賈利寧

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)系，天津300072)

非負(fù)矩陣?yán)碚撟鳛橐环N基本工具，被廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支及其他科學(xué)領(lǐng)域，非負(fù)矩陣最大特征值的估計(jì)是非負(fù)矩陣?yán)碚摰暮诵膯栴}之一.如果其上下界能夠表示為以矩陣為元素的易于計(jì)算的函數(shù)，那么這種估計(jì)的價(jià)值更高.

由Frobenius界值定理[1]知

同理對(duì)A的列和也有相同的結(jié)論.對(duì)于有非零行和的非負(fù)矩陣，H·Minc在文獻(xiàn)[1]中把(1)

式進(jìn)一步推廣為:

引理1[2]設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)不可約矩陣，B=(A+1)n－1，其中I為n階單位陣，則對(duì)任何正整數(shù)k有

1 界值定理

引理2[1]設(shè) λ是矩陣A的特征值，分別是矩陣AT和A對(duì)應(yīng)于λ的特征向量，則

引理3[1]若q1，q2，…，qn是正數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)p，p2，…，pn，有

引理4[3]設(shè)A是n階矩陣分別表示矩陣Ak的第i行的行和與第j列的列和，則

其中i，j∈〈n〉，s，k均為非負(fù)整數(shù)s≤k，且約定A0=I(I為單位矩陣).

定理1設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)不可約矩陣，r為A的最大特征值，分別表示矩陣A2k的第i行的行和與第j列的列和，且B=(A－ αI)n－1，其中 α=mini{aij}則對(duì)任意正整數(shù)k(≥1)，有

由引理2得

定理2設(shè)A=(aij)為n階非負(fù)不可約矩陣，r為A的最大特征值分別表示矩陣A2k的第i行的行和與第i列的列和，且B=(A－ αI)n－1，其 中 α=mini{aii}則有與存在，且

證明 設(shè)x=(x1，x2，…，xn)T＞0，是矩陣A對(duì)應(yīng)于r的特征向量，不妨設(shè).因?yàn)锽=(A－

αI)n－1，則有AB=BA，從而

把定理2中的行和改成相應(yīng)的列和，結(jié)論依然成立.

若A是n(n≥2)階非負(fù)可約矩陣，則由文獻(xiàn)[2]中的§3知存在n階置換矩陣P，使得

其中塊對(duì)角線上每塊Aii(1≤i≤m)或?yàn)椴豢杉s矩陣，或?yàn)橐浑A零矩陣.

2 數(shù)值算例

Frobenius 4≤r≤8 5≤r≤7行列Hinc 5≤r≤6.25 5.6≤r≤5.8572行列Ledermann 4.1547≤r≤7.8661 5.0800≤r≤6.9259行列Ostrowski 4.5275≤r≤7.6547 5.2247≤r≤6.8165行列Brauer 4.8284≤r≤7.4642 5.3722≤r≤6.7016行列引理1(k=2)5.7335≤r≤5.7564 5.7349≤r≤5.7484行列定理1(k=2)5.7411≤r≤5.7424 5.7416≤r≤5.7417行列

與引理1相比，定理1估計(jì)精確度大有提高，且逼近的速度較快.

[1]MINCH.Nonnegative Matrices[M].New York:Wiley，1988.

[2]殷劍宏.非負(fù)矩陣最大特征值的新界值[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2002，23(4):282－295.

[3]LIU SL.Bounds for the greatest characteristic rootof a nonnegative matrix[J].Lin.Alg.Appl.，1996，239:151－160.