趙高飛，孫小進(jìn)，裴云天

（中國(guó)科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所，上海 200083）

0 引言

近幾十年來(lái)，伴隨著微電子技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，伺服系統(tǒng)得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。如今它的應(yīng)用已經(jīng)幾乎遍及了社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域。一般的伺服系統(tǒng)，都是由電子學(xué)系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)構(gòu)成。電子學(xué)系統(tǒng)用于檢測(cè)、處理和放大信號(hào)，最后通過(guò)執(zhí)行機(jī)構(gòu)如直流或交流電機(jī)帶動(dòng)機(jī)械負(fù)載，實(shí)現(xiàn)給定的速度、位置和運(yùn)動(dòng)軌跡等的控制。在普通的應(yīng)用場(chǎng)合，對(duì)電氣系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，一般都將機(jī)械系統(tǒng)視為剛性系統(tǒng)，即認(rèn)為機(jī)械系統(tǒng)的剛性無(wú)限大，可以精確實(shí)現(xiàn)電子學(xué)系統(tǒng)指定的任何運(yùn)動(dòng)。然而實(shí)際上任何機(jī)械系統(tǒng)，其剛度都是有限的。在一般對(duì)系統(tǒng)精度和響應(yīng)速度要求不高的應(yīng)用情況，對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的這種近似處理是可行且合理的，對(duì)系統(tǒng)影響很小且可以大大簡(jiǎn)化實(shí)際的工程問題。然而在一些高性能的應(yīng)用場(chǎng)合如航天儀器掃描系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制，由于系統(tǒng)的控制精度以及快速響應(yīng)等要求，機(jī)械系統(tǒng)的柔性不能忽略。為此，本文對(duì)簡(jiǎn)化的電機(jī)-負(fù)載系統(tǒng)進(jìn)行了研究，分析了機(jī)械系統(tǒng)柔性對(duì)伺服系統(tǒng)性能的影響。并針對(duì)實(shí)際問題，使用廣泛使用的多體分析軟件Adams對(duì)航天儀器掃描系統(tǒng)中的一根轉(zhuǎn)軸進(jìn)行了剛?cè)峄旌戏治觯芯苛似淙嵝运斐傻挠绊憽?/p>

1 抽象的簡(jiǎn)化模型

為研究機(jī)械系統(tǒng)柔性的影響，考慮一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化模型，如圖1所示，電機(jī)通過(guò)一個(gè)扭簧帶動(dòng)負(fù)載進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JM，負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JL。扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度為Ks，模擬了電機(jī)和負(fù)載之間機(jī)械系統(tǒng)的剛度，Ks越大，剛度越好；扭簧阻尼為Bs，用于模擬機(jī)械系統(tǒng)的阻尼，即電機(jī)和負(fù)載發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的正比于相對(duì)速度的粘滯力的作用。

圖1 抽象的簡(jiǎn)化模型示意圖

使用控制領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的方框圖對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行建模，得到其系統(tǒng)框圖如圖2所示[1]。

圖2 簡(jiǎn)化模型的系統(tǒng)框圖

圖中AM，VM，PM分別代表電機(jī)的角加速度、角速度和角位移，AL，VL，PL分別代表負(fù)載的角加速度、角速度和角位移，TF為輸入力矩，TD為干擾力矩，S是頻域內(nèi)的復(fù)變量。

由此可計(jì)算出負(fù)載角位移輸出相對(duì)于電機(jī)輸入力矩的傳遞函數(shù)為[1,2]：

對(duì)于剛性系統(tǒng)，剛度Ks和阻尼Bs無(wú)限大，則(1)式的第二項(xiàng)為1，剩下的第一項(xiàng)即為剛性耦合項(xiàng)。由此，第二項(xiàng)為柔性耦合項(xiàng)，是因?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)具有有限的剛度和阻尼而引起的。

同樣，電機(jī)的角位移輸出相對(duì)于電機(jī)輸入力矩的傳遞函數(shù)為：

(2)式的第一項(xiàng)與(1)式的第一項(xiàng)相同，為剛性耦合項(xiàng)，第二項(xiàng)為柔性耦合項(xiàng)。

對(duì)式(1)、(2)兩式的第二項(xiàng)進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)s--＞0即低頻狀態(tài)下，兩項(xiàng)均趨近于1，系統(tǒng)表現(xiàn)出剛性耦合的特點(diǎn)。因此對(duì)于響應(yīng)性能要求不高即驅(qū)動(dòng)頻率很低的應(yīng)用場(chǎng)合，將機(jī)械系統(tǒng)簡(jiǎn)化為剛性系統(tǒng)影響不大。

一般的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)(輸出C比輸入R)的標(biāo)準(zhǔn)形式為[3]：

將(1)式按(3)式的格式改寫為：

同樣可以將(2)式按(3)式的格式改寫為：

在Adams中可以很容易地對(duì)這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。如圖3所示建立這個(gè)簡(jiǎn)化問題的多體動(dòng)力學(xué)模型，其中右邊的小圓柱體代表電機(jī)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取為10kg·mm2，左邊的大圓柱體代表負(fù)載，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取為100kg·mm2。電機(jī)通過(guò)一根扭簧驅(qū)動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)，扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度為1000N·mm/rad，阻尼為1N·mm·sec/rad。根據(jù)(7)式，反共振頻率為100rad/s，即15.9Hz。共振頻率為331.7rad/s，即52.8Hz。

