肖偉, 周洲, 祝小平, 王睿

(1.西北工業(yè)大學(xué) 無人機(jī)特種技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710065;2.西北工業(yè)大學(xué) 無人機(jī)研究所, 陜西 西安 710072)

高空太陽能無人機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)建模與分析

肖偉1, 周洲1, 祝小平2, 王睿1

(1.西北工業(yè)大學(xué) 無人機(jī)特種技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710065;2.西北工業(yè)大學(xué) 無人機(jī)研究所, 陜西 西安 710072)

高空長(zhǎng)航時(shí)太陽能無人機(jī)的機(jī)翼是超柔性結(jié)構(gòu),在飛行中氣動(dòng)彈性變形體現(xiàn)了幾何非線性特征,并與飛行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)耦合,從而改變無人機(jī)的飛行特性?；诠茴D原理,對(duì)柔性無人機(jī)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模,計(jì)算了不同裝載時(shí)無人機(jī)的配平狀態(tài),并對(duì)飛行動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。結(jié)果表明,由于彈性變形和集中載荷的影響,無人機(jī)的短周期頻率減小且阻尼增大,長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)變形運(yùn)動(dòng)發(fā)生耦合,導(dǎo)致長(zhǎng)周期的阻尼減小。

太陽能無人機(jī); 氣動(dòng)彈性; 幾何非線性; 飛行動(dòng)力學(xué)

引言

太陽能無人機(jī)以太陽能為動(dòng)力,不受常規(guī)動(dòng)力飛機(jī)機(jī)載能源有限的約束,適合執(zhí)行超長(zhǎng)時(shí)間的偵察、監(jiān)視和通信中繼等任務(wù),是高空長(zhǎng)航時(shí)無人機(jī)的一個(gè)重要發(fā)展方向[1]。

高空長(zhǎng)航時(shí)太陽能無人機(jī)的機(jī)翼展弦比很大、結(jié)構(gòu)面密度很小,飛行中結(jié)構(gòu)變形明顯且特征頻率低,容易與飛行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)耦合,從而改變無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。在飛行動(dòng)力學(xué)建模時(shí)需要考慮機(jī)翼彈性變形的影響[2-3]。

本文基于哈密頓原理,在機(jī)翼的局部坐標(biāo)系下推導(dǎo)了無人機(jī)的飛行動(dòng)力學(xué)方程,并將其應(yīng)用于太陽能無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性的分析。

1 無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程

圖1 高空太陽能無人機(jī)及其坐標(biāo)系示意圖

機(jī)翼運(yùn)動(dòng)速度v和角速度ω在局部坐標(biāo)系中定義,由地軸系到機(jī)翼局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為Cbe,由局部坐標(biāo)系歐拉角的變化率到角速度ω的轉(zhuǎn)換矩陣為Cd。以上各量均是時(shí)間t和曲線坐標(biāo)s的函數(shù),文中用上標(biāo)(·)表示物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),右標(biāo)(′) 表示對(duì)曲線坐標(biāo)s的導(dǎo)數(shù)。

機(jī)翼局部坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[4]為:

(1)

(2)

圖2為機(jī)翼局部坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖。

圖2 機(jī)翼局部坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖

假設(shè)機(jī)翼截面為剛性,設(shè)ξ為質(zhì)心在局部坐標(biāo)系內(nèi)的位置向量,由圖2中的幾何關(guān)系可知,該截面質(zhì)心處的速度為:

vcg=v+ω×ξ

(3)

于是,由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的合成定理,可以將機(jī)翼的動(dòng)能表示為:

(4)

式中,μ為單位長(zhǎng)度翼段的質(zhì)量;Icg為其相對(duì)質(zhì)心的慣量矩陣。將式(4)對(duì)速度、加速度求偏導(dǎo),可以得到機(jī)翼動(dòng)能變分的表達(dá)式為:

(5)

式中,p,h分別為局部坐標(biāo)系的廣義動(dòng)量和廣義角動(dòng)量。由式(3)和式(4),并應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的平行軸定理,可以得到:

p=μv+μξ×ω

(6)

h=μξ×v+Iω

(7)

式中,I為單位長(zhǎng)度翼段相對(duì)機(jī)翼局部坐標(biāo)系原點(diǎn)的慣量矩陣。式(5)中的速度和角速度的變分可由一般坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在局部坐標(biāo)系內(nèi)得到:

(8)

(9)

由太陽能無人機(jī)大展弦比和低翼載的特點(diǎn)可知,在飛行中機(jī)翼整體變形明顯,但在機(jī)翼局部變形不大。采用Hoges梁假設(shè),設(shè)機(jī)翼變形前曲率為0,機(jī)翼局部的應(yīng)變?chǔ)煤挺史謩e可以表示為[5]:

(10)

(11)

式中,e為局部坐標(biāo)系yb軸方向的單位向量。由材料力學(xué)原理可知,機(jī)翼局部的應(yīng)力fe、力矩Me與應(yīng)變?chǔ)煤挺实年P(guān)系為:

