(shù)和線(xiàn)性約束構(gòu)成的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。

(19)

(20)

xTy≥e

(21)

(22)

zk≥0

(23)

Zk≥-xTyk-α

(24)

式中，e為收益下線(xiàn)，0≤e≤1。

其中，式(16)的含義為發(fā)電商的電量分配約束。與文獻(xiàn)[14]模型2不同的是，本文中介入了為組合收益的均值約束，式(17)為其表達(dá)式，這樣就保證了期望收益滿(mǎn)足的條件下實(shí)現(xiàn)WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值最小，是對(duì)本文模型2的具體分析。WCVaR為最壞情況下的CVaR值，式(18)為其線(xiàn)性表達(dá)式，求解出來(lái)的θ值即為WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值，這樣就將雙層優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單層優(yōu)化問(wèn)題。

4 算例分析

電力市場(chǎng)中，實(shí)時(shí)平衡市場(chǎng)、日前市場(chǎng)及中、遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)具有不同的價(jià)格波動(dòng)特性。中、遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)電價(jià)波動(dòng)小，風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)小；日前市場(chǎng)、實(shí)時(shí)市場(chǎng)電價(jià)波動(dòng)大，風(fēng)險(xiǎn)也相對(duì)較大，但收益相對(duì)偏高。本文模擬美國(guó)PJM市場(chǎng)數(shù)據(jù)，通過(guò)蒙特卡羅方法獲得關(guān)于每個(gè)市場(chǎng)的500個(gè)樣本，對(duì)其求均值和方差，表1給出了各市場(chǎng)電價(jià)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。

表1 各市場(chǎng)電價(jià)分布數(shù)據(jù)

假設(shè)發(fā)電商各個(gè)市場(chǎng)成本統(tǒng)一按照c=30$/(MW·h)進(jìn)行計(jì)算。市場(chǎng)收益率yi=(pi-c)/c，則μgi=(μpi-c)/c，σyi=σpi/c，由此可計(jì)算收益率yi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，如表2所示。

表2 各市場(chǎng)的收益率分布數(shù)據(jù)

表3 發(fā)電商發(fā)電量分配及WCVaR值

為得到組合收益率E(r(x))隨WCVaR值變化曲線(xiàn)，改變約束中的期望收益率下限e，重復(fù)上述計(jì)算；同時(shí)，根據(jù)E(r(x))=xTu計(jì)算E(r(x))，可得到如圖1所示的不同置信水平下的收益-WCVaR曲線(xiàn)，即金融學(xué)中的有效前沿曲線(xiàn)。

圖1 收益-WCVaR的有效前沿

由表3計(jì)算結(jié)果和圖1可看出。

(1)相同置信水平下，若發(fā)電商想獲得高的期望收益率，必將增加其在高收益的日前市場(chǎng)的發(fā)電量投入，不過(guò)，在收益提高的同時(shí)也將獲得更高的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)水平。這也真實(shí)體現(xiàn)了日前市場(chǎng)的物理特性。但是，期望收益率也有個(gè)范圍，故發(fā)電商在制定發(fā)電量分配策略時(shí)期望收益率不能過(guò)高或過(guò)低。

(2)兩條有效前沿曲線(xiàn)都是單調(diào)遞增的，說(shuō)明在有效前沿曲線(xiàn)上，增加期望收益率將導(dǎo)致WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值增加，反之亦然，這也符合市場(chǎng)行為。

(3)當(dāng)置信水平增大時(shí)，有效前沿曲線(xiàn)右移，相同的期望收益率下，發(fā)電商在日前市場(chǎng)的電量分配比例減少，得到的最優(yōu)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值增大。置信水平反映了發(fā)電商風(fēng)險(xiǎn)承受能力。說(shuō)明發(fā)電商風(fēng)險(xiǎn)厭惡度大，發(fā)電商趨于保守。

為了更清楚地說(shuō)明基于WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量投標(biāo)優(yōu)化組合相對(duì)于基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量投標(biāo)組合的優(yōu)勢(shì)性，同樣利用表1和表2中的數(shù)據(jù)，與文獻(xiàn)[11]中基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法進(jìn)行對(duì)比， 取為0.20，利用線(xiàn)性規(guī)劃的LINDO程序再分別進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表4所示。