圖3 簡(jiǎn)化問題的多體動(dòng)力學(xué)模型

利用Adams的Vibration模塊進(jìn)行仿真，在電機(jī)位置施加1～1000Hz的掃頻力矩激勵(lì)，并在電機(jī)和負(fù)載位置建立輸出通道，測(cè)量電機(jī)和負(fù)載的角位移的幅值和相位，得到傳遞函數(shù)曲線如圖4所示，在圖中可以測(cè)量出系統(tǒng)的反共振頻率為15.9Hz，共振頻率為52Hz，與理論計(jì)算值是非常一致的。

圖4 電機(jī)和負(fù)載的角位移相對(duì)于力矩輸入的傳遞函數(shù)

理論上如果機(jī)械系統(tǒng)是剛性的，則無(wú)論電機(jī)還是負(fù)載，其角位移輸出相對(duì)于力矩輸入的幅頻特性曲線都應(yīng)該是一條以-40dB下降的曲線。但由于機(jī)械系統(tǒng)的柔性，由圖4的分析結(jié)果可以看到對(duì)于電機(jī)而言，在反共振頻率附近電機(jī)轉(zhuǎn)角開始明顯偏離-40dB直線，直到共振頻率之后才恢復(fù)正常。對(duì)負(fù)載而言在共振頻率附近負(fù)載轉(zhuǎn)角開始偏離-40dB直線，而在共振頻率點(diǎn)之后的很長(zhǎng)一段頻率范圍，負(fù)載都與剛性連接的情形有較大的偏差，振動(dòng)幅值下降并且存在一個(gè)相位延遲。

2 實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)

考慮一個(gè)更實(shí)際的模型，在某航天儀器中電機(jī)通過(guò)一根軸帶動(dòng)掃描鏡進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)。由于儀器對(duì)掃描鏡的控制精度以及響應(yīng)性能等要求很高，需要將轉(zhuǎn)軸的柔性考慮進(jìn)去。為此，需要對(duì)軸進(jìn)行柔性化處理。

在Adams中，復(fù)雜部件的柔性化一般是通過(guò)在其他有限元軟件(如Ansys，Nastran等)生成模態(tài)中性文件(MNF，Modal Neutral File)再導(dǎo)入到Adams軟件，通過(guò)模態(tài)疊加法來(lái)計(jì)算部件與其他部件作用時(shí)所產(chǎn)生的變形[4,5]。圖5是指向系統(tǒng)中的水平電機(jī)軸在Adams中的前幾階模態(tài)振形，由于在Natran中取了10階模態(tài)，而軸與其他部件作用的外節(jié)點(diǎn)有三個(gè)，因此在Adams中總共有34(6+10+3×6)階模態(tài)。

圖5 電機(jī)軸的模態(tài)圖

軸的柔性模型建立好之后，在Adams中加入電機(jī)和負(fù)載，并施加必要的約束，建立系統(tǒng)的剛?cè)峄旌蟿?dòng)力學(xué)模型，如圖6所示。

圖6 實(shí)際軸傳動(dòng)的多柔體動(dòng)力學(xué)模型

圖中大的方塊代表負(fù)載，根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1.48X106kg·mm2。負(fù)載通過(guò)固定鉸鏈固接到電機(jī)軸上；圓環(huán)代表電機(jī)轉(zhuǎn)子，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為140kg·mm2，也通過(guò)固定鉸鏈連接到電機(jī)軸上。整個(gè)電機(jī)軸在安裝軸承的位置通過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接到支架上。因此整個(gè)系統(tǒng)只有繞電機(jī)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)剛體自由度。在Adams中，利用Vibration模塊進(jìn)行仿真，在電機(jī)位置施加10～20000Hz的掃頻驅(qū)動(dòng)力矩。同時(shí)，在電機(jī)和負(fù)載位置，分別建立輸出通道，測(cè)量電機(jī)和負(fù)載位置的角位移幅值和相位，研究其隨驅(qū)動(dòng)頻率的變化情況，得到傳遞函數(shù)的幅頻和相頻曲線如圖7所示。

圖7 10～20000Hz實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

仔細(xì)研究圖7中實(shí)際模型的幅頻和相頻曲線，可以發(fā)現(xiàn)在83Hz左右存在一個(gè)反共振頻率，電機(jī)的角位移傳遞函數(shù)明顯偏離-40dB直線，出現(xiàn)一個(gè)向下的尖峰；在5169.5Hz左右存在一個(gè)共振頻率，負(fù)載和電機(jī)的角位移傳遞函數(shù)幅值都出現(xiàn)一個(gè)向上的峰值。與圖4中簡(jiǎn)化的抽象模型進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)圖7實(shí)際模型負(fù)載和電機(jī)的角位移傳遞函數(shù)曲線與抽象模型是非常類似的。這充分說(shuō)明了抽象化的模型概括出了實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)的本質(zhì)。實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)，在控制環(huán)節(jié)上表現(xiàn)出來(lái)的就是一定的剛度和阻尼，從這個(gè)角度看它和一根具有一定剛度和阻尼的扭簧沒有本質(zhì)上的區(qū)別。實(shí)際上，由于電機(jī)軸有很多模態(tài)，相當(dāng)于其等效的“扭轉(zhuǎn)剛度”并非只有一個(gè)，如果繼續(xù)將掃頻的范圍擴(kuò)大，我們可以發(fā)現(xiàn)，電機(jī)和負(fù)載的傳遞函數(shù)曲線上還將出現(xiàn)反共振和共振的峰值，如圖8所示。

