☉江蘇省江陰市利港中學(xué) 劉 杰

不等式組與方程組一樣，是解決現(xiàn)實生活中的重要模型，主要涉及經(jīng)濟類、勞力分配、方案設(shè)計等方面的問題，是中考的熱點題型，下面精選幾例加以分析.

一、服裝生產(chǎn)方案問題

例1下崗職工王阿姨利用自己的一技之長開辦了“愛心服裝廠”，計劃生產(chǎn)甲、乙兩種型號的服裝共40套投放到市場銷售.已知甲型服裝每套成本34元，售價39元；乙型服裝每套成本42元，售價50元.服裝廠預(yù)計兩種服裝的成本不低于1536元，不高于1552元.問服裝廠有哪幾種生產(chǎn)方案.

分析：首先閱讀題意，抓住關(guān)鍵詞：“不低于”、“不高于”來建立不等式，組成不等式組，然后解不等式組.

解：設(shè)甲型服裝x套，則乙型服裝為（40-x）套，由題意得1536≤34x+42（40-x）≤1552.

解得16≤x≤18.

因x是正整數(shù)，

所以x=16或17或18.有以下三種生產(chǎn)方案：

生產(chǎn)甲型服裝16套，乙型24套或甲型服裝17套，乙型23套或甲型服裝18套，乙型服裝22套.

點評：用不等式組解決應(yīng)用問題，關(guān)鍵是分析題意，尋找不等關(guān)系，列出不等式組.要善于將題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式組，并且解不等式組所得的結(jié)果通常為一解集，需要從解集中再找出符合題意的答案.

二、商店進貨方案問題

例2某商店需要購進一批電視機和洗衣機，根據(jù)市場調(diào)查，決定電視機進貨量不少于洗衣機的進貨量的一半.電視機與洗衣機的進價和售價如下表：

類別 洗衣機進價（元/臺） 1800 1500電視機

計劃購進電視機和洗衣機共100臺，商店最多可籌集資金161800元.

請你幫助商店算一算有多少種進貨方案.（不考慮除進價之外的其他費用）

分析：本題中提供了電視機和洗衣機的進價，由于不考慮進價之外的其他費用，因此，設(shè)購買其中一個物品的臺數(shù)為x，那么根據(jù)題意，列出兩個一元一次不等式，組成不等式組.由于要求的是進貨方案，因此x的值應(yīng)取正整數(shù).

解：（1）設(shè)商店購進電視機x臺，則購進洗衣機（100-x）臺，根據(jù)題意，得

即購進電視機最少34臺，最多39臺，商店有6種進貨方案.

點評：本題是以表格的形式展示數(shù)字信息，根據(jù)題目中的關(guān)鍵詞“不少于”和“最多”來建立不等式，組成不等式組，然后加以解決.

三、租車方案問題

例3某校準(zhǔn)備組織290名學(xué)生進行野外考察活動，行李共有100件.學(xué)校計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共8輛，經(jīng)了解，甲種汽車每輛最多能載40人和10件行李，乙種汽車每輛最多能載30人和20件行李.

（1）設(shè)租用甲種汽車x輛，請你幫助學(xué)校設(shè)計所有可能的租車方案.

（2）如果甲、乙兩種汽車每輛的租車費用分別為2000元、1800元，請你選擇最省錢的一種租車方案.

分析：（1）通過閱讀題目，不難發(fā)現(xiàn)題目中存在這樣的不等關(guān)系“：載客量總和應(yīng)該達到或超過290名”“、載行李量總和應(yīng)該達到或超過100件”.根據(jù)這兩個不等關(guān)系建立不等式組，從而可求出x的取值范圍，最后再確定所有可能的租車方案；（2）計算（1）中的每一種租車方案所需要的費用，然后進行比較，從中選擇出最省錢的租車方案.

解：（1）由于租用甲種汽車x輛，則租用乙種汽車（8－x）輛.由題意得

因為x取整數(shù)，所以x=5，6.

所以共有兩種租車方案：第一種是租用甲種汽車5輛，乙種汽車3輛；第二種是租用甲種汽車6輛，乙種汽車2輛.

（2）第一種租車方案的費用為5×2000＋3×1800=15400（元）；第二種租車方案的費用為6×2000＋2×1800=15600（元）.所以，第一種租車方案更省費用.

點評：本題文字較多，關(guān)系較復(fù)雜，解決本題需要仔細(xì)讀題，理解題意，從而挖掘出題目中所隱含的不等關(guān)系，從而建立不等式組模型來進行求解.