(12)

式中,K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣。于是,機(jī)翼彈性勢(shì)能的變分可以表示為:

(13)

根據(jù)式(10)和式(11),類似于速度和角速度,應(yīng)變的變分也可以在局部坐標(biāo)系內(nèi)得到:

(14)

(15)

將機(jī)翼的非保守力fr、力矩Mr定義在機(jī)翼局部坐標(biāo)系,則有總外力的虛功:

(16)

綜上,由式(5)、式(13)及式(16),根據(jù)哈密頓原理:

(17)

得到:

(frδu+Mrδχ)]dsdt=0

(18)

積分上式,并由歐拉-拉格朗日方程,得到機(jī)翼動(dòng)力學(xué)方程為:

(19)

Me′+κ×Me+(e+γ)×fr+Mr=

(20)

2 氣動(dòng)力、推力和重力模型

上文推導(dǎo)的方程中非保守力包括重力、氣動(dòng)力和推力。為了建立無人機(jī)的飛行動(dòng)力學(xué)方程,需要對(duì)以上各力建模。

太陽能無人機(jī)的展弦比很大,本文應(yīng)用片條理論,認(rèn)為機(jī)翼的弦向剖面上的氣動(dòng)力按照二元機(jī)翼理論計(jì)算。作彈性運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)翼所受的氣動(dòng)力隨時(shí)間變化,應(yīng)用格羅斯曼準(zhǔn)定常假設(shè)[6],得到二維翼型上的準(zhǔn)定常氣動(dòng)力系數(shù)為:

(21)

(22)

由此可以計(jì)算氣動(dòng)力fa和力矩Ma。忽略受擾動(dòng)過程中螺旋槳的轉(zhuǎn)速變化,則推力隨來流速度變化的系數(shù)為:

(23)

式中,η和P分別為螺旋槳的效率和軸功率。由此可以計(jì)算推進(jìn)力fT和力矩MT。

單位長(zhǎng)度機(jī)翼的重力在地面坐標(biāo)系定義為:

(24)

對(duì)應(yīng)于式(19)和式(20),上述各力、力矩均在機(jī)翼局部翼段上考慮,因而它們同樣是時(shí)間t和曲線坐標(biāo)s的函數(shù)。將上述各力、力矩轉(zhuǎn)換到機(jī)翼局部坐標(biāo)系內(nèi)有:

(25)

Mr=Ma+ξ×(CbefgG)+MT

(26)

3 方程的線性化

結(jié)合氣動(dòng)力、推力和重力的表達(dá)式,將式(19)和式(20)與式(1)和式(2)聯(lián)立,可以得到表示太陽能無人機(jī)的狀態(tài)方程組。為了便于進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,以下對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行時(shí)域內(nèi)展開和線性化處理。將機(jī)翼分為n段,則狀態(tài)量為3×4×n維列向量:

[x1,x2,x3,x4]T=[v,ω,u,χ]T

(27)

將式(19)和式(20)泰勒展開,保留一次項(xiàng),可得無人機(jī)運(yùn)動(dòng)的小擾動(dòng)方程為:

(28)

其中:

(29)

由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式(1)和式(2)小擾動(dòng)線性化得到:

(30)

為了保證求偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,本文中將運(yùn)動(dòng)量v,ω等在局部翼段內(nèi)定義,將內(nèi)力fe、內(nèi)力矩Me和應(yīng)變?chǔ)?κ在相鄰兩翼段中間節(jié)點(diǎn)定義,利用以下關(guān)系實(shí)現(xiàn)狀態(tài)量的求偏導(dǎo)和求平均運(yùn)算:

(31)

(32)

式中,d為分段后小段機(jī)翼的長(zhǎng)度;xi,j為對(duì)應(yīng)第j段機(jī)翼的狀態(tài)量xi。

同時(shí),將配平狀態(tài)下基準(zhǔn)量的叉乘運(yùn)算改寫成線性矩陣點(diǎn)乘的形式,如:

κ0×Δfe=Cκ0Δfe

(33)

則根據(jù)式(1)、式(2)、式(19)及式(20),由求導(dǎo)運(yùn)算、求平均運(yùn)算、叉乘矩陣變換可以計(jì)算得到A1～A4,進(jìn)而得到無人機(jī)的小擾動(dòng)特征方程。

4 無人機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)特性分析

4.1 配平計(jì)算

圖3 不同載荷下無人機(jī)機(jī)翼中點(diǎn)的配平迎角

機(jī)翼靜氣動(dòng)彈性變形隨集中載荷的變化如圖4所示。

圖4 不同載荷下無人機(jī)配平狀態(tài)的靜變形

4.2 動(dòng)態(tài)特性計(jì)算

在按上述方法求解靜變形計(jì)算的基礎(chǔ)上,在平衡點(diǎn)對(duì)狀態(tài)方程線性化,求解特征根,從而研究太陽能無人機(jī)的基本動(dòng)態(tài)特性。結(jié)果顯示,隨著無人機(jī)載荷的增加,無人機(jī)上彎變得明顯,這個(gè)靜變形效應(yīng)使得無人機(jī)的縱向短周期運(yùn)動(dòng)模態(tài)的阻尼增大,直至收斂,其特征根變化趨勢(shì)如圖5所示。

