☉重慶市涪陵區(qū)第十四中學(xué)校 賀清倫

二次函數(shù)和一元二次方程是我們學(xué)習(xí)的兩個(gè)“二次”問題，兩者之間有著怎樣的關(guān)系呢？下面為同學(xué)們一一介紹.

一、兩者的關(guān)系

（1）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的值等于m，求自變量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m（即ax2+bx+c-m=0）.反過來，解方程ax2+bx+c=0（a≠0）又看做已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c值為0，求自變量x的值；

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的關(guān)系：

當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的根，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0）和（x2，0）；

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)相等的根，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸只有唯一的一個(gè)交點(diǎn)（x，0）；

當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸無交點(diǎn).

圖1

二、兩者關(guān)系的運(yùn)用

1.一元二次方程的根

例1 已知二次函數(shù)y＝－x2+2x+m的部分圖像如圖1所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的解為＿＿＿.

分析：要求出方程－x2+2x+m＝0的解，我們根據(jù)二次函數(shù)y＝－x2+2x+m的部分圖像，知道拋物線的對(duì)稱軸和一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).求出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出方程的解.

解：不妨設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（x1，0）（x2，0）.

說明：本題也可以通過圖像的信息求出m的值，再解方程.

2.求一元二次方程的根

例2二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，根據(jù)圖像解答下列問題：

（1）寫出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根.

（2）若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

圖2

解析：（1）從圖像上可以看出，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于兩點(diǎn)（1，0）、（3，0），故方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1=1，x2=3.

（2）要使方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也就是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與直線y=k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖像可知拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，所以只有當(dāng)k＜2才能滿足條件.

說明：通過本題的解答，我們可以看到二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和方程ax2+bx+c=0之間有密切的聯(lián)系.

3.一元二次方程的根與二次函數(shù)的解析式

例3已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)Q（0，-3），圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為15，求函數(shù)解析式及對(duì)稱軸.

解析：可由拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求出c的值，這樣只需待定“b”，即只需構(gòu)造關(guān)于b的方程，由于已知條件給出圖像與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為15，x12+x22=15，需用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由此作為等量關(guān)系來構(gòu)造方程，解題的關(guān)鍵是用含b的代數(shù)式表示x12+x22.

由點(diǎn)Q（0，-3）知c=-3，則拋物線的解析式為y=x2+bx-3.

設(shè)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2，

則x1、x2是一元二次方程x2+bx-3=0的兩個(gè)根.

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-b，x1x2=-3，

所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=b2+6-15.

解得b=±3.

說明：從上面解題過程可知用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式一般有兩條解題思路：

（1）把已知條件轉(zhuǎn)化為圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)，把坐標(biāo)代入解析式構(gòu)造關(guān)于“待定系數(shù)”的方程；

（2）利用已知的等量關(guān)系直接構(gòu)造關(guān)于“待定系數(shù)”的方程.

4.判斷一元二次方程根的存在問題

例4已知二次函數(shù)y=（m-2）x2+2mx+m+1，其中m為常數(shù)，且滿足-1＜m＜2，試判斷此拋物線的開口方向，與x軸有無交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)在x軸上方還是在x軸下方.

解析：由-1＜m＜2，得m-2＜0，所以拋物線開口向下，又m+1＞0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，所以Δ=4m2-4（m-2）（m+1）=4m2-4（m2-m-2）=4m+8=4（m+1）+4＞0.

故拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

說明：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）除了解a的含義以外，還應(yīng)理解常數(shù)c為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即由c定點(diǎn)（0，c），c的正、負(fù)符號(hào)決定（或決定于）拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上、下方，c的絕對(duì)值決定（或決定于）圖像與y軸交點(diǎn)到x軸的距離.由y=0，得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.它有無實(shí)根由判別式Δ=b2-4ac來決定.

通過上面的題目我們可以看出，一元二次方程和二次函數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系，在解題時(shí)，我們只有充分運(yùn)用它們的關(guān)系，就能準(zhǔn)確地進(jìn)行求解.一元二次方程與二次函數(shù)之間有著密切的關(guān)系，解題時(shí)，我們只要把握他們之間的聯(lián)系，把交點(diǎn)的坐標(biāo)和方程的根聯(lián)系起來，就能順利得到題目的答案.