四、工廠生產(chǎn)方案

例4（2012年湖南常德）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，其生產(chǎn)成本與利潤如下表：

利潤（萬元/件）A種產(chǎn)品0.6 B種產(chǎn)品0.9利潤（萬元/件） 0.2 0.4

若該廠計劃投入資金不超過40萬元，且希望獲利超過16萬元，問：工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？哪種生產(chǎn)方案獲利最大？最大利潤是多少？

分析：根據(jù)“投入資金不超過40萬元，獲利超過16萬元”可列出不等式組，求得不等式組的整數(shù)解即可確定生產(chǎn)方案，再通過計算，確定獲利最大的生產(chǎn)方案.

解：（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50－x）件，根據(jù)題意，得

因為x取正整數(shù)，所以x＝17，18，19.

所以有三種生產(chǎn)方案：

方案一：生產(chǎn)A種產(chǎn)品17件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品33件；

方案二：生產(chǎn)A種產(chǎn)品18件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品32件；

方案三：生產(chǎn)A種產(chǎn)品19件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品31件.

（2）（法一）因為B種產(chǎn)品每件獲得的利潤多，所以應(yīng)多生產(chǎn)B種產(chǎn)品.

即生產(chǎn)A種產(chǎn)品17件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品33件，獲利最大，最大利潤是17×0.2＋33×0.4＝16.6（萬元）.

（法二）方案一：獲利是17×0.2＋33×0.4＝16.6（萬元）；

方案二：獲利是18×0.2＋32×0.4＝16.4（萬元）；

方案三：獲利是19×0.2＋31×0.4＝16.2（萬元）.

因為16.6＞16.4＞16.2，所以方案一獲利最大.

即生產(chǎn)A種產(chǎn)品17件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品33件，獲利最大，最大利潤是16.6萬元.

（法三）設(shè)獲得總利潤y＝0.2x＋0.4（50-x）＝-0.2x＋20.

因為-0.2＜0，y隨x的增大而減少，

所以當(dāng)x＝17時，獲得利潤最大，最大利潤是：-0.2×17＋20＝16.6（萬元）.

即生產(chǎn)A種產(chǎn)品17件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品33件，獲利最大，最大利潤是16.6萬元.

點評：本題考查了利用一元一次不等式組來解決最優(yōu)方案問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式組.解答這類問題，要正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為不等式組數(shù)學(xué)模型，得到切實可行的解題策略，并將求出的不同結(jié)果轉(zhuǎn)化為具有現(xiàn)實意義的各種方案進行選擇，最終確定最佳方案.本題綜合考查學(xué)生的閱讀能力、分析推理能力和數(shù)學(xué)建模思想.

五、板房組裝方案

例5（2012年廣西貴港）某公司規(guī)定利用僅有的349個甲種部件和295個乙種部件組裝A、B兩種型號的簡易板房共50套捐贈給災(zāi)區(qū).已知組裝一套A型號簡易板房需要甲種部件8個和乙種部件4個；組裝一套B型號簡易板房需要甲種部件5個和乙種部件9個.

（1）該公司在組裝A、B兩種型號的簡易板房時，共有多少種組裝方案？

（2）若組裝A、B兩種型號的簡易板房所需費用分別為每套200元和180元，問：最少總組裝費用是多少元？寫出總組裝費用最少時的組裝方案.

分析：題目中隱含的不等關(guān)系是：A型號簡易板房需要甲種部件+B型號簡易板房需要甲種部件不大于349；A型號簡易板房需要乙種部件+B型號簡易板房需要乙種部件不大于295.再有不等式組的正整數(shù)解確定解題方案.

解：（1）設(shè)組裝A型號簡易板房x套，則組裝B型號簡易板房（50-x）套.

答：共有3種組裝方案.

（2）因為總套數(shù)50不變，所以組裝B種型號的簡易板房越多，費用越少.

所以總組裝費用最少時的組裝方案是：

組裝A型號簡易板房31套，組裝B型號簡易板房19套；

最少總組裝費用是31×200+19×180＝9620（元）.

點評：本題考查了與不等式有關(guān)的方案選擇問題，找出題目中的不等關(guān)系列不等式求解是解題的關(guān)鍵.不等式在實際問題中的應(yīng)用是?？嫉念}目，解答這類問題應(yīng)認(rèn)真審題，理清題目的數(shù)量關(guān)系，找出符合題意的解.