☉陜西省洋縣黃安初中 鄧文忠

原題（2012年陜西壓軸題）如圖1，正三角形ABC的邊長為3+.

（1）如圖1，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上.在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；

（3）如圖2，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由.

標(biāo)準(zhǔn)答案（1）如圖1，正方形E′F′P′N′即為所求.

（2）設(shè)正方形E′F′P′N′的邊長為x.

因△ABC為正三角形，

圖1

（3）如圖2，連接NE，EP，PN，則∠NEP=90°.

設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），它們的面積和為S，則NE=m，PE=n.

所以PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）.

圖2

延長PH交ND于點(diǎn)G，則PG⊥ND.

在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2.

所以①當(dāng)（m-n）2=0時，即m=n時，S最小.

②當(dāng)（m-n）2最大時，S最大.即當(dāng)m最大且n最小時，S最大.

筆者為此進(jìn)行了專門的研究，特別是注意到S=m2+n2和m+n=3兩式，靈機(jī)一動，此題可消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型.

簡解：設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），它們的面積和為S.

因AB=3+，所以.所以m+n=3.

因m≥n，由（2）知，m最大=3-3，所以≤m≤3-3.

當(dāng)m=3-3時，S最大=

一個細(xì)節(jié)：在上面設(shè)法中注明了m≥n，原題上沒有，若去掉這個條件又怎樣求m的取值范圍？

因m+n=3，

所以n=3-m.

又0＜m≤3-3， ①

所以由對稱性知0＜n≤3-3，即0＜3-m≤3-3. ②

只需求S=m2+n2=m2+（3-m）2=2m2-6m+9（6-3≤m≤3-3）的最值了.

此時當(dāng)m=6-3或3-3時，S最大=99-54

到此，孰優(yōu)孰劣，一看便知.

由此可見，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)盡量分清主次，捕捉和把握題目本質(zhì)，突出通性通法，揭示規(guī)律，同時，選擇一個合適的方向確實(shí)能起到四兩撥千斤之效，以最簡捷、明了的方法達(dá)到解決問題之目的，使人一目了然、心曠神怡，令人豁然開朗.追求簡易，享受數(shù)學(xué)簡潔之美，讓我們記住單墫先生的話吧“：解法應(yīng)以簡單，自然為止，避免‘廢招’”.