圖8 10～200000Hz頻率范圍內(nèi)實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

3 反共振頻率的本質(zhì)

由上面的分析我們可以看出，由于相對(duì)于負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，電機(jī)自身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般都很小，因此由(5)式和(7)式我們可以看出共振頻率一般都很高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于反共振頻率，在低頻段，限制系統(tǒng)帶寬的主要是反共振頻率。

反共振頻率的產(chǎn)生實(shí)際上可以從系統(tǒng)內(nèi)部的能量交換的角度來(lái)理解。當(dāng)我們保持驅(qū)動(dòng)力矩的大小不變，只是改變驅(qū)動(dòng)力矩的頻率時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)在低頻段，即力矩方向非常緩慢時(shí)，電機(jī)還能非常精確而穩(wěn)定地通過(guò)傳動(dòng)軸帶動(dòng)負(fù)載進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。當(dāng)頻率慢慢升高，電機(jī)的相位將慢慢滯后，振動(dòng)的幅度也慢慢下降。到了反共振頻率段，電機(jī)角位移的相位從-180°變成了0°，幾乎與原來(lái)的相位完全相反了，振動(dòng)幅度也達(dá)到最小。此時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩的頻率處于這樣一個(gè)狀態(tài)，即雖然它實(shí)際是作用在電機(jī)上，但由于其頻率與機(jī)械系統(tǒng)的反共振頻率一致，它的能量轉(zhuǎn)換成電機(jī)動(dòng)能的部分很少，大部分能量被柔性的傳動(dòng)軸吸收并傳遞給了負(fù)載。

圖9 角位移激勵(lì)時(shí)負(fù)載和電機(jī)處的傳遞函數(shù)

反共振頻率的產(chǎn)生實(shí)際上也跟控制的輸入有關(guān)。如果控制的輸入量是電機(jī)處的力矩，則在反共振頻率點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)上述電機(jī)不動(dòng)而負(fù)載運(yùn)動(dòng)的情況。如果控制的輸入量是電機(jī)的角位移，即控制電機(jī)的轉(zhuǎn)角按給定頻率做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則系統(tǒng)呈現(xiàn)的規(guī)律將截然不同。在Adams中將輸入激勵(lì)換成1～1000Hz的角位移激勵(lì)，同樣地測(cè)量負(fù)載處的角位移傳遞函數(shù)，如圖9所示。

由圖9的傳遞函數(shù)曲線可以看出，在低頻段負(fù)載還能與電機(jī)做同步運(yùn)動(dòng)。而到了在圖7的反共振頻率點(diǎn)(83Hz)，負(fù)載的角位移出現(xiàn)了一個(gè)峰值，產(chǎn)生了激振。負(fù)載轉(zhuǎn)角相對(duì)于電機(jī)的轉(zhuǎn)角放大了幾十倍，具體的放大倍數(shù)與電機(jī)軸的阻尼有關(guān)，阻尼越小，轉(zhuǎn)角放大得越厲害。由此可見，反共振頻率就是開環(huán)控制時(shí)的共振頻率。對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)，在沒有使用傳感器測(cè)量負(fù)載的角度進(jìn)而通過(guò)負(fù)載角度對(duì)電機(jī)進(jìn)行負(fù)反饋控制時(shí)，共振的情況是有可能發(fā)生的，這是設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)需要注意和考慮的。

4 結(jié)論

本文先分析了一個(gè)簡(jiǎn)化的抽象模型，通過(guò)建立框圖進(jìn)行理論分析并在多體分析軟件Adams中進(jìn)行建模，研究了機(jī)械系統(tǒng)存在柔性時(shí)傳遞函數(shù)的特性，得到了力矩激勵(lì)時(shí)共振和反共振頻率的表達(dá)式。然后通過(guò)在Adams中對(duì)實(shí)際航天儀器中的一根傳動(dòng)軸進(jìn)行多柔體動(dòng)力學(xué)分析，研究了實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)的柔性對(duì)輸入輸出的影響，得到了其共振和反共振頻率，證明理論分析的正確性。通過(guò)改變輸入的激勵(lì)方式，分析指出了力矩輸入時(shí)的反共振頻率就是開環(huán)控制系統(tǒng)的共振頻率。對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)，在該共振頻率點(diǎn)，負(fù)載將產(chǎn)生激振，失去控制。在實(shí)際的伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，需要充分考慮機(jī)械系統(tǒng)的柔性所帶來(lái)的影響。

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