張穎穎

（三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 三門峽 472000）

高速高精度的運(yùn)動(dòng)控制是機(jī)械制造業(yè)自動(dòng)控制領(lǐng)域的核心技術(shù)，而插補(bǔ)模塊是實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)的重要模塊，其中自適應(yīng)NURBS曲線插補(bǔ)技術(shù)是工程應(yīng)用中的典型代表。運(yùn)動(dòng)速度、控制精度以及整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性是自適應(yīng)NURBS曲線插補(bǔ)技術(shù)涉及到的幾個(gè)重要因素，其中動(dòng)力學(xué)特性在現(xiàn)代高速、高精度、復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)控加工系統(tǒng)中尤為重要。

動(dòng)力學(xué)特性對(duì)加工過(guò)程的影響主要體現(xiàn)在加工運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)尖角時(shí)、受進(jìn)給速率變化影響較大的拐角點(diǎn)、高頻分量以及與執(zhí)行機(jī)構(gòu)固有頻率相同的頻率分量等這幾個(gè)方面。數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)控制器要追蹤加工軌跡的尖角處非常困難，同時(shí)尖角處進(jìn)給的加速度很容易超出機(jī)床所能承受的范圍。在插補(bǔ)的過(guò)程中往往會(huì)遇到這樣運(yùn)動(dòng)加速度超過(guò)機(jī)器本身所能承受范圍的情況，這會(huì)產(chǎn)生過(guò)度波動(dòng)而導(dǎo)致加工精度降低，產(chǎn)品質(zhì)量得不到保證。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，傳統(tǒng)的解決方法是在數(shù)控機(jī)床控制器最后的執(zhí)行階段給出一定的加速度，避免超限，該處理效果并不十分理想［1］。

為了能夠在計(jì)算加工軌跡的同時(shí)將動(dòng)力學(xué)影響考慮在內(nèi)，可以運(yùn)用數(shù)字濾波的方式，對(duì)執(zhí)行插補(bǔ)指令后的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，濾除能夠引起機(jī)床共振的頻率分量，保障運(yùn)動(dòng)控制的高精度。采用陷波濾波器可以在完成DSP插補(bǔ)控制的前提下，插補(bǔ)數(shù)據(jù)經(jīng)由串行口直接導(dǎo)入PC機(jī)，對(duì)其進(jìn)行陷波濾波處理，濾除與機(jī)床執(zhí)行機(jī)構(gòu)固有頻率同頻的分量，避免出現(xiàn)共振，實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)濾波，提高控制精度。

1 濾波器的設(shè)計(jì)方法

1．1 數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器是對(duì)輸入的數(shù)字信號(hào)按照一定的要求進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算等處理，實(shí)現(xiàn)保留有用信號(hào)，濾除無(wú)用信號(hào)等功能的算法或裝置。最常用的兩種數(shù)字濾波器為FIR和IIR，分別被稱為有限響應(yīng)沖擊數(shù)字濾波器和無(wú)限響應(yīng)沖擊數(shù)字濾波器［2］。二者相較各有所長(zhǎng)，F(xiàn)IR線性相位，需要較高的階數(shù)，相比之下，若要達(dá)到同樣的性能指標(biāo)，IIR所需要的階數(shù)遠(yuǎn)小于FIR，所需要的存儲(chǔ)單元少，經(jīng)濟(jì)而且高效。由于NURBS線性插補(bǔ)后是以序列形式的坐標(biāo)做為輸出，因此本濾波器采用IIR模型。

1．2 設(shè)計(jì)方法

設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一種方法是先設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的模擬濾波器，然后根據(jù)要求轉(zhuǎn)換成滿足實(shí)際需要的數(shù)字濾波器，由于模擬濾波器有許多可用的公式和參數(shù)表格，設(shè)計(jì)過(guò)程相對(duì)比較簡(jiǎn)單。另一種方法是借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)，在確定最佳準(zhǔn)則的前提下，求出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)參數(shù)，此種方法靈活，可根據(jù)不同的需求快速的調(diào)整濾波器的系統(tǒng)參數(shù)。本濾波器采用MATLAB軟件仿真獲得濾波器的系統(tǒng)參數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)IIR濾波器。

MATLAB具有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算、數(shù)值分析及信號(hào)處理功能，其信號(hào)處理工具箱綜合了各種濾波器的設(shè)計(jì)、仿真和分析技術(shù)，為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器提供了方便快捷的設(shè)計(jì)工具。將低通模擬濾波器變換到具有相同性能的數(shù)字濾波器的經(jīng)典設(shè)計(jì)方法，即將模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)映射為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，是MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法之一。要實(shí)現(xiàn)從H（s）到H（z）即s域與z域之間的轉(zhuǎn)換，可以通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法或雙線性映射法來(lái)實(shí)現(xiàn)［3］。