圖5 載荷增加時(shí)無人機(jī)縱向特征根軌跡(短周期)

由于載荷集中在無人機(jī)的中部,使得無人機(jī)的長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)與機(jī)翼的低頻彈性模態(tài)發(fā)生耦合,從而使得無人機(jī)縱向長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)的阻尼減小,其特征根變化趨勢(shì)如圖6所示。由圖6可知,隨著集中載荷重量的增加,系統(tǒng)的特征根由負(fù)實(shí)部變?yōu)檎龑?shí)部,無人機(jī)長(zhǎng)周期與結(jié)構(gòu)耦合模態(tài)有發(fā)散的趨勢(shì)。

圖7顯示了長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)過程中無人機(jī)的變形情況。當(dāng)考慮機(jī)翼彈性的影響時(shí),太陽能無人機(jī)的長(zhǎng)周期模態(tài)與結(jié)構(gòu)模態(tài)出現(xiàn)耦合,其間不僅存在動(dòng)能與重力勢(shì)能的轉(zhuǎn)換,同時(shí)還包括了動(dòng)能與彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換,結(jié)果導(dǎo)致長(zhǎng)周期模態(tài)穩(wěn)定性降低。

圖6 載荷增加時(shí)無人機(jī)縱向特征根軌跡(長(zhǎng)周期)

圖7 無人機(jī)長(zhǎng)周期與結(jié)構(gòu)耦合模態(tài)

5 結(jié)論

通過本文的研究可得到以下結(jié)論:

(1)基于哈密頓原理和梁結(jié)構(gòu)模型,推導(dǎo)了超柔性太陽能無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程。研究發(fā)現(xiàn),在掛載集中載荷時(shí),超柔性無人機(jī)配平狀態(tài)存在較大變形,彈性變形對(duì)飛行性能和飛行品質(zhì)有明顯的影響。

(2)由于靜態(tài)彈性變形,使得無人機(jī)的短周期阻尼減小,變形量增加時(shí)短周期特征根最終收斂為實(shí)根。

(3)在集中載荷的情況下,氣動(dòng)彈性變形導(dǎo)致機(jī)翼結(jié)構(gòu)變形和無人機(jī)的長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)耦合嚴(yán)重,導(dǎo)致阻尼減小,可能使得長(zhǎng)周期與結(jié)構(gòu)耦合模態(tài)不穩(wěn)定,影響飛行安全。

[1] 高廣林,李占科,宋筆鋒,等.太陽能無人機(jī)關(guān)鍵技術(shù)分析[J].飛行力學(xué),2010,28(1):1-4.

[2] Giulio Romeo,Giacomo Frulla.Heliplat:aerodynamic and structural analysis of HAVE solar powered platform [R].AIAA 2002-3504,2002.

[3] Mayuresh J Patil.Nonlinear aeroelastic analysis,flight dynamics,and control of a complete aircraft [D].Atalnta:Ph.D.Dissertation,Georgia Institute of Technology,GA,May,1999.

[4] 方振平,陳萬春,張曙光.航空飛行器飛行動(dòng)力學(xué)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2005.

[5] Dewey H Hodges.Geometrically exact,intrinsic theory for dynamics of curved and twisted anisotropic beams [J].AIAA Journal,2003,41 (6):1131-1137.

[6] 陳桂彬,鄒叢青,楊超.氣動(dòng)彈性設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2004.

(編輯：姚妙慧)

ModellingandanalysisonflightdynamicsofhighaltitudesolarUAV

XIAO Wei1, ZHOU Zhou1, ZHU Xiao-ping2, WANG Rui1

(1.National Key Laboratory of Science and Technology on UAV, NWPU, Xi’an 710065, China;2.UAV Research Institute, NWPU, Xi’an 710072, China)

High altitude long endurance (HALE) solar powered UAV is highly flexible in flight, the aircraft motion is coupled with geometrically nonlinear structural deformation. This paper establishes mathematical model for the flexible UAV with large deformation based on Hamilton priciple, it can be used for analysis of triming of the UAV and flight dynamics analysis about the trimmed-state. Results are generated for a typical high-aspect-ratio solar UAV, on account of flexibility, the pair of complex short-period roots merges to become real roots, and the phugoid mode goes unstable.

solar UAV; aeroelasticity; geometrically nonlinear; flight dynamics

V212.1; V279

A

1002-0853(2012)05-0385-04

2011-01-16;

2011-05-23

國防基礎(chǔ)科研基金資助(A2720060290)

肖偉(1982-),男,湖南湘潭人,博士研究生,主要研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力學(xué)與控制。