表4 發(fā)電商發(fā)電量分配及CVaR值

從兩種風(fēng)險(xiǎn)度量方法的計(jì)算結(jié)果的對(duì)比中可看出：在同樣置信水平和期望收益率的約束下，基于WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法時(shí)，發(fā)電商在日前市場(chǎng)投入的發(fā)電量比例明顯增大，而實(shí)時(shí)平衡市場(chǎng)和中、遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)的比例相對(duì)減少，WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值也明顯大于CVaR風(fēng)險(xiǎn)值。即基于WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量投標(biāo)組合時(shí)發(fā)電商會(huì)加大日前市場(chǎng)在整個(gè)市場(chǎng)中所占的份額來(lái)適應(yīng)市場(chǎng)的變化，追求高利潤(rùn)的同時(shí)也遭受著更大的風(fēng)險(xiǎn)損失。這也印證了WCVaR為最壞情況下的CVaR值，能更好地反映不同的市場(chǎng)變化條件，作出相應(yīng)的分配決策。

5 結(jié)語(yǔ)

基于最壞情況風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(WCVaR)理論，建立了WCVaR風(fēng)險(xiǎn)最小化的均值-WCVaR模型。將隨機(jī)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性規(guī)劃問(wèn)題，計(jì)算方便。結(jié)果表明：①發(fā)電商的利潤(rùn)會(huì)隨著其所愿意承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)的增大而提高。置信水平 能反映發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)承受能力。提高置信水平，發(fā)電商趨于厭惡風(fēng)險(xiǎn)，其將增加在中、遠(yuǎn)期合約市場(chǎng)的發(fā)電量分配比例；反之，則將增加在日前市場(chǎng)的發(fā)電量分配比例，符合發(fā)電商的實(shí)際商業(yè)行為。②基于WCVaR的組合優(yōu)化模型結(jié)果反映了市場(chǎng)波動(dòng)情況對(duì)發(fā)電商投標(biāo)組合決策的調(diào)整，他們可以采取不同的市場(chǎng)分配比例來(lái)保證預(yù)期的期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)水平。③給出了具體的發(fā)電商電量的分配比例，并與CVaR模型進(jìn)行了對(duì)比。數(shù)值結(jié)果表明基于WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的發(fā)電商資產(chǎn)組合模型比CVaR模型結(jié)果更優(yōu)，能更真實(shí)地反映發(fā)電商所面臨的市場(chǎng)本質(zhì)特性，可為發(fā)電商在不同市場(chǎng)的電量分配進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。

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周 娟(1986-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏κ袌?chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理。Email:zhoujuan0616@163.com

江 輝(1964-)，女，博士，教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)優(yōu)化運(yùn)行、電力經(jīng)濟(jì)以及計(jì)算機(jī)應(yīng)用。Email:huijiang1092@hotmail.com

李 鵬(1985-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)配電網(wǎng)重構(gòu)。Email:3938595 @qq.com

OptimizationPortfolioAllocationforGenerationCompaniesBasedonWorst-caseConditionalValue-at-risk

ZHOU Juan， JIANG Hui， LI Peng

(College of Electrical amp; Information Engineering, Hunan University,Changsha 410082, China)

To obtain the maximal profit and the minimum risk, it is the duty of generation companies to allocate energy reasonably in power market. Taking the WCVaR as risk management index, an optimal energy allocation model was built for generation companies. Plentiful cases were simulated to test the efficient frontier of models and the energy asset allocation ratio for generation companies among real time equilibrium market, day ahead market, middle-term and long-term contract market. The simulation result shows that the proposed model can exactly reflect the essential characteristics of the market risks which the generation companies must face, the theoretical analysis is correct and the new models are valid. Thereby, the proposed model can be applied to purchasing strategies and risk evaluation of generation companies.

power market； generation companies； worst-case conditional value-at-risk(WCVaR)； optimization portfolio allocation； risk assessment

TM73； F123.9

A

1003-8930(2012)01-0156-05

2010-06-02；

2010-07-02