脈沖響應(yīng)不變法可以利用信號(hào)工具箱中的函數(shù)impinvai和以下公式實(shí)現(xiàn)求解過(guò)程：

雙線性變換法則是通過(guò)S＝2fs（z－1）（z＋1）和信號(hào)處理工具箱中的bilinear函數(shù)實(shí)現(xiàn)將傳遞函數(shù)從H（s）到H（z）的變換［4］。

MATLAB提供的第二種設(shè)計(jì)方法是直接利用IIR數(shù)字濾波器完全設(shè)計(jì)函數(shù)，根據(jù)具體需要產(chǎn)生自由階數(shù)常用的帶通、帶阻、高、低通等任何形式的濾波器。

2 陷波濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

帶阻濾波器的阻止帶寬窄到一定范圍內(nèi)時(shí)，就被稱為陷波濾波器。陷波濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)是通過(guò)利用MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的設(shè)計(jì)工具，以具有代表性的四種不同幾何特征的曲線作為目標(biāo)測(cè)試曲線，用濾波器對(duì)其進(jìn)行處理后，對(duì)處理結(jié)果進(jìn)行誤差分析。以統(tǒng)計(jì)學(xué)為依據(jù)，主要從兩個(gè)方面作出評(píng)價(jià)，一是速度的穩(wěn)定性，二是位置控制的精確度。

2．1 確定中心頻率

實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的固有頻率是選定濾波器中心頻率的重要依據(jù)，只有滿足這個(gè)條件才能達(dá)到濾除產(chǎn)生執(zhí)行機(jī)構(gòu)共振頻率分量的目的。以實(shí)測(cè)電機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，測(cè)試其固有頻率，用以選定本陷波濾波器的中心頻率，測(cè)試數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 實(shí)測(cè)電機(jī)實(shí)驗(yàn)

由測(cè)試結(jié)果可知電機(jī)的固有頻率處在低頻頻段。不同的曲線所含有的頻率分量也不同，曲線越復(fù)雜，其頻率分量越豐富，而濾波器的帶寬也會(huì)對(duì)濾波處理后的結(jié)果產(chǎn)生影響，從而使得誤差發(fā)生變化。針對(duì)不同的曲線，將采用不同的中心頻率，以及不同的頻帶寬度。因此，選定濾波器的中心頻率為50Hz、100Hz兩段。

2．2 基于DSP實(shí)現(xiàn)陷波濾波器

可編程DSP芯片具有諸多優(yōu)點(diǎn)，用它來(lái)實(shí)現(xiàn)陷波濾波器不僅穩(wěn)定而且精確度高，可以通過(guò)編程修改濾波器的系統(tǒng)參數(shù)，調(diào)整濾波器的功能，靈活方便。濾波器實(shí)現(xiàn)所需要的硬件設(shè)備包括DSP和ARM9運(yùn)動(dòng)控制板、PC機(jī)，其中DSP和PC機(jī)的數(shù)據(jù)采集由相應(yīng)的軟件控制，將插補(bǔ)后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入PC。

本陷波濾波器采用IIR模型中最常用的II型濾波結(jié)構(gòu)，濾波器的系統(tǒng)參數(shù)、通過(guò)運(yùn)用雙線性變換法求得，如表1所示。

表1 陷波濾波器系數(shù)

當(dāng)陷波濾波器選取帶寬5Hz，中心頻率為50Hz時(shí)，濾波器的傳遞函數(shù)H（z）應(yīng)為：

代入濾波器的系數(shù)a、b，則H（z）應(yīng)表示為：

由此可獲得：

3 濾波器性能分析

根據(jù)相對(duì)誤差ex（i）、ey（i），位置偏差e（i）以及RMS、Max和Mean這三個(gè)指標(biāo)對(duì)濾波器的性能進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)。

3．1 目標(biāo)測(cè)試曲線

選用直線、圓、星形曲線和橋形奇點(diǎn)曲線這四種代表性的離散型值點(diǎn)曲線作為目標(biāo)測(cè)試曲線，由于其具有不同的幾何特征，因此在濾波后呈現(xiàn)不同的特點(diǎn)。其中，直線和圓的幾何特征較簡(jiǎn)單，星形曲線作為一種封閉曲線的代表，具有幾何對(duì)稱的特點(diǎn)，橋形奇點(diǎn)曲線則屬于非封閉、不對(duì)稱、曲率復(fù)雜的曲線代表。如圖2所示，“◇”表示NURBS插補(bǔ)定點(diǎn)，點(diǎn)之間的曲線為插補(bǔ)后的離散型值點(diǎn)的連線。

圖2 目標(biāo)測(cè)試曲線

對(duì)這四種曲線進(jìn)行陷波濾波處理，針對(duì)每一種曲線陷波濾波后的性能進(jìn)行分析。不同特征的曲線選用不同中心頻率的濾波器，曲線越復(fù)雜，包含的頻率分量越多。對(duì)于直線和圓形曲線，濾波器的中心頻率選擇50Hz，而對(duì)于星形曲線和橋形奇點(diǎn)曲線則選用中心頻率為100Hz的濾波器。

3．2 濾波結(jié)果及性能評(píng)價(jià)

3．2．1 目標(biāo)曲線－直線

表2 直線軌跡濾波誤差評(píng)價(jià)

直線的幾何及頻率特性簡(jiǎn)單，從直線濾波后的誤差評(píng)價(jià)表中可以得出，濾波器的帶寬越小，誤差評(píng)價(jià)的各項(xiàng)指標(biāo)也越小。濾波后誤差評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表2所示，以帶寬為10HZ下的各項(xiàng)指標(biāo)為例，其中ex（i）和ey（i）的Mean指標(biāo)分別為0．03616%和0．03619%，由于插補(bǔ)周期一定，故可將ex（i）和ey（i）看作是x軸和y軸速度的相對(duì)誤差，評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)表明，濾波前后直線的速度比較穩(wěn)定；Max指標(biāo)分別為9．54685%和9．54648%，與Mean值相差近9%，意味著在濾波處理后的某個(gè)區(qū)域相對(duì)誤差較大。位置誤差e（i）的Mean指標(biāo)為0．002147mm，Max指標(biāo)為0．002890mm，表明位置誤差均值大約為2μm，而最大誤差不超過(guò)3μm，能夠滿足高精度位置控制的要求。

3．2．2 目標(biāo)曲線－圓

圓軌跡包含了很多頻率分量，其瞬時(shí)角頻率不斷變化。平面圓軌跡可以分解x、y為兩部分，x方向?yàn)檎臆壽E，y方向?yàn)橛嘞臆壽E。濾波后誤差評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表3所示，ex（i）和ey（i）的Mean指標(biāo)比直線軌跡的Mean指標(biāo)數(shù)值大，但均控制在1%以內(nèi)，隨著帶寬的減小，其值隨之減小。ex（i）和ey（i）的濾波處理后的誤差最大值分別為25．24689%和30．13169%，該指標(biāo)也隨帶寬的減小而減小。帶寬為20Hz時(shí)e（i）的Mean值達(dá)到8μm，這一指標(biāo)已經(jīng)能夠滿足工業(yè)上的一般精度要求，若對(duì)帶寬加以調(diào)整，可將其控制在4μm以下，因此，對(duì)于圓形軌跡，濾波器帶寬不宜過(guò)大。

表3 圓軌跡濾波誤差評(píng)價(jià)

3．2．3 目標(biāo)曲線－星形曲線

星形曲線是一類呈幾何對(duì)稱、曲率均勻變化的封閉曲線。對(duì)其進(jìn)行濾波處理，速度穩(wěn)定性較好，濾波后誤差評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表4所示，在ex（i）和ey（i）的誤差均值被控制在0．05%之內(nèi)；帶寬為5Hz時(shí)，誤差均值為0．00057036mm，即精度能夠達(dá)到0．5μm，精度非常高。

表4 星形曲線軌跡濾波誤差評(píng)價(jià)

3．2．4 目標(biāo)曲線－橋形奇點(diǎn)曲線

橋形奇點(diǎn)曲線是一類曲率均勻變化且對(duì)稱不封閉的曲線，對(duì)其進(jìn)行濾波處理，能夠獲得較好的速度穩(wěn)定性及較高的精度，濾波后誤差評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表5所示，e（i）的Mean指標(biāo)較小，均控制在1μm以內(nèi)。

表5 橋形奇點(diǎn)曲線軌跡濾波誤差評(píng)價(jià)

4 總結(jié)

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，直線濾波產(chǎn)生的誤差很??；星形曲線和橋形奇點(diǎn)曲線位置偏差也都在1μm以內(nèi)；而圓形曲線通過(guò)選取合適的濾波器帶寬也能夠?qū)⑵羁刂圃?μm。對(duì)于四種曲線軌跡進(jìn)行陷波濾波處理，均能達(dá)到較高的精度，并獲得較好的速度穩(wěn)定性。NURBS插補(bǔ)技術(shù)中運(yùn)用動(dòng)力學(xué)陷波濾波器能夠解決執(zhí)行機(jī)構(gòu)的共振問(wèn)題，提高運(yùn)動(dòng)控制的精